Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.6 — Álgebra y Composición de Funciones¶
Sumar dos funciones combina sus valores; componerlas combina sus procesos.
El §2.5 generó funciones nuevas deformando una sola función de partida. Esta sección explora una segunda vía, genuinamente distinta: combinar dos funciones entre sí. Hay dos maneras de hacerlo, y conviene no confundirlas desde el principio. La primera —suma, resta, producto, cociente— opera sobre los valores de salida, y es una extensión directa del álgebra ya construida sobre \(\mathbb{R}\) en el §1.1. La segunda —la composición— opera sobre el proceso mismo: usa la salida de una función como entrada de la otra, y es, en un sentido que esta sección precisa, una operación de naturaleza distinta a las cuatro primeras.
§1. Operaciones aritméticas entre funciones¶
Dadas dos funciones \(f\) y \(g\), cada una de las cuatro operaciones de \(\mathbb{R}\) se extiende puntualmente: para cada \(x\) donde ambas estén definidas, se opera con los valores \(f(x)\) y \(g(x)\) tal como se operaría con dos números reales cualesquiera.
Cada una de estas definiciones exige, antes que nada, que \(f(x)\) y \(g(x)\) existan simultáneamente: no tiene sentido sumar dos valores si uno de los dos no está definido. Por eso el dominio de cada operación no se declara por separado, sino que se deduce de esta exigencia:
la intersección, en el sentido fijado en el §1.1 §7, de ambos dominios. El cociente exige, además, la restricción ya conocida del §2.2 §1 sobre el nuevo "denominador" \(g\):
Ejemplo. Sean \(f(x)=\sqrt{x}\), con \(\text{Dom}(f)=[0,\infty)\) según el catálogo del §2.4, y \(g(x)=\dfrac{1}{x-2}\), con \(\text{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) por el §2.2. Entonces
Nótese que \(x=2\) se excluye no porque el numerador de nada se anule, sino porque \(g\) misma no está definida ahí; la intersección de dominios ya lo descarta antes de llegar a formar la suma.
Recordatorio. Las cuatro operaciones aritméticas entre funciones actúan puntualmente sobre los valores. El dominio resultante es siempre, como mínimo, la intersección de los dominios originales —nunca su unión—, y el cociente añade además la exclusión de los ceros del divisor.
§2. La composición de funciones¶
Hay una manera de combinar dos funciones que no es aritmética en absoluto: usar el valor de salida de una como valor de entrada de la otra. Esta operación —la más importante de las que introduce esta sección, y la que sostendrá buena parte del cálculo diferencial más adelante— se llama composición.
Definición. Sean \(f:A\to B\) y \(g:C\to D\) dos funciones. La composición de \(g\) con \(f\), denotada \(g\circ f\), es la función definida por
para todo \(x\) tal que \(x\in\text{Dom}(f)\) y, además, \(f(x)\in\text{Dom}(g)\).
Esta última condición es la que exige más cuidado, y conviene demorarse en ella. No basta con que \(x\) pertenezca al dominio de \(f\): hace falta, adicionalmente, que el valor que \(f\) produce en ese punto —y no \(x\) mismo— sea, a su vez, un valor admisible para \(g\). El dominio de la composición es, en consecuencia,
una condición estrictamente más restrictiva, en general, que pedir solamente \(x\in\text{Dom}(f)\): la composición puede tener un dominio más pequeño que el de \(f\), aunque nunca más grande.
Figura 2.4 — Un elemento de \(A\) cuya imagen bajo \(f\) cae fuera de \(\text{Dom}(g)\) queda excluido de \(\text{Dom}(g\circ f)\), aunque pertenezca a \(\text{Dom}(f)\).
Ejemplo. Sean \(f(x)=x-4\), con \(\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\), y \(g(x)=\sqrt{x}\), con \(\text{Dom}(g)=[0,\infty)\). Entonces \((g\circ f)(x) = \sqrt{x-4}\), y su dominio no es \(\mathbb{R}\) —el dominio de \(f\)—, sino
exactamente el mismo resultado que ya daría el análisis directo del §2.2 aplicado a la fórmula \(\sqrt{x-4}\), pero obtenido aquí a partir de la estructura de la composición en lugar de la inspección directa de la fórmula final. Ambos caminos son consistentes, y esa consistencia no es casual: es lo que legitima tratar \(\sqrt{x-4}\) como composición de dos piezas más simples.
Recordatorio. \((g\circ f)(x)=g(f(x))\) exige dos condiciones, no una: \(x\in\text{Dom}(f)\), y además \(f(x)\in\text{Dom}(g)\). El dominio de \(g\circ f\) nunca es mayor que el de \(f\), y puede ser estrictamente menor.
§3. La composición no es conmutativa¶
A diferencia de la suma y el producto de funciones —que heredan la conmutatividad de \(\mathbb{R}\) directamente del §1.1 §6, porque \(f(x)+g(x)=g(x)+f(x)\) para cada \(x\)—, la composición no goza de esta propiedad. En general, \(g\circ f \neq f\circ g\), y no solo pueden diferir sus valores: pueden, incluso, tener dominios distintos, o no estar ambas definidas siquiera.
Ejemplo. Con las mismas \(f(x)=x-4\) y \(g(x)=\sqrt{x}\) del §2: ya se calculó \((g\circ f)(x)=\sqrt{x-4}\). En cambio, \((f\circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \sqrt{x}-4\), con dominio \([0,\infty)\) —heredado directamente del dominio de \(g\), ya que \(f\) no impone ninguna restricción adicional—. Las dos composiciones no solo tienen fórmulas distintas, \(\sqrt{x-4}\) frente a \(\sqrt{x}-4\), sino dominios distintos, \([4,\infty)\) frente a \([0,\infty)\): la primera es siempre no negativa en su dominio, mientras que la segunda toma valores negativos —por ejemplo, \((f\circ g)(0)=-4\)—.
Esta asimetría no debería sorprender si se piensa en la composición como lo que realmente es: un proceso en cadena, donde el orden de las etapas importa tanto como en cualquier procedimiento del mundo cotidiano. Restar \(4\) y luego extraer raíz cuadrada no es lo mismo que extraer raíz cuadrada y luego restar \(4\), del mismo modo en que ponerse las medias y luego los zapatos no es intercambiable con el orden inverso.
§4. Descomposición en funciones elementales¶
La relación entre \(\sqrt{x-4}\) y sus dos piezas, \(f(x)=x-4\) y \(g(x)=\sqrt{x}\), sugiere una operación inversa a la composición: dada una función construida a partir de varias operaciones encadenadas, identificar esas piezas por separado. Esta descomposición no sigue un algoritmo único, pero sí un principio de orden claro: la pieza más externa —la última operación que se aplicaría al calcular un valor a mano— corresponde a la función que se escribe primero en la composición.
Ejemplo. Sea \(h(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}\). Para calcular \(h(x)\) a mano, dado un valor de \(x\), el orden de las operaciones sería: sumar \(1\), elevar al cuadrado, y por último invertir. La descomposición reproduce ese orden de adentro hacia afuera, pero lo escribe de afuera hacia adentro en la notación de composición: si \(p(x)=x+1\), \(q(x)=x^2\) y \(r(x)=1/x\) —los prototipos del catálogo del §2.4, con \(q\) y \(r\) reconocibles directamente—, entonces
Esta descomposición no es única —también podría absorberse el cuadrado y la inversión en una sola función \(s(x)=1/x^2\), dando \(h=s\circ p\) con solo dos piezas—, y esa falta de unicidad no es un defecto: distintas descomposiciones sirven a distintos propósitos, y la elección de cuán fino descomponer depende de qué se quiera hacer con \(h\) a continuación.
Recordatorio. Descomponer es identificar, de afuera hacia adentro según el orden de cálculo manual, las funciones elementales encadenadas. La pieza que se aplicaría al final del cálculo es la que se escribe primero en la composición.
Las operaciones de esta sección completan, en cierto sentido, un catálogo de herramientas para construir: el §2.5 mostró cómo deformar una función; esta sección, cómo combinar varias. Pero hay una asimetría entre ambos capítulos que vale la pena remarcar antes de seguir. Deformar una función preserva, en un sentido preciso, su identidad —\(\sqrt{x-4}\) sigue siendo "una raíz cuadrada", apenas desplazada—; componerla con otra, en cambio, puede producir un objeto cuyo comportamiento ya no se reconoce fácilmente en ninguna de sus dos piezas por separado. La composición no es una variación sobre un tema conocido: es, genuinamente, la construcción de una complejidad nueva a partir de bloques simples, sin necesidad de inventar ningún símbolo ni operación que no existiera ya en sus componentes.
Entre todas las funciones que pueden construirse por composición, hay un caso particular que merece atención propia: aquel en que la composición puede deshacerse, recuperando exactamente el valor de entrada a partir de la salida. Esa reversibilidad —y la función inversa que la hace posible— es el tema de la sección siguiente.