Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.6 — Álgebra y Composición de Funciones¶
Sumar dos funciones combina sus valores; componerlas combina sus procesos.
El §2.5 obtuvo funciones nuevas deformando una sola función. Esta sección explora otra vía: combinar dos funciones entre sí. Hay dos maneras de hacerlo, y conviene distinguirlas desde el principio. La primera, con la suma, la resta, el producto y el cociente, opera sobre los valores de salida, y extiende el álgebra de \(\mathbb{R}\) del §1.1. La segunda, la composición, opera sobre el proceso: usa la salida de una función como entrada de la otra, y tiene, como veremos, una naturaleza distinta.
§1. Operaciones aritméticas entre funciones¶
Dadas dos funciones \(f\) y \(g\), cada operación de \(\mathbb{R}\) se extiende punto por punto: en cada \(x\) donde ambas están definidas, se opera con los números \(f(x)\) y \(g(x)\).
Cada una de estas definiciones exige que \(f(x)\) y \(g(x)\) existan a la vez: no tiene sentido sumar dos valores si uno de ellos no está definido. Por eso el dominio de cada operación no se declara aparte, sino que se deduce de esa exigencia:
donde \(\cap\) es la intersección del §1.1, el conjunto de los elementos comunes. El cociente exige además, como en el §2.2, que el denominador no se anule:
Ejemplo. Sean \(f(x) = \sqrt{x}\), con dominio \([0, \infty)\) por el §2.4, y \(g(x) = \dfrac{1}{x - 2}\), con dominio \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) por el §2.2. Entonces
El valor \(x = 2\) se excluye no porque se anule algún numerador, sino porque \(g\) no está definida allí; la intersección de dominios lo descarta antes de formar la suma.
El dominio de una combinación lo deciden los dominios de las partes, no la fórmula simplificada del resultado. Si \(f(x) = \sqrt{x}\) y \(g(x) = -\sqrt{x}\), la suma \(f + g\) vale \(0\) en cada punto, pero su dominio es \([0, \infty)\), no \(\mathbb{R}\): es la función nula restringida a \([0, \infty)\), en el sentido del §2.2, y no la función nula de \(\mathbb{R}\).
Recordatorio. Las operaciones aritméticas entre funciones actúan punto por punto sobre los valores. El dominio de la suma, la resta y el producto es exactamente la intersección de los dominios, nunca la unión, y el del cociente excluye además los ceros del divisor.
§2. La composición de funciones¶
Hay una manera de combinar dos funciones que no es aritmética: usar el valor de salida de una como valor de entrada de la otra. Esta operación, la más importante de la sección y una de las que más usa el Cálculo, se llama composición.
Definición. Sean \(f\) y \(g\) dos funciones. La composición de \(g\) con \(f\), que se escribe \(g \circ f\) y se lee "\(g\) compuesta con \(f\)", es la función definida por
para todo \(x\) tal que \(x \in \operatorname{Dom}(f)\) y, además, \(f(x) \in \operatorname{Dom}(g)\).
Notemos el orden de la escritura: en \(g \circ f\) se aplica primero \(f\), la función que está a la derecha, y después \(g\). La segunda condición es la que exige más cuidado. No basta con que \(x\) esté en el dominio de \(f\): hace falta, además, que el valor que \(f\) produce en ese punto, y no \(x\) mismo, sea admisible para \(g\). El dominio de la composición es, por lo tanto,
Por la forma de esta definición, \(\operatorname{Dom}(g \circ f) \subseteq \operatorname{Dom}(f)\): la composición nunca tiene un dominio mayor que el de \(f\), y puede tenerlo menor.
Figura 2.4 — Un elemento de \(A\) cuya imagen por \(f\) cae fuera de \(\operatorname{Dom}(g)\) queda excluido de \(\operatorname{Dom}(g\circ f)\), aunque pertenezca a \(\operatorname{Dom}(f)\).
Ejemplo. Sean \(f(x) = x - 4\), con dominio \(\mathbb{R}\), y \(g(x) = \sqrt{x}\), con dominio \([0, \infty)\). Entonces \((g \circ f)(x) = \sqrt{x - 4}\), y su dominio no es \(\mathbb{R}\), el de \(f\), sino
Es el mismo resultado que da el análisis del §2.2 aplicado a la fórmula \(\sqrt{x - 4}\), obtenido aquí a partir de la estructura de la composición. Que los dos caminos coincidan no es casual: es lo que autoriza a tratar \(\sqrt{x - 4}\) como composición de dos piezas más simples.
Recordatorio. \((g \circ f)(x) = g(f(x))\) exige dos condiciones: \(x \in \operatorname{Dom}(f)\) y \(f(x) \in \operatorname{Dom}(g)\). En \(g \circ f\) se aplica primero \(f\). El dominio de \(g \circ f\) nunca es mayor que el de \(f\).
§3. Asociatividad y falta de conmutatividad¶
La suma y el producto de funciones heredan de \(\mathbb{R}\) la conmutatividad del §1.1, porque \(f(x) + g(x) = g(x) + f(x)\) en cada punto. La composición no tiene esta propiedad: en general, \(g \circ f \neq f \circ g\), y las dos composiciones pueden diferir en sus valores, en sus dominios, o incluso no estar definidas ambas.
Ejemplo. Con las funciones del §2, \(f(x) = x - 4\) y \(g(x) = \sqrt{x}\), ya vimos que \((g \circ f)(x) = \sqrt{x - 4}\), con dominio \([4, \infty)\). En cambio, \((f \circ g)(x) = f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} - 4\), con dominio \([0, \infty)\), el de \(g\), porque \(f\) no impone restricciones. Las dos composiciones tienen fórmulas distintas y dominios distintos. La primera nunca es negativa, mientras que la segunda sí lo es: por ejemplo, \((f \circ g)(0) = -4\).
La asimetría no sorprende si se piensa en la composición como lo que es: un proceso en cadena, donde el orden de las etapas importa. Restar \(4\) y después extraer la raíz cuadrada no es lo mismo que extraer la raíz y después restar \(4\), como ponerse las medias y después los zapatos no es lo mismo que hacerlo al revés.
La composición sí tiene otra propiedad de las operaciones de \(\mathbb{R}\): es asociativa.
Proposición. Si \(f\), \(g\) y \(h\) son funciones, entonces \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\).
Demostración. Veamos primero los dominios. Un número \(x\) está en el dominio de \(h \circ (g \circ f)\) si \(x \in \operatorname{Dom}(g \circ f)\) y \((g \circ f)(x) \in \operatorname{Dom}(h)\), es decir, si \(x \in \operatorname{Dom}(f)\), \(f(x) \in \operatorname{Dom}(g)\) y \(g(f(x)) \in \operatorname{Dom}(h)\). Por otro lado, \(x\) está en el dominio de \((h \circ g) \circ f\) si \(x \in \operatorname{Dom}(f)\) y \(f(x) \in \operatorname{Dom}(h \circ g)\), es decir, si \(x \in \operatorname{Dom}(f)\), \(f(x) \in \operatorname{Dom}(g)\) y \(g(f(x)) \in \operatorname{Dom}(h)\). Son las mismas tres condiciones, y los dominios coinciden. En cada uno de esos puntos, las dos funciones valen \(h\big(g(f(x))\big)\). \(\blacksquare\)
Gracias a la asociatividad podemos escribir \(h \circ g \circ f\) sin paréntesis: cualquiera de las dos formas de agruparla da la misma función, que aplica \(f\), después \(g\) y por último \(h\).
Recordatorio. La composición no es conmutativa, \(g \circ f\) y \(f \circ g\) son en general distintas, pero sí es asociativa, y por eso \(h \circ g \circ f\) no necesita paréntesis.
§4. Descomposición en funciones elementales¶
La relación entre \(\sqrt{x - 4}\) y sus dos piezas, \(x - 4\) y \(\sqrt{x}\), sugiere una operación inversa de la composición: dada una función construida con varias operaciones encadenadas, identificar las piezas. Esta descomposición no sigue un algoritmo único, pero sí un principio de orden: la pieza más externa, que es la última operación que se aplicaría al calcular un valor a mano, es la que se escribe primero, a la izquierda, en la composición.
Ejemplo. Sea \(h(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2}\). Para calcular \(h(x)\) a mano, el orden de las operaciones es: sumar \(1\), elevar al cuadrado y, por último, tomar el recíproco. Si \(p(x) = x + 1\), \(q(x) = x^2\) y \(r(x) = \frac{1}{x}\), las dos últimas del catálogo del §2.4, entonces
El orden de cálculo va de adentro hacia afuera, y la escritura lo registra de afuera hacia adentro. Los dominios también coinciden: \(p(x)\) siempre está en el dominio de \(q\), y \(q(p(x)) = (x + 1)^2\) está en el dominio de \(r\) si y solo si es distinto de cero, es decir, si \(x \neq -1\), que es justamente el dominio implícito de \(h\).
La descomposición no es única. También podrían reunirse el cuadrado y el recíproco en una sola función, \(s(x) = \frac{1}{x^2}\), y escribir \(h = s \circ p\) con solo dos piezas. Esa falta de unicidad no es un defecto: distintas descomposiciones sirven a distintos propósitos, y cuán fino conviene descomponer depende de qué se quiera hacer con \(h\).
Recordatorio. Descomponer es identificar las funciones elementales encadenadas. La pieza que se aplicaría al final del cálculo es la que se escribe primero en la composición.
Las operaciones de esta sección completan, en cierto sentido, un juego de herramientas para construir funciones: el §2.5 mostró cómo deformar una, y esta sección, cómo combinar varias. Pero las dos ideas están más cerca de lo que parece. Las transformaciones del §2.5 son composiciones particulares: \(c f\big(a(x - h)\big) + k\) es la composición de \(f\) con dos funciones de la forma \(mx + n\), una aplicada antes, \(x \mapsto a(x - h)\), y otra después, \(y \mapsto cy + k\). Deformar una gráfica es componer con funciones lineales, y por eso preserva la forma del prototipo. Componer con funciones cualesquiera, en cambio, puede producir un objeto cuyo comportamiento ya no se reconoce en ninguna de sus piezas: es la construcción de una complejidad nueva a partir de bloques simples, sin necesidad de ningún símbolo que no existiera ya en ellos.
Entre todas las funciones que pueden construirse por composición, hay un caso que merece atención propia: aquel en que la composición puede deshacerse, recuperando la entrada a partir de la salida. Esa reversibilidad, y la función inversa que la hace posible, es el tema de la sección siguiente.