Capítulo 10 — Inducción, Recurrencia y Sumas¶
10.6 — Cierre - Epistemología e Historia¶
El libro empezó preguntando qué es un número real y termina preguntando qué es un número natural; la segunda pregunta resultó ser la más difícil.
El orden de un libro de matemática es el inverso del orden en que las ideas se entienden. El §1.1 presentó los naturales como algo dado, la lista que cualquiera sabe continuar, y construyó sobre ellos todo lo demás. Nueve capítulos después, el §10.1 volvió sobre esa lista para decir qué significaban sus puntos suspensivos, y descubrió que, para decirlo con precisión, había que apoyarse en los números reales que la lista había servido para construir. No es una circularidad, porque el §1.1 postuló los axiomas de \(\mathbb{R}\) y el §10.1 solo los usó. Pero sí es una señal de que lo más simple no es lo más fácil de fundar. Este ensayo recorre la historia de esa dificultad y, con ella, cierra la obra.
§1. Un razonamiento antes de tener nombre¶
Los matemáticos razonaron por inducción mucho antes de enunciar el principio. Euclides prueba en los Elementos que hay infinitos números primos mostrando que, dada cualquier colección finita de primos, se puede construir otro. El argumento no es una inducción en sentido estricto, pero comparte con ella la estructura de un procedimiento que se repite sin fin y cuya validez no depende de cuántas veces se repita. El primer uso explícito que suele citarse es el de Francesco Maurolico, que en su Arithmeticorum libri duo de 1575 probó, entre otras cosas, que la suma de los primeros \(n\) impares es \(n^2\), pasando de cada caso al siguiente.
Blaise Pascal dio el paso decisivo en su Traité du triangle arithmétique, escrito en 1654 y publicado póstumamente en 1665. Al probar una propiedad de las filas del triángulo del §10.5, Pascal separó con toda claridad los dos componentes del razonamiento. Enunció como dos lemas que la propiedad vale en la primera fila y que, si vale en una fila, vale en la siguiente, y concluyó que vale en todas. Es el caso base y el paso inductivo, nombrados y distinguidos. Pascal comprendió también que el segundo lema no afirma nada sobre ninguna fila en particular, sino una implicación que vale para todas, y que su fuerza reside precisamente en eso.
Pierre de Fermat usó la forma equivalente del buen orden en su método del descenso infinito. Para probar que cierta ecuación no tiene solución en naturales, suponía una y construía a partir de ella otra más pequeña, lo que es imposible si se parte de la menor. El método es el que el §10.1 §3 dedujo del buen orden, y Fermat lo consideraba su instrumento más poderoso en aritmética.
El nombre llegó mucho después. Augustus De Morgan propuso en 1838 la expresión inducción matemática, y el nombre persistió, aunque es engañoso. En las ciencias empíricas, la inducción es el paso de muchos casos observados a una ley general, y ese paso nunca es concluyente: que el sol haya salido todos los días no demuestra que saldrá mañana, como observó Hume. La inducción matemática no tiene nada de eso. No generaliza a partir de casos: prueba una implicación general y la combina con un caso inicial, y su conclusión es tan segura como cualquier deducción. Es inducción solo por el aspecto, porque su conclusión habla de infinitos casos; por su lógica es deducción.
§2. Dedekind y la pregunta por los números¶
Durante dos siglos después de Pascal, el principio se usó sin que nadie se preguntara por qué era válido. La pregunta la formuló Richard Dedekind en un opúsculo de 1888 cuyo título es ya un programa: Was sind und was sollen die Zahlen?, "¿Qué son y para qué sirven los números?". Dedekind es el mismo matemático cuyas cortaduras aparecieron en el ensayo del capítulo 1 como una de las construcciones posibles de \(\mathbb{R}\). En 1872 había resuelto el problema de los reales reduciéndolos a los racionales. En 1888 atacó el problema previo: reducir los naturales a algo más elemental.
Su respuesta fue la noción de cadena. Dado un conjunto con una operación que asigna a cada elemento un sucesor, la cadena de un elemento es el menor subconjunto que lo contiene y es cerrado bajo el paso al sucesor, y se obtiene como la intersección de todos los subconjuntos con esa propiedad. Es exactamente la definición del §10.1, con una diferencia de punto de partida. El §10.1 tomó la cadena del \(1\) dentro de \(\mathbb{R}\), con el sucesor \(x\mapsto x+1\), porque disponía de \(\mathbb{R}\) por axioma. Dedekind no disponía de nada salvo la noción de conjunto y la de función, y definió los naturales como cualquier sistema formado por un elemento inicial y un sucesor inyectivo que no lo alcanza, tal que el sistema sea la cadena de ese elemento. De esa definición dedujo el principio de inducción como teorema, igual que el §10.1.
Dedekind probó además dos resultados que el capítulo reprodujo o supuso. El primero es el teorema de recursión del §10.2, que él fue el primero en reconocer como algo que necesitaba demostración: que una regla de paso define efectivamente una función en todo el sistema. El segundo es que dos sistemas cualesquiera con esas propiedades son idénticos en estructura, de modo que hay, en un sentido preciso, un solo sistema de números naturales. La definición no describe una lista particular de objetos, sino una forma, y cualquier realización de esa forma es tan buena como otra. Dedekind decía que los números son creaciones libres del espíritu humano. Lo que quería decir es que no son cosas que se encuentran, sino una estructura que se define, y cuyas propiedades se siguen de la definición y de nada más.
Un año después, en 1889, Giuseppe Peano publicó en sus Arithmetices principia una lista de axiomas para los naturales: hay un primer elemento, todo número tiene un sucesor, números distintos tienen sucesores distintos, el primero no es sucesor de ninguno, y todo conjunto que contenga al primero y al sucesor de cada uno de sus elementos los contiene a todos. Peano reconoció su deuda con Dedekind. Los axiomas llevan su nombre porque los escribió en un simbolismo que se convirtió en el lenguaje de la lógica matemática, y el último de ellos, el axioma de inducción, es el principio del §10.1 convertido en postulado.
§3. Poincaré frente a Russell¶
Si el principio de inducción puede deducirse de una definición, ¿qué clase de verdad es? En torno a esa pregunta se enfrentaron, a comienzos del siglo XX, dos de las mentes más agudas de su tiempo.
Henri Poincaré sostuvo, en un ensayo de 1894 recogido en La Science et l'hypothèse, que el razonamiento por recurrencia es el razonamiento matemático por excelencia, el único que produce conocimiento nuevo. Un silogismo no puede enseñar nada que no esté en sus premisas. La inducción, en cambio, encierra en una sola fórmula una infinidad de silogismos, uno por cada natural, encadenados en cascada, y esa infinidad no puede recorrerse. Para Poincaré, la certeza de la inducción no viene de la lógica, sino de una intuición: la del poder del espíritu de concebir la repetición indefinida de un acto una vez que lo sabe posible. La inducción era, en sus términos, un juicio sintético a priori, en el sentido de Kant: no es una tautología, porque dice algo sobre los números, y no es una generalización empírica, porque su certeza no depende de la experiencia.
Bertrand Russell sostuvo lo contrario. En los Principles of Mathematics de 1903 y, con más claridad, en la Introduction to Mathematical Philosophy de 1919, propuso definir los números naturales como aquellos que poseen toda propiedad hereditaria del primero, es decir, toda propiedad que el primero tenga y que pase de cada número a su sucesor. Con esa definición, el principio de inducción se vuelve verdadero por definición: los naturales son, literalmente, los números a los que se aplica la inducción. No hay intuición que invocar, solo lógica y la noción de clase. Era la tesis del logicismo: que la matemática entera es lógica desarrollada.
Poincaré respondió con una objeción que alcanza directamente al §10.1. La definición de Russell, como la de Dedekind y como la del §10.1, define \(\mathbb{N}\) como la intersección de todos los conjuntos inductivos. Pero \(\mathbb{N}\) es uno de esos conjuntos. Para decidir si un número pertenece a \(\mathbb{N}\), hay que recorrer una totalidad que incluye al propio \(\mathbb{N}\), el objeto que se está definiendo. Poincaré llamó impredicativas a esas definiciones y las consideró circulares, la raíz de las paradojas que habían sacudido la teoría de conjuntos, como la que el propio Russell había descubierto en 1902 en el sistema de Frege. Russell aceptó en parte la objeción y construyó su teoría de tipos para evitar esas definiciones, pero tuvo que introducir un axioma de reducibilidad cuyo carácter lógico era dudoso.
La matemática posterior no dio la razón por completo a ninguno de los dos. La teoría de conjuntos axiomática, que es el marco en que hoy se escribe casi toda la matemática, acepta las definiciones impredicativas: el §10.1 es una demostración legítima dentro de ella. Pero la aceptación tiene un precio que Poincaré había señalado. El principio de inducción deja de ser una intuición para convertirse en un teorema, pero la certeza no desaparece: se traslada a los axiomas. Si se pregunta por qué es válida la inducción, la respuesta del §10.1 es que \(\mathbb{N}\) es el menor conjunto inductivo. Si se pregunta por qué existe ese conjunto, la respuesta es que existe \(\mathbb{R}\) y que en él pueden formarse intersecciones de familias arbitrarias de subconjuntos. Y si se pregunta por qué creer eso, la respuesta ya no es un teorema. Es la aceptación de un sistema de axiomas cuya coherencia no puede probarse desde dentro de él mismo, como se verá enseguida.
§4. Lo que ninguna definición alcanza¶
En 1931 Kurt Gödel demostró que todo sistema de axiomas coherente, suficientemente rico para expresar la aritmética de los naturales y cuyos axiomas puedan enumerarse de manera mecánica, contiene enunciados sobre números naturales que no puede demostrar ni refutar. Mostró también que un sistema así no puede demostrar su propia coherencia. El resultado no afecta a ningún teorema de este libro, pero cambia el sentido de la palabra "fundamento". Ninguna lista de axiomas agota la verdad sobre los naturales, y ninguna garantiza, por sí misma, que no contiene una contradicción.
Tres años después, Thoralf Skolem encontró una consecuencia todavía más sorprendente. Si el axioma de inducción de Peano se escribe en el lenguaje de la lógica de primer orden, es decir, como un esquema que se aplica solo a las propiedades expresables por fórmulas del lenguaje y no a todos los subconjuntos, entonces existen estructuras que cumplen todos los axiomas y que, además de los naturales ordinarios, contienen elementos "infinitos", mayores que cualquier natural genuino. Esos modelos no estándar satisfacen todos los teoremas de la aritmética de primer orden, y ningún enunciado de ese lenguaje los distingue de los naturales verdaderos.
La razón de este fenómeno es instructiva. La definición del §10.1, como la de Dedekind, habla de todos los subconjuntos inductivos de \(\mathbb{R}\), y con esa cuantificación sobre todos los subconjuntos caracteriza a \(\mathbb{N}\) de manera única. Pero la noción de "todos los subconjuntos" no puede capturarse completamente por ningún sistema de reglas de deducción. En cuanto se la reemplaza por "todos los subconjuntos definibles", que es lo que un sistema formal puede manejar, la caracterización se pierde y aparecen los modelos no estándar. Los puntos suspensivos de \(\{1,2,3,\dots\}\) pueden trasladarse, pero no eliminarse. O se paga con una noción de totalidad que ningún sistema formal agota, o se admite que la definición no excluye objetos que nadie pretendía incluir. En 1936 Gerhard Gentzen probó la coherencia de la aritmética de Peano, pero lo hizo usando una forma de inducción más fuerte que la que la aritmética contiene. La certeza de la inducción se demostró mediante otra inducción.
Nada de esto debilita lo que el libro demostró. Cada teorema del capítulo es correcto a partir de los axiomas del §1.1, y esos axiomas son los que usa la matemática entera. Lo que estos resultados enseñan es a ubicar la certeza donde corresponde. Una demostración garantiza que la conclusión se sigue de las premisas, no que las premisas sean verdaderas en algún sentido absoluto. El ensayo del capítulo 1, Número, axioma y certeza, dejó planteada esa distinción al discutir el axioma del supremo. Este capítulo la encontró de nuevo en el lugar donde menos se la esperaba, en los números que sirven para contar.
§5. El umbral¶
El §10.4 sumó infinitos términos, y esa operación es la puerta del Cálculo. La paradoja de Zenón y la cuadratura de la parábola de Arquímedes muestran que el problema es antiguo, pero su solución es moderna. Durante los siglos XVII y XVIII, Newton, Leibniz, los Bernoulli y Euler manipularon series con enorme éxito y con escaso rigor. Euler sumaba series divergentes y obtenía resultados a veces correctos y a veces absurdos, sin un criterio para distinguirlos. En 1821 Augustin-Louis Cauchy, en su Cours d'analyse, definió la suma de una serie como el límite de sus sumas parciales y la convergencia en términos esencialmente equivalentes a los del §10.4. Karl Weierstrass completó el trabajo a mediados del siglo XIX con la formulación \(\varepsilon\)–\(\delta\) que el §2.4 usó sin nombrar a su autor.
Este libro se detuvo deliberadamente en ese umbral. Nombró el límite en el capítulo 2 y en el capítulo 4, pero no desarrolló su álgebra. Estudió una sola serie, la geométrica, y calculó una sola área curvilínea, la de la parábola, sin una teoría general. Probó que las cónicas tienen tangentes sin usar derivadas y construyó \(e\) y \(\pi\) sin integrales. Cada una de esas decisiones dejó algo para el Cálculo, y cada una mostró hasta dónde se puede llegar sin él. Lo que el Cálculo agrega no es una colección de técnicas, sino una idea: que el límite, usado sistemáticamente, convierte los problemas de lo infinitamente pequeño en problemas de desigualdades entre números reales. Esa idea descansa en la completitud de \(\mathbb{R}\) del capítulo 1 y en el principio de inducción de este capítulo. El lector que llegó hasta aquí tiene ambas.
§6. Coda¶
Se atribuye a Leopold Kronecker la frase de que Dios hizo los números enteros y todo lo demás es obra del hombre. El recorrido del libro sugiere una corrección. Los números reales fueron el primer objeto que el libro fundó, y lo hizo con un axioma que se eligió por sus consecuencias. Los enteros, que parecían dados, resultaron requerir una definición tan elaborada como cualquier otra, y una definición que ningún sistema formal alcanza a fijar del todo. Si algo en la matemática es obra humana, lo es también el principio de todo.
Eso no hace a la matemática arbitraria. Una vez elegidos los axiomas, cada consecuencia es necesaria, y la experiencia de este libro, capítulo tras capítulo, fue la de descubrir que lo que parecía evidente necesitaba una prueba y que lo que parecía una colección de hechos sueltos era una sola estructura. Que las gráficas cuadráticas del capítulo 2 tuvieran foco y directriz, que tres definiciones distintas de las cónicas describieran la misma familia, que la división larga de enteros no pudiera dejar de repetirse o que \(e\) no fuera una fracción no eran hechos evidentes. Se demostraron, y la demostración es lo que el libro quiso enseñar. No como un ritual de rigor, sino como la única manera conocida de saber algo con la seguridad de que no puede ser de otro modo, y de saber exactamente sobre qué descansa esa seguridad.
Aquí termina el Precálculo. Lo que sigue es el Cálculo, que empieza donde este libro se detuvo: en el límite, tomado ya no como una noción que se nombra con cautela, sino como la herramienta con que se construye todo lo demás.