Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.5 — Geometría del Espacio de Funciones: Transformaciones de Gráficas¶
No hace falta volver a analizar una función si ya se conoce, con precisión, cómo se deforma la que le dio origen.
El catálogo del §2.4 reunió seis funciones y las analizó una por una. Esta sección propone lo contrario: en lugar de repetir ese análisis para cada función nueva, buscamos unas pocas reglas que permitan predecir, a partir de un prototipo conocido, el comportamiento de una función obtenida al modificarlo. Cada regla no es una receta para memorizar sino una proposición: una correspondencia exacta entre los puntos de la gráfica original y los de la gráfica transformada.
En toda la sección, \(f\) es una función con dominio contenido en \(\mathbb{R}\), y cada transformación define una función nueva, que llamamos \(g\). Escribir \(g(x) = f(x) + k\), por ejemplo, define la función \(g\) que en cada \(x\) del dominio de \(f\) vale \(f(x) + k\).
§1. Traslaciones¶
Proposición (traslación vertical). Sean \(k \in \mathbb{R}\) y \(g(x) = f(x) + k\). Entonces \(\operatorname{Dom}(g) = \operatorname{Dom}(f)\) y
Demostración. La fórmula \(f(x) + k\) tiene sentido exactamente donde lo tiene \(f(x)\), así que los dominios coinciden. Un punto \((x, y')\) está en \(\operatorname{Gr}(g)\) si y solo si \(x \in \operatorname{Dom}(f)\) e \(y' = f(x) + k\). Llamando \(y = y' - k\), esto equivale a \(y = f(x)\), es decir, a \((x, y) \in \operatorname{Gr}(f)\), con \(y' = y + k\). \(\blacksquare\)
La gráfica de \(g\) es la de \(f\) desplazada verticalmente \(k\) unidades, hacia arriba si \(k > 0\) y hacia abajo si \(k < 0\). El dominio no cambia, y la imagen se desplaza en bloque: \(\operatorname{Img}(g) = \{y + k \mid y \in \operatorname{Img}(f)\}\).
Proposición (traslación horizontal). Sean \(h \in \mathbb{R}\) y \(g(x) = f(x - h)\). Entonces \(\operatorname{Dom}(g) = \{x_0 + h \mid x_0 \in \operatorname{Dom}(f)\}\) y
Demostración. La fórmula \(f(x - h)\) tiene sentido exactamente cuando \(x - h \in \operatorname{Dom}(f)\). Llamando \(x_0 = x - h\), esto dice que \(x = x_0 + h\) con \(x_0 \in \operatorname{Dom}(f)\), que es la descripción del dominio. Un punto \((x, y)\) está en \(\operatorname{Gr}(g)\) si y solo si \(y = f(x - h) = f(x_0)\), es decir, si y solo si \((x_0, y) \in \operatorname{Gr}(f)\), con \(x = x_0 + h\). \(\blacksquare\)
Aquí conviene detenerse, porque el resultado contradice una lectura apresurada de la fórmula: con \(h > 0\), \(f(x - h)\) desplaza la gráfica hacia la derecha. La demostración muestra por qué. Para que el argumento de \(f\) valga \(x_0\), la nueva variable tiene que valer \(x_0 + h\): el valor que \(f\) tomaba en \(x_0\), \(g\) lo toma \(h\) unidades más a la derecha. La inversión de signo no es una convención para memorizar, sino el resultado de despejar \(x\) en \(x - h = x_0\). La traslación horizontal no cambia la imagen, pero sí desplaza el dominio.
Recordatorio. \(f(x) + k\) desplaza la gráfica verticalmente, hacia arriba si \(k > 0\). \(f(x - h)\) la desplaza horizontalmente, hacia la derecha si \(h > 0\): el signo se invierte porque hay que despejar \(x\).
§2. Cambios de escala y reflexiones¶
La misma clase de correspondencia rige los cambios de escala. Conviene tratar juntos el estiramiento, la compresión y la reflexión, porque son la misma operación, multiplicar por una constante, y solo se distinguen por la magnitud y el signo de esa constante.
Proposición (escala vertical). Sean \(c \in \mathbb{R}\) con \(c \neq 0\) y \(g(x) = c f(x)\). Entonces \(\operatorname{Dom}(g) = \operatorname{Dom}(f)\) y
Demostración. Los dominios coinciden, como en la traslación vertical. Un punto \((x, y')\) está en \(\operatorname{Gr}(g)\) si y solo si \(y' = c f(x)\), es decir, si y solo si \(y' = cy\) con \((x, y) \in \operatorname{Gr}(f)\), donde \(y = f(x)\). \(\blacksquare\)
Si \(|c| > 1\), cada ordenada se amplifica y la gráfica se estira verticalmente. Si \(0 < |c| < 1\), cada ordenada se reduce y la gráfica se comprime. Si \(c < 0\), además del cambio de escala por \(|c|\), cada ordenada cambia de signo. En particular, \(c = -1\) produce la reflexión respecto del eje \(x\): la gráfica de \(-f(x)\) es \(\{(x, -y) \mid (x, y) \in \operatorname{Gr}(f)\}\).
Proposición (escala horizontal). Sean \(a \in \mathbb{R}\) con \(a \neq 0\) y \(g(x) = f(ax)\). Entonces \(\operatorname{Dom}(g) = \left\{\frac{x_0}{a} \mid x_0 \in \operatorname{Dom}(f)\right\}\) y
Demostración. La fórmula \(f(ax)\) tiene sentido exactamente cuando \(ax \in \operatorname{Dom}(f)\). Llamando \(x_0 = ax\), esto dice que \(x = \frac{x_0}{a}\) con \(x_0 \in \operatorname{Dom}(f)\). Un punto \((x, y)\) está en \(\operatorname{Gr}(g)\) si y solo si \(y = f(ax) = f(x_0)\), es decir, \((x_0, y) \in \operatorname{Gr}(f)\), con \(x = \frac{x_0}{a}\). \(\blacksquare\)
De nuevo aparece una inversión, del mismo tipo que en la traslación horizontal. Si \(|a| > 1\), la gráfica se comprime horizontalmente: cada punto se acerca al eje \(y\), porque su nueva abscisa \(\frac{x_0}{a}\) es menor en valor absoluto que \(x_0\). Si \(0 < |a| < 1\), la gráfica se estira. El efecto de \(a\) en la dirección horizontal es el inverso del que la misma magnitud produce en la dirección vertical. El caso \(a = -1\) da la reflexión respecto del eje \(y\): la gráfica de \(f(-x)\) es \(\{(-x_0, y) \mid (x_0, y) \in \operatorname{Gr}(f)\}\).
Recordatorio. En vertical, \(c f(x)\) estira si \(|c| > 1\), comprime si \(|c| < 1\), y refleja respecto del eje \(x\) si \(c < 0\). En horizontal, \(f(ax)\) comprime si \(|a| > 1\), estira si \(|a| < 1\), y refleja respecto del eje \(y\) si \(a < 0\): el efecto es el inverso del vertical.
§3. Reflexión horizontal y paridad¶
La reflexión respecto del eje \(y\) no es ajena a lo ya estudiado: es la misma operación que aparece en la definición de paridad del §2.3, vista ahora como transformación de la gráfica y no como propiedad de \(f\).
Proposición. Sea \(f\) una función con dominio simétrico respecto del origen. Si \(f\) es par, la reflexión horizontal \(f(-x)\) es la misma función que \(f\), y su gráfica no cambia. Si \(f\) es impar, \(f(-x)\) es la misma función que \(-f(x)\): la reflexión horizontal coincide con la vertical.
Demostración. Como el dominio es simétrico, \(-x \in \operatorname{Dom}(f)\) exactamente cuando \(x \in \operatorname{Dom}(f)\), y las funciones \(f(-x)\), \(f(x)\) y \(-f(x)\) tienen el mismo dominio. Si \(f\) es par, \(f(-x) = f(x)\) en todo ese dominio, y por la definición de igualdad del §2.2 son la misma función. Si \(f\) es impar, \(f(-x) = -f(x)\) en todo el dominio, y de nuevo son la misma función. \(\blacksquare\)
La proposición no agrega ningún hecho sobre la paridad: es releer la definición del §2.3 en el lenguaje de esta sección. Pero confirma, sin apelar a la intuición, algo que la geometría anticipaba: reflejar respecto del eje \(y\) la gráfica de una función par es no hacerle nada, y en una función impar esa reflexión equivale a reflejar respecto del eje \(x\). Es, en pequeño, el espíritu de toda la sección: una propiedad conocida, reencontrada como caso particular de una regla más general.
§4. Transformaciones compuestas y el orden de ejecución¶
Rara vez una función aparece con una sola transformación del prototipo; lo habitual es una combinación de la forma
con \(a \neq 0\). La siguiente proposición describe de una vez el efecto de los cuatro parámetros.
Proposición (transformación general). Sean \(a, c, h, k \in \mathbb{R}\) con \(a \neq 0\), y \(g(x) = c f\big(a(x - h)\big) + k\). Entonces
Demostración. Un punto \((x, y)\) está en \(\operatorname{Gr}(g)\) si y solo si \(a(x - h) \in \operatorname{Dom}(f)\) e \(y = c f\big(a(x - h)\big) + k\). Llamemos \(x_0 = a(x - h)\) e \(y_0 = f(x_0)\). Entonces \((x_0, y_0) \in \operatorname{Gr}(f)\), y despejando, \(x = \frac{x_0}{a} + h\) e \(y = c y_0 + k\). Recíprocamente, si \((x_0, y_0) \in \operatorname{Gr}(f)\) y \(x = \frac{x_0}{a} + h\), entonces \(a(x - h) = x_0\) está en el dominio de \(f\), y \(g(x) = c f(x_0) + k = c y_0 + k\), de modo que \(\left(\frac{x_0}{a} + h, c y_0 + k\right) \in \operatorname{Gr}(g)\). \(\blacksquare\)
La demostración no divide por \(c\), así que vale también para \(c = 0\): en ese caso \(g\) es la función constante \(k\) en su dominio. Y la proposición deja ver dos hechos que son, en la práctica, la fuente más común de errores al graficar.
Las transformaciones horizontales y las verticales son independientes. La abscisa nueva, \(\frac{x_0}{a} + h\), no depende de \(y_0\), y la ordenada nueva, \(c y_0 + k\), no depende de \(x_0\). Por eso se pueden tratar como dos procesos separados.
Dentro de cada dirección, el orden importa, y sobre los puntos es siempre el mismo: primero el cambio de escala, después la traslación. En la dirección vertical, \(y_0 \mapsto c y_0 + k\) multiplica por \(c\) y después suma \(k\), el mismo orden en que la fórmula escribe las operaciones sobre \(f\). En la dirección horizontal, \(x_0 \mapsto \frac{x_0}{a} + h\) divide por \(a\) y después suma \(h\), mientras que la fórmula \(a(x - h)\) resta \(h\) primero y multiplica por \(a\) después: el orden sobre los puntos es el inverso del que aparece en la fórmula. Es la misma diferencia que hay entre evaluar una expresión y despejar la variable de una ecuación: evaluar sigue el orden de la fórmula; despejar lo recorre al revés.
Ejemplo. Sea \(g(x) = -2\sqrt{x - 1} + 3\), construida sobre el prototipo \(f(x) = \sqrt{x}\) del §2.4. Aquí \(a = 1\), sin cambio de escala horizontal; \(h = 1\), traslación de una unidad a la derecha; \(c = -2\), estiramiento vertical por \(2\) con reflexión respecto del eje \(x\); y \(k = 3\), traslación de tres unidades hacia arriba. Como el dominio de \(\sqrt{x}\) es \([0, \infty)\) y la parte horizontal envía \(x_0\) a \(x_0 + 1\), el dominio de \(g\) es \([1, \infty)\). El punto \((0, 0)\) del prototipo, su extremo izquierdo, va a
y el punto \((4, 2)\) va a \((5, -1)\). Como \(\sqrt{x}\) es creciente, \(g\) es decreciente: si \(1 \le x_1 < x_2\), entonces \(\sqrt{x_1 - 1} < \sqrt{x_2 - 1}\), y al multiplicar por \(-2\) el sentido se invierte (§1.7), de modo que \(g(x_1) > g(x_2)\). Del mismo modo, la imagen \([0, \infty)\) de \(\sqrt{x}\) se transforma en \(\{-2y + 3 \mid y \ge 0\} = (-\infty, 3]\). El valor más alto de \(g\) es \(g(1) = 3\), y como \(\sqrt{x}\) crece sin cota (§2.4), \(g\) decrece sin cota cuando \(x \to +\infty\).
Figura 2.3 — El prototipo \(f(x)=\sqrt{x}\) y su transformación \(g(x)=-2\sqrt{x-1}+3\), con la correspondencia de puntos de la proposición del §4.
Recordatorio. Las transformaciones horizontales y verticales se tratan por separado. En cada dirección, los puntos se transforman primero con el cambio de escala y después con la traslación; en la dirección horizontal, ese orden es el inverso del que aparece en la fórmula.
Lo que esta sección demuestra es que conocer bien un prototipo, con su dominio, su imagen, su monotonía y sus simetrías, equivale a conocer una familia infinita de funciones emparentadas con él. No hace falta analizar \(-2\sqrt{x - 1} + 3\) desde cero con los métodos del §2.2 y del §2.3 si ya se sabe cómo se comporta \(\sqrt{x}\) y cómo cuatro números, \(a\), \(h\), \(c\) y \(k\), deforman de manera exacta cualquier gráfica. Es quizás la primera vez que el libro practica explícitamente una economía de pensamiento: no memorizar más casos, sino reducir los casos nuevos a uno conocido.
Con los prototipos transformables a voluntad, el capítulo se dirige hacia una segunda manera de generar funciones a partir de las conocidas: no deformando una sola, sino combinando varias entre sí. Las operaciones algebraicas y la composición de funciones son el tema de la sección siguiente.