Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.5 — Geometría del Espacio de Funciones: Transformaciones de Gráficas¶
No hace falta volver a analizar una función si ya se conoce, con precisión, cómo se deforma la que le dio origen.
El catálogo del §2.4 reunió seis funciones y las analizó una por una, desde cero. Esta sección propone lo contrario: en vez de repetir ese análisis para cada función nueva que aparezca en el resto del libro, se busca un conjunto pequeño de reglas que permitan predecir, a partir de un prototipo ya conocido, el comportamiento completo de una función obtenida al modificarlo. Cada regla que sigue no es una receta memorizable sin más, sino una proposición demostrable: una correspondencia exacta entre los puntos de la gráfica original y los de la gráfica transformada.
§1. Traslaciones¶
Proposición (traslación vertical). Sea \(f\) una función y \(k\in\mathbb{R}\). Entonces
Demostración. Un punto \((x,y')\) pertenece a \(\text{Gr}(f(x)+k)\) si y solo si \(y'=f(x)+k\), es decir, si y solo si \(y'-k=f(x)\). Esta última igualdad afirma exactamente que \((x, y'-k)\in\text{Gr}(f)\). Llamando \(y=y'-k\), se tiene \((x,y)\in\text{Gr}(f)\) y \(y'=y+k\), de modo que \((x,y')=(x,y+k)\). \(\blacksquare\)
La gráfica de \(f(x)+k\) es, entonces, la de \(f\) desplazada verticalmente en \(k\) unidades: hacia arriba si \(k>0\), hacia abajo si \(k<0\). Esta traslación no altera el dominio —cada \(x\) sigue siendo válido exactamente cuando lo era antes—, pero sí desplaza la imagen en bloque: si \(\text{Img}(f)=I\), entonces \(\text{Img}(f(x)+k) = \{y+k \mid y\in I\}\).
Proposición (traslación horizontal). Sea \(f\) una función y \(h\in\mathbb{R}\). Entonces
Demostración. Un punto \((x',y)\) pertenece a \(\text{Gr}(f(x-h))\) si y solo si \(y=f(x'-h)\). Llamando \(x=x'-h\) —de modo que \(x'=x+h\)—, la condición se reescribe como \(y=f(x)\), es decir, \((x,y)\in\text{Gr}(f)\). Y el punto original \((x',y)\) es, en estos términos, \((x+h, y)\). \(\blacksquare\)
Aquí conviene detenerse, porque el resultado invierte lo que una lectura apresurada de la fórmula sugeriría. \(f(x-h)\), con \(h>0\), desplaza la gráfica hacia la derecha, no hacia la izquierda, y la razón está en la demostración misma: para que el argumento de \(f\) recupere el valor \(x\) que ya se conocía, hay que sumar \(h\) a la nueva variable, no restarlo. Esta inversión de signo no es una convención arbitraria que deba memorizarse por separado: es una consecuencia directa de resolver una ecuación, exactamente el mismo tipo de despeje que ya organizó todo el §1.5. La traslación horizontal no cambia la imagen, pero sí el dominio: si \(\text{Dom}(f)=A\), entonces \(\text{Dom}(f(x-h)) = \{x+h \mid x\in A\}\).
Recordatorio. \(f(x)+k\) desplaza verticalmente: arriba si \(k>0\). \(f(x-h)\) desplaza horizontalmente: a la derecha si \(h>0\) —el signo se invierte respecto de lo que la fórmula sugiere a primera vista, por la misma razón algebraica que despejar una ecuación—.
§2. Estiramientos, compresiones y reflexiones¶
El mismo tipo de correspondencia punto a punto rige las transformaciones por escala. Aquí conviene tratar juntos el estiramiento, la compresión y la reflexión, porque las tres son, algebraicamente, la misma operación —multiplicar por una constante— distinguida únicamente por la magnitud y el signo de esa constante.
Proposición (escala vertical). Sea \(f\) una función y \(c\in\mathbb{R}\), \(c\neq0\). Entonces
Demostración. \((x,y')\in\text{Gr}(c\cdot f(x)) \iff y'=c\cdot f(x) \iff y'=c\cdot y\) para el único \(y=f(x)\) tal que \((x,y)\in\text{Gr}(f)\). \(\blacksquare\)
Si \(|c|>1\), cada ordenada se amplifica: la gráfica se estira verticalmente. Si \(0<|c|<1\), cada ordenada se reduce: la gráfica se comprime. Y si \(c<0\), además de la escala por \(|c|\), el signo de cada ordenada se invierte —el caso particular \(c=-1\) produce, sin escala alguna, una reflexión respecto del eje \(x\): \(\text{Gr}(-f(x)) = \{(x,-y)\mid(x,y)\in\text{Gr}(f)\}\).
Proposición (escala horizontal). Sea \(f\) una función y \(a\in\mathbb{R}\), \(a\neq0\). Entonces
Demostración. \((x',y)\in\text{Gr}(f(ax)) \iff y=f(ax')\). Llamando \(x=ax'\) —de modo que \(x'=x/a\)—, se obtiene \(y=f(x)\), es decir \((x,y)\in\text{Gr}(f)\), con \((x',y)=(x/a, y)\). \(\blacksquare\)
De nuevo aparece una inversión que conviene señalar explícitamente, del mismo tipo que ya apareció en la traslación horizontal: si \(|a|>1\), la gráfica se comprime horizontalmente —cada punto se acerca al eje \(y\), porque su nueva abscisa es \(x/a\), menor en valor absoluto que \(x\)—; si \(0<|a|<1\), la gráfica se estira. El efecto visual de \(a\) sobre el eje horizontal es, entonces, inverso al que la misma magnitud produciría sobre el eje vertical en \(c\cdot f(x)\). El caso \(a=-1\) da, análogamente al caso vertical, una reflexión respecto del eje \(y\): \(\text{Gr}(f(-x)) = \{(-x,y)\mid(x,y)\in\text{Gr}(f)\}\).
Recordatorio. Vertical: \(c\cdot f(x)\) estira si \(|c|>1\), comprime si \(|c|<1\); \(c<0\) refleja respecto del eje \(x\). Horizontal: \(f(ax)\) comprime si \(|a|>1\), estira si \(|a|<1\) —el efecto es inverso al caso vertical—; \(a<0\) refleja respecto del eje \(y\).
§3. Reflexión horizontal y paridad: una conexión no casual¶
La reflexión respecto del eje \(y\), \(f(-x)\), no es una transformación ajena a lo ya estudiado: es, de hecho, la misma operación que protagonizó la definición de paridad en el §2.3 §4, ahora vista desde el ángulo de una transformación geométrica en lugar de una propiedad intrínseca de \(f\).
Proposición. Si \(f\) es par, \(\text{Gr}(f(-x)) = \text{Gr}(f)\): la reflexión horizontal deja la gráfica sin cambios. Si \(f\) es impar, \(\text{Gr}(f(-x)) = \text{Gr}(-f(x))\): la reflexión horizontal coincide exactamente con la reflexión vertical.
Demostración. Si \(f\) es par, \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\in\text{Dom}(f)\) por definición, de modo que \(f(-x)\) y \(f(x)\) son la misma función, y por lo tanto tienen la misma gráfica. Si \(f\) es impar, \(f(-x)=-f(x)\) por definición, de modo que \(f(-x)\) y \(-f(x)\) son, de nuevo, la misma función. \(\blacksquare\)
Esta proposición no agrega ningún hecho nuevo sobre la paridad —es, literalmente, releer la definición del §2.3 en el lenguaje de esta sección—, pero confirma algo que la intuición geométrica ya anticipaba y que ahora queda demostrado sin apelar a ella: la simetría respecto del eje \(y\) de una función par es indistinguible de "no hacerle nada" a su gráfica, y la de una función impar convierte a la reflexión horizontal en un sinónimo exacto de la vertical. Es, en pequeño, el mismo espíritu que anima toda esta sección: una propiedad ya conocida, reencontrada como caso particular de una regla más general.
§4. Transformaciones compuestas y el orden de ejecución¶
Rara vez una función se presenta con una sola transformación aplicada al prototipo; lo habitual es una combinación, de la forma
y aquí el orden en que se leen las operaciones dentro de la fórmula no coincide, en general, con el orden en que conviene rastrear un punto de la gráfica original hasta su imagen. La siguiente proposición generaliza, de una sola vez, las cuatro anteriores.
Proposición (transformación general). Sea \(f\) una función, \(a,c\in\mathbb{R}\) con \(a\neq0\), y \(h,k\in\mathbb{R}\). Entonces
Demostración. Sea \(g(x)=c\cdot f(a(x-h))+k\). Un punto \((x,y)\in\text{Gr}(g)\) satisface \(y=c\cdot f(a(x-h))+k\), es decir, \(\dfrac{y-k}{c}=f(a(x-h))\) (con \(c\neq0\); el caso \(c=0\) se trata aparte, como función constante). Llamando \(x_0=a(x-h)\) y \(y_0=\dfrac{y-k}{c}\), la igualdad se reduce a \(y_0=f(x_0)\), esto es, \((x_0,y_0)\in\text{Gr}(f)\). Despejando \(x\) de \(x_0=a(x-h)\): \(x=\dfrac{x_0}{a}+h\). Y de la definición de \(y_0\): \(y=c\,y_0+k\). \(\blacksquare\)
Esta proposición deja ver, con toda precisión, dos hechos que conviene explicitar porque son, en la práctica, la fuente más común de error al graficar.
Las transformaciones horizontales y verticales actúan de manera independiente, cada una exclusivamente sobre su propia coordenada: \(x_0\mapsto x_0/a+h\) no involucra a \(y_0\), y \(y_0\mapsto c\,y_0+k\) no involucra a \(x_0\). Por eso es lícito —y, en la práctica, más simple— tratar las transformaciones horizontales y las verticales como dos procesos separados, sin preocuparse por interacciones entre ellas.
Dentro de cada eje, sin embargo, el orden sí importa, y ese orden se rastrea "desde adentro hacia afuera" en la fórmula, pero se ejecuta sobre los puntos "desde afuera hacia adentro". Verticalmente, la fórmula aplica primero \(c\) y después \(k\) —tal como se lee, \(c\,y_0+k\)—, y esto coincide con el orden natural de ejecución: escalar primero, trasladar después. Horizontalmente, en cambio, la fórmula \(a(x-h)\) resta \(h\) primero y multiplica por \(a\) después, pero despejar \(x\) exige invertir ese orden exactamente: dividir por \(a\) primero, sumar \(h\) después. Esta asimetría entre el eje vertical y el horizontal —ya insinuada en el §1 y el §2 por separado— es, en el fondo, la misma que distingue evaluar una función de despejar la variable de una ecuación: evaluar sigue el orden de la fórmula; despejar lo deshace en sentido inverso.
Ejemplo. Sea \(g(x) = -2\sqrt{x-1}+3\), construida sobre el prototipo \(f(x)=\sqrt{x}\) del §2.4. Aquí \(a=1\) (sin escala horizontal), \(h=1\) (traslación horizontal a la derecha), \(c=-2\) (estiramiento vertical por factor \(2\) y reflexión respecto del eje \(x\)), \(k=3\) (traslación vertical hacia arriba). Como el dominio de \(\sqrt{x}\) es \([0,\infty)\), y la transformación horizontal envía \(x_0\mapsto x_0+1\), el dominio de \(g\) es \([1,\infty)\). El punto \((0,0)\) del prototipo —su extremo— se transforma, según la fórmula de la proposición, en
y como \(\sqrt{x}\) es creciente en todo su dominio, y la escala vertical con \(c=-2\) invierte el sentido de la monotonía —una consecuencia directa de multiplicar por un número negativo, la misma que ya rigió las desigualdades del §1.7 §1—, \(g\) resulta decreciente en todo \([1,\infty)\), partiendo de su valor máximo \(g(1)=3\) y decreciendo sin cota a partir de ahí, heredando de \(\sqrt{x}\) su comportamiento cuando \(x\to+\infty\).
Figura 2.3 — El prototipo \(f(x)=\sqrt{x}\) y su transformación \(g(x)=-2\sqrt{x-1}+3\), con la correspondencia de puntos de la proposición del §4.
Recordatorio. Las transformaciones horizontales y verticales se procesan por separado, sin interacción entre ejes. Dentro de cada eje, el orden de ejecución sobre los puntos es el inverso del orden en que la fórmula escribe las operaciones sobre \(x\), pero el mismo orden en que las escribe sobre el resultado de \(f\).
Lo que esta sección demuestra, en definitiva, es que conocer un prototipo con precisión —su dominio, su imagen, su monotonía, sus simetrías, tal como exigió el §2.3 y el §2.4— equivale a conocer, de manera implícita, a toda una familia infinita de funciones emparentadas con él. No hace falta analizar \(-2\sqrt{x-1}+3\) desde cero, con los métodos del §2.2 y el §2.3, si ya se sabe cómo se comporta \(\sqrt{x}\) y cómo cuatro números —\(a\), \(h\), \(c\), \(k\)— deforman, de manera exacta y predecible, cualquier gráfica de partida. Esta es, quizás, la primera instancia genuina en el libro de una economía de pensamiento explícita: no memorizar más casos, sino reducir los casos nuevos a uno ya conocido.
Con los prototipos ya transformables a voluntad, el capítulo se dirige hacia una segunda manera de generar funciones nuevas a partir de las ya conocidas —no deformando una sola función, sino combinando varias entre sí—: las operaciones algebraicas y la composición de funciones, tema de la sección siguiente.