Capítulo 5 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶

El Capítulo 4 extendió una operación algebraica —la potenciación— a todo exponente real, y con ella construyó una familia de funciones caracterizadas por su comportamiento monótono: siempre creciendo, o siempre decreciendo, sin repetirse jamás. Este capítulo se ocupa de una familia radicalmente distinta: funciones que oscilan, que vuelven sobre sus propios valores una y otra vez, y que describen —a diferencia de la exponencial— todo fenómeno que se repite: una órbita, una onda, un péndulo, una corriente alterna.

Construir esa familia con el mismo rigor que el resto del libro exige una decisión que la mayoría de los textos de precálculo evita: no dar \(\pi\) por sabido. \(\pi\) es, en este libro, una constante construida —no heredada de la cultura matemática general—, mediante el método de Arquímedes: perímetros de polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia unitaria, con el teorema de Pitágoras haciendo todo el trabajo, y el axioma de completitud cerrando la construcción exactamente como cerró la de \(e\) en el §4.2. Solo después de esa construcción tiene sentido "enrollar" la recta real sobre la circunferencia, y solo entonces pueden definirse el seno y el coseno como lo que genuinamente son: las coordenadas de un punto que se mueve sobre esa circunferencia.

Contenido del capítulo¶

5.1 Construcción de π: El método de Arquímedes formalizado con el rigor del resto del libro — polígonos inscritos y circunscritos, duplicación de lados vía Pitágoras sin trigonometría, y π definido como el valor común de un supremo y un ínfimo.
5.2 Círculo Unitario y Función de Enrollamiento: Longitud de arco parcial, su monotonía y sobreyectividad, y la construcción de \(W:\mathbb{R}\to\) circunferencia unitaria como la función que "enrolla" la recta real sobre la circunferencia.
5.3 Funciones Trigonométricas de Números Reales: Seno y coseno como las coordenadas de \(W(t)\); las cuatro funciones restantes como cocientes; dominio, recorrido y las identidades fundamentales.
5.4 Gráficas Trigonométricas: Periodicidad, paridad, amplitud y las gráficas de las seis funciones trigonométricas.
5.5 Más Gráficas Trigonométricas: Transformaciones —desplazamiento, período, amplitud— aplicadas a las funciones trigonométricas, en el mismo espíritu que el §2.5 aplicó a las funciones prototipo.
5.6 Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas: De las tablas de cuerdas de Hiparco y Tolomeo al giro de Euler hacia una función de número real, por qué ese giro seguía sin fundamento riguroso, aplicaciones en ondas y análisis de Fourier, y el cierre sobre la derivada pendiente.

"Donde la exponencial mide lo que se acumula sin volver nunca sobre sus pasos, la circunferencia mide lo que vuelve exactamente al mismo lugar — y esa vuelta exacta es la que \(\pi\), por fin construido, permite medir con precisión."