Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
4.5 - Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas¶
Resolver una ecuación exponencial o logarítmica no exige ninguna técnica que este capítulo no haya demostrado ya. Exige, en cambio, reconocer cuál de las herramientas ya construidas corresponde a cada situación — y no perder, en el camino, de vista el dominio.
Las secciones anteriores construyeron dos funciones biyectivas —\(a^x\) y su inversa \(\log_a x\)— y cuatro leyes que traducen entre el mundo multiplicativo y el aditivo. Resolver una ecuación con estas funciones es, en esencia, deshacer capas hasta llegar a una ecuación algebraica ordinaria del tipo ya resuelto en el §1.5. Esta sección no agrega Proposiciones nuevas: organiza, con ejemplos resueltos, cómo aplicar las ya demostradas.
§1. Dos principios operativos¶
Principio de inyectividad exponencial. Para \(a>0\), \(a\neq1\), y funciones \(f,g\) con valores reales,
Justificación: la implicación \(\Leftarrow\) es trivial —sustituir valores iguales da resultados iguales—; la implicación \(\Rightarrow\) es exactamente la inyectividad de \(a^x\), §9 de la sección 4.1.
Principio de inyectividad logarítmica. Para \(a>0\), \(a\neq1\), y funciones \(f,g\) con \(f(x)>0\), \(g(x)>0\),
Justificación: análoga, vía la inyectividad de \(\log_a\), §4 de la sección 4.3 — con la salvedad de que aquí sí hace falta verificar, antes de aplicar el principio, que ambos lados están en el dominio de \(\log_a\), cosa que no era necesaria para la exponencial, definida en todo \(\mathbb{R}\).
Principio de aplicación directa. Si \(a^{f(x)}=c\) con \(c>0\), entonces \(f(x)=\log_a c\) — consecuencia inmediata de la Definición del §1, sección 4.3: \(\log_a c\) es, por definición, el único exponente que produce \(c\).
Recordatorio. Los tres principios de esta sección no son reglas nuevas: son las Proposiciones de inyectividad de 4.1 y 4.3, y la definición misma del logaritmo, reformuladas como procedimiento. La única precaución genuinamente nueva —no algebraica, sino de dominio— aparece únicamente cuando interviene un logaritmo: toda solución candidata debe verificarse contra el dominio original antes de aceptarla.
Con los principios fijados, corresponde aplicarlos a ecuaciones concretas — primero exponenciales, distinguiendo el caso en que ambos lados se reducen a la misma base del caso en que no. Es el contenido del §2.
§2. Ecuaciones exponenciales¶
Ejemplo 1 (misma base). Resolver \(5^{3x-2}=5^{x+4}\).
Solución. Por el Principio de inyectividad exponencial, \(3x-2=x+4\), de donde \(2x=6\), es decir, \(x=3\).
Ejemplo 2 (reducible a una base común). Resolver \(8^{x+1}=16^{2x-1}\).
Solución. Ambos lados se reescriben en base \(2\): \(8=2^3\), \(16=2^4\). Por la ley de la potencia entre exponenciales —\((a^m)^x=a^{mx}\), corolario del §12, sección 4.1—, \(8^{x+1}=2^{3(x+1)}=2^{3x+3}\) y \(16^{2x-1}=2^{4(2x-1)}=2^{8x-4}\). La ecuación se reduce a \(2^{3x+3}=2^{8x-4}\), y por inyectividad, \(3x+3=8x-4\), de donde \(5x=7\), es decir, \(x=\dfrac75\).
Ejemplo 3 (no reducible a base común). Resolver \(7^{2x+1}=50\).
Solución. \(50\) no es una potencia entera ni racional evidente de \(7\), de modo que no hay base común a simplificar. Por el Principio de aplicación directa, \(2x+1=\log_7 50\), de donde
Si se desea un valor numérico, la fórmula de cambio de base (§4, sección 4.4) permite calcularlo con logaritmo decimal o natural: \(\log_7 50=\dfrac{\log_{10}50}{\log_{10}7}\).
Recordatorio. El Ejemplo 3 no es un caso "más difícil" que requiera una herramienta nueva: es, simplemente, el caso en que reducir a base común no es posible, y entonces el Principio de aplicación directa —que siempre funciona— reemplaza al de inyectividad exponencial —que solo funciona cuando ambos lados admiten la misma base—.
Las ecuaciones logarítmicas exigen el mismo tipo de razonamiento, pero con una diferencia que no puede omitirse: cada logaritmo que aparece en el enunciado impone una restricción de dominio, y esa restricción debe fijarse antes de resolver, no después. Es el contenido del §3.
§3. Ecuaciones logarítmicas¶
Ejemplo 1. Resolver \(\log_3(x+5)=2\).
Solución. Dominio: \(x+5>0\), es decir, \(x>-5\). Por el Principio de aplicación directa —leído en la dirección logarítmica: \(\log_a y=k \iff y=a^k\), consecuencia inmediata de la Definición del §1, sección 4.3—, \(x+5=3^2=9\), de donde \(x=4\). Como \(4>-5\), la solución es válida.
Ejemplo 2. Resolver \(\log_2 x+\log_2(x-2)=3\).
Solución. Dominio: \(x>0\) y \(x-2>0\) simultáneamente, es decir, \(x>2\). Por la ley del producto (§1, sección 4.4), el lado izquierdo es \(\log_2\big(x(x-2)\big)\). La ecuación se reduce a \(\log_2(x^2-2x)=3\), y por el Principio de aplicación directa, \(x^2-2x=2^3=8\), es decir, \(x^2-2x-8=0\). Factorizando, \((x-4)(x+2)=0\), de donde \(x=4\) o \(x=-2\). Solo \(x=4\) satisface el dominio \(x>2\); \(x=-2\) se descarta —no porque el álgebra esté mal, sino porque la ley del producto, al combinar dos logaritmos en uno, no puede por sí sola recordar la restricción que cada uno imponía por separado—.
Recordatorio. El Ejemplo 2 ilustra por qué el dominio se fija antes: la ecuación combinada \(\log_2(x^2-2x)=3\), mirada aisladamente, tiene dominio \(x^2-2x>0\) —es decir, \(x<0\) o \(x>2\)—, un conjunto estrictamente más grande que el dominio original \(x>2\). La ley del producto es válida como igualdad entre funciones definidas en el dominio original; aplicarla no amplía ese dominio, aunque la expresión resultante, vista sola, parezca admitirlo.
Algunas ecuaciones no se resuelven directamente por los principios anteriores, sino reconociendo, dentro de la ecuación, la estructura de una ecuación algebraica ya conocida —típicamente cuadrática— disfrazada por una potencia exponencial. Es el contenido del §4.
§4. Ecuaciones por sustitución¶
Ejemplo. Resolver \(e^{2x}-3e^x+2=0\).
Solución. Sea \(t=e^x\). Como \(\operatorname{Rec}(e^x)=(0,\infty)\) —§10, sección 4.1, con \(a=e\)—, la sustitución exige \(t>0\). Como \(e^{2x}=(e^x)^2=t^2\) —ley de la potencia entre exponenciales, corolario del §12, sección 4.1—, la ecuación se convierte en
una ecuación cuadrática ordinaria del tipo del §1.5. Factorizando, \((t-1)(t-2)=0\), de donde \(t=1\) o \(t=2\). Ambos valores satisfacen \(t>0\), de modo que ninguno se descarta por la restricción de la sustitución. Deshaciendo el cambio: si \(t=1\), \(e^x=1\), y por el Principio de aplicación directa —o directamente por \(\log_e1=0\), §5 de la sección 4.3—, \(x=0\). Si \(t=2\), \(e^x=2\), de donde \(x=\ln2\) —usando la notación habitual \(\ln:=\log_e\)—. Las soluciones son \(x=0\) y \(x=\ln2\).
Recordatorio. Toda sustitución de este tipo exige verificar la restricción que impone el recorrido de la exponencial (\(t>0\)) antes de aceptar las raíces de la ecuación auxiliar — un cuadrática con una raíz negativa, por ejemplo, descartaría esa raíz sin llegar siquiera a deshacer el cambio de variable.
Las inecuaciones exponenciales y logarítmicas usan los mismos principios de esta sección, con un ingrediente adicional: el sentido de la desigualdad depende del régimen de la base, según ya se demostró en el §9 de la sección 4.1 y en el §4 de la sección 4.3. Es el contenido del §5.
§5. Inecuaciones exponenciales y logarítmicas¶
Ejemplo 1. Resolver \(\left(\dfrac13\right)^x\le9\).
Solución. Como \(9=3^2=\left(\dfrac13\right)^{-2}\), la inecuación se reescribe \(\left(\dfrac13\right)^x\le\left(\dfrac13\right)^{-2}\). Como \(0<\dfrac13<1\), la función es estrictamente decreciente —§9, sección 4.1—, y para una función decreciente, \(f(x)\le f(-2)\) equivale a \(x\ge-2\) —el mismo argumento por contradicción del §4, sección 4.3, aplicado aquí directamente a la exponencial en vez de al logaritmo—. La solución es \(x\ge-2\).
Ejemplo 2. Resolver \(\log_{1/2}x>-3\), especificando el dominio.
Solución. Dominio: \(x>0\). Como \(-3=\log_{1/2}8\) —pues \(\left(\dfrac12\right)^{-3}=8\)—, la inecuación se reescribe \(\log_{1/2}x>\log_{1/2}8\). Como \(0<\dfrac12<1\), \(\log_{1/2}\) es estrictamente decreciente —§4, sección 4.3—, y para una función decreciente, \(f(x)>f(8)\) equivale a \(x<8\). Combinando con el dominio, la solución es \(0<x<8\).
Recordatorio. En ambos ejemplos, el paso decisivo no fue algebraico sino de régimen: identificar si la base está en \((0,1)\) o en \((1,\infty)\) decide si la desigualdad se conserva o se invierte al pasar de las potencias —o los logaritmos— a los exponentes —o los argumentos—.
§6. Cierre¶
Toda la sección se apoyó, sin excepción, en tres hechos ya demostrados capítulos —o secciones— atrás: que \(a^x\) y \(\log_a x\) son biyectivas entre sí (§4.1, §4.3), que esa biyectividad traduce igualdades y desigualdades entre exponentes en igualdades y desigualdades entre potencias, y viceversa (§9, sección 4.1; §4, sección 4.3), y que las operaciones se traducen entre sí mediante las cuatro leyes del §4.4. No hubo, en ningún ejemplo, una técnica genuinamente nueva —lo cual, después de cuatro secciones de construcción rigurosa, es exactamente la recompensa esperable: un capítulo bien construido hace que resolver sea, al final, más sencillo que construir.
Queda, para la sección que cierra el capítulo, la pregunta de para qué sirve todo esto fuera de la propia matemática: qué fenómenos del mundo se comportan, genuinamente, según esta estructura de crecimiento o decaimiento proporcional a la cantidad misma, y no según la acumulación aditiva que describían los polinomios del Capítulo 3.
El §4.6 cierra el capítulo con las aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas: crecimiento y decaimiento, interés compuesto, y escalas logarítmicas.