Capítulo 6 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶
6.2 - Trigonometría del Triángulo Rectángulo¶
Lo que la tradición tomó por definición es aquí un teorema: las razones de un triángulo no dependen de su tamaño, y esa es la razón por la que valen lo que valen.
La tradición enseña la trigonometría en el orden inverso al de este libro. Define el seno de un ángulo agudo como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo que lo contenga, y a partir de allí, con esfuerzo, llega a la circunferencia. Esa definición tiene una deuda que casi nunca se paga: presupone que el cociente depende únicamente del ángulo y no del triángulo elegido, es decir, que dos triángulos rectángulos de tamaños distintos pero con el mismo ángulo agudo dan el mismo número. Esta sección no introduce, por tanto, una definición nueva. El Capítulo 5 ya definió \(\sin t\) y \(\cos t\) como las coordenadas de \(W(t)\); lo que se demuestra aquí es que las razones entre los lados de un triángulo rectángulo son esas mismas coordenadas, con lo cual la deuda queda saldada y la definición clásica pasa a ser un teorema.
La demostración usa la geometría euclidiana elemental que el libro emplea desde el §1.8 y que ya sostuvo el método de Arquímedes del §5.1. Conviene enumerar con exactitud los hechos que se emplean, para que no haya dependencias ocultas. El primero, (G1), es que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es \(\pi\). El segundo, (G2), es que dos triángulos con dos ángulos respectivamente iguales son semejantes, y que en triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales. El tercero, (G3), es el teorema de Pitágoras. Y el cuarto, (G4), es que en un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales, y la altura sobre la base es también mediana y bisectriz.
Su demostración a partir de los axiomas de la geometría plana corresponde a un curso de Geometría Euclidiana y queda fuera de este libro, del mismo modo que el álgebra general de límites quedó fuera del Capítulo 4. {{Todo: nota de frontera sobre G1–G4 | §6.2, introducción; referencia a un curso de geometría euclidiana}}
§1. El triángulo rectángulo y sus elementos¶
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto, de medida \(\pi/2\) según el §6.1. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros dos, catetos. Los otros dos ángulos son agudos y complementarios.
Proposición. En un triángulo rectángulo, los dos ángulos no rectos son agudos y suman \(\dfrac{\pi}{2}\).
Demostración. Por (G1), la suma de los tres ángulos interiores es \(\pi\), y uno de ellos mide \(\pi/2\); luego los otros dos suman \(\pi-\pi/2=\pi/2\). Como ambos son positivos, cada uno es menor que \(\pi/2\). \(\blacksquare\)
Dado un ángulo agudo \(\theta\) de un triángulo rectángulo, el cateto que forma parte del ángulo se llama adyacente y el que no, opuesto. Estas denominaciones dependen del ángulo elegido: el cateto opuesto a uno de los ángulos agudos es el adyacente al otro. Desde este punto, en un triángulo rectángulo \(ABC\) con ángulo recto en \(C\), se escribirá \(a=BC\), \(b=AC\) y \(c=AB\): \(c\) es la hipotenusa, \(a\) el cateto opuesto al ángulo de vértice \(A\), y \(b\) el adyacente.
§2. El teorema puente¶
Teorema. Sea \(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) y sea \(ABC\) un triángulo rectángulo, con ángulo recto en \(C\) y ángulo de medida \(\theta\) en \(A\). Entonces $\(\sin\theta=\frac{a}{c}=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\qquad\cos\theta=\frac{b}{c}=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\qquad\tan\theta=\frac{a}{b}=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\)$ y, análogamente, \(\csc\theta=\dfrac{c}{a}\), \(\sec\theta=\dfrac{c}{b}\) y \(\cot\theta=\dfrac{b}{a}\).
Demostración. La idea es comparar el triángulo dado con un triángulo de referencia construido dentro de la circunferencia unitaria, cuyos lados son, por definición, el seno y el coseno de \(\theta\).
El triángulo de referencia. Sea \(W(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)\) y sea \(F=(\cos\theta,0)\) el pie de la perpendicular bajada desde \(W(\theta)\) al eje de abscisas. Como \(W(\pi/2)=(0,1)\) (§5.2) y la longitud de arco crece estrictamente al avanzar sobre la circunferencia (§5.2), los puntos \(W(t)\) con \(0<t<\pi/2\) son exactamente los del arco abierto de primer cuadrante, donde ambas coordenadas son positivas. Por tanto \(\cos\theta>0\) y \(\sin\theta>0\), y \(O\), \(F\) y \(W(\theta)\) son tres puntos distintos que forman un triángulo \(OFW(\theta)\). Este triángulo tiene un ángulo recto en \(F\), porque \(OF\) es horizontal y \(FW(\theta)\) es vertical. Su hipotenusa es \(OW(\theta)\), de longitud \(1\) por estar \(W(\theta)\) en la circunferencia unitaria. Sus catetos miden \(OF=\cos\theta\) y \(FW(\theta)=\sin\theta\), ambos positivos. Y el ángulo en \(O\) está formado por el lado inicial —que, al ser \(\cos\theta>0\), es el semieje positivo, que contiene a \(F\)— y por el lado final \(\overrightarrow{OW(\theta)}\); por la definición del §6.1, su medida es \(\theta\).
La semejanza. Los triángulos \(ABC\) y \(OFW(\theta)\) tienen cada uno un ángulo recto y un ángulo de medida \(\theta\). Por (G2), son semejantes, con la correspondencia \(A\leftrightarrow O\), \(C\leftrightarrow F\), \(B\leftrightarrow W(\theta)\). La razón de semejanza es el cociente entre las hipotenusas, \(k=\dfrac{c}{1}=c\). Por la proporcionalidad de los lados correspondientes, $\(b=AC=k\cdot OF=c\cos\theta\qquad\qquad a=BC=k\cdot FW(\theta)=c\sin\theta\)$ de donde \(\cos\theta=b/c\) y \(\sin\theta=a/c\). Finalmente, por la definición del §5.3, \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{a/c}{b/c}=\dfrac{a}{b}\), y las tres razones restantes son los recíprocos de estas. \(\blacksquare\)
Figura 6.3 — El triángulo de referencia \(OFW(\theta)\), con hipotenusa \(1\), y un triángulo rectángulo semejante de hipotenusa \(c\), con el mismo ángulo \(\theta\) en el vértice. Cambiar el tamaño multiplica todos los lados por \(c\), y las razones no se alteran.
El teorema tiene una consecuencia que es, en rigor, la deuda que abrió la sección.
Corolario (las razones dependen solo del ángulo). Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo de la misma medida \(\theta\), las razones entre sus lados coinciden entre sí y con \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) y \(\tan\theta\).
Demostración. Por el teorema, en ambos triángulos el cociente entre cateto opuesto e hipotenusa vale \(\sin\theta\), el de adyacente e hipotenusa vale \(\cos\theta\), y el de opuesto y adyacente vale \(\tan\theta\). \(\blacksquare\)
Este corolario responde la pregunta con que terminó el §6.1: la independencia respecto de la escala, que allí se probó para arcos y radios, alcanza también a los cocientes entre los lados de un triángulo, y por la misma razón, porque cambiar la escala es multiplicar todas las longitudes por un factor común. La definición circular es la que hace verdadera a la definición clásica, y no al revés.
Recordatorio. Para \(0<\theta<\pi/2\) y un triángulo rectángulo con ángulo agudo \(\theta\): \(\sin\theta=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\), \(\cos\theta=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\), \(\tan\theta=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\). La demostración compara el triángulo con el de referencia \(OFW(\theta)\), de hipotenusa \(1\); la razón de semejanza es la hipotenusa \(c\).
§3. Relaciones entre las razones¶
Dos relaciones se leen directamente en el triángulo y muestran que las razones no son independientes entre sí.
Cofunciones. Sea \(0<\theta<\pi/2\). En un triángulo rectángulo con ángulos agudos \(\theta\) y \(\beta\), por la proposición del §1 vale \(\beta=\dfrac{\pi}{2}-\theta\). El cateto opuesto a \(\theta\) es adyacente a \(\beta\) y viceversa, de modo que, aplicando el teorema a cada ángulo, $\(\sin\Big(\frac{\pi}{2}-\theta\Big)=\frac{b}{c}=\cos\theta\qquad\qquad\cos\Big(\frac{\pi}{2}-\theta\Big)=\frac{a}{c}=\sin\theta\)$ El nombre proviene de esta propiedad: el coseno es el seno del ángulo complementario. [Que valen para todo \(\theta\in\mathbb{R}\) se demuestra en el §7.1 §3.]
Pitágoras. La identidad fundamental \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) del §5.3 es, en el triángulo, el teorema de Pitágoras escrito con cocientes: dividiendo \(a^2+b^2=c^2\) por \(c^2\) resulta \(\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2=1\). Las dos afirmaciones son la misma, vista una desde la circunferencia unitaria y la otra desde un triángulo cualquiera.
§4. Ángulos notables¶
Los ángulos \(\pi/6\), \(\pi/4\) y \(\pi/3\) tienen valores trigonométricos exactos, que se obtienen del teorema puente aplicado a dos triángulos particulares.
El ángulo \(\pi/4\). Sea un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a \(1\). Por (G3), su hipotenusa mide \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\). Por (G4), sus dos ángulos agudos son iguales, y como suman \(\pi/2\) por la proposición del §1, miden \(\pi/4\) cada uno. Aplicando el teorema, \(\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\) y \(\tan\dfrac{\pi}{4}=1\).
Los ángulos \(\pi/6\) y \(\pi/3\). Sea un triángulo equilátero de lado \(2\). Sus tres ángulos son iguales y suman \(\pi\) por (G1), de modo que cada uno mide \(\pi/3\). La altura sobre un lado lo divide en dos triángulos rectángulos iguales; por (G4), la altura es también mediana y bisectriz, así que cada uno de esos triángulos tiene hipotenusa \(2\), un cateto igual a la mitad del lado, es decir \(1\), y ángulos agudos de \(\pi/3\) (en la base) y de \(\tfrac12\cdot\tfrac{\pi}{3}=\pi/6\) (en el vértice superior). El otro cateto mide, por (G3), \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\). El cateto de longitud \(1\) es opuesto al ángulo \(\pi/6\) y adyacente al ángulo \(\pi/3\), luego $\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\quad\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\quad\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\qquad\quad\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\quad\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\)$
Figura 6.4 — Los dos triángulos de los que se leen los valores notables: el isósceles rectángulo, y la mitad de un triángulo equilátero de lado \(2\).
Junto con los valores en los puntos distinguidos del §5.2, \(W(0)=(1,0)\) y \(W(\pi/2)=(0,1)\), que dan \(\sin0=0\), \(\cos0=1\), \(\sin\frac{\pi}{2}=1\) y \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), los valores anteriores se resumen en la tabla siguiente.
| \(\theta\) (rad) | \(\theta\) (grados) | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(30^\circ\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) |
| \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(45^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) |
| \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(60^\circ\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(\sqrt3\) |
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) | no definida |
Nótese la regularidad de la columna del seno: \(\dfrac{\sqrt0}{2},\dfrac{\sqrt1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt4}{2}\); la del coseno es la misma en orden inverso, como debe ser por las cofunciones del §3. La tangente no está definida en \(\pi/2\) porque allí \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) y el cociente \(\sin/\cos\) carece de sentido, hecho ya establecido en el §5.3 al determinar su dominio.
Recordatorio. \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12\), \(\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\), \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\); el coseno los toma en orden inverso. Se obtienen de la mitad de un triángulo equilátero de lado \(2\) y de un isósceles rectángulo de catetos \(1\).
§5. Resolución de triángulos rectángulos¶
Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus tres lados y sus dos ángulos agudos a partir de datos suficientes. El teorema puente lo permite cuando se conoce un ángulo agudo \(\theta\) y un lado, porque despejando en las igualdades del §2 resultan $\(a=c\sin\theta\qquad b=c\cos\theta\qquad a=b\tan\theta\)$ y el tercer lado sale por Pitágoras, mientras que el otro ángulo agudo es \(\dfrac{\pi}{2}-\theta\) por el §1. Cuando en cambio los datos son dos lados y lo que se busca es un ángulo, hace falta la función que, dado el valor de una razón, devuelve el ángulo: la inversa del seno, del coseno o de la tangente. Su construcción rigurosa exige restringir cada función a un intervalo de inyectividad y es el tema del §7.4; por ahora, los problemas de esta sección proporcionan el ángulo, o este es uno de los notables de la tabla.
Con la calculadora del §1.9, cuando el ángulo no es notable, hay que cuidar la unidad. Como se advirtió en el §6.1, \(\sin30\) y \(\sin30^\circ\) son números distintos, y la calculadora debe estar en el modo que corresponda: en grados si la medida se da en grados, en radianes si se da sin unidad.
Se llama ángulo de elevación de un objeto al ángulo, medido por encima de la horizontal, entre esta y la línea de visión hacia el objeto, y ángulo de depresión al medido por debajo de la horizontal cuando el objeto está más bajo que el observador.
Ejemplo 1. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa \(10\) y un ángulo agudo de \(30^\circ=\pi/6\). El cateto opuesto es \(a=10\sin\dfrac{\pi}{6}=5\), el adyacente es \(b=10\cos\dfrac{\pi}{6}=5\sqrt3\approx8{,}66\), y el otro ángulo agudo es \(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\). Se verifica Pitágoras: \(5^2+(5\sqrt3)^2=25+75=100=10^2\).
Ejemplo 2. Una escalera de \(6\) m se apoya en una pared formando con el suelo un ángulo de \(45^\circ\). La altura que alcanza es \(6\sin\dfrac{\pi}{4}=3\sqrt2\approx4{,}24\) m, y la distancia de su pie a la pared es \(6\cos\dfrac{\pi}{4}=3\sqrt2\) m, la misma.
Ejemplo 3. Desde un punto situado a \(40\) m de la base de un edificio, el ángulo de elevación de su parte más alta es de \(60^\circ\). Como el cateto adyacente mide \(40\) y se busca el opuesto, \(h=40\tan\dfrac{\pi}{3}=40\sqrt3\approx69{,}28\) m.
Ejemplo 4. Desde \(50\) m de la base de una torre, el ángulo de elevación de su cima es \(35^\circ\), que no es notable. Con la calculadora en modo grados, \(h=50\tan35^\circ\approx50\cdot0{,}7002\approx35{,}01\) m.
Recordatorio. Con un ángulo agudo \(\theta\) y un lado: \(a=c\sin\theta\), \(b=c\cos\theta\), \(a=b\tan\theta\); el otro ángulo es \(\frac{\pi}{2}-\theta\). Calcular un ángulo a partir de dos lados requiere las funciones inversas del §7.4.
El teorema de esta sección funciona en un rango limitado. Un triángulo rectángulo solo puede contener ángulos agudos, de modo que el seno de \(\pi/2\) y el de cualquier ángulo mayor quedan fuera de lo que el triángulo puede ver. Sin embargo, las funciones definidas sobre \(W\) no reconocen esa frontera: \(\sin\theta\) tiene perfecto sentido para \(\theta=2\pi/3\), o para \(\theta=-\pi/4\), o para \(\theta=\pi\). Esto invita a una lectura de la relación entre ambas definiciones. La circunferencia unitaria no es una ilustración del triángulo rectángulo: es la estructura que el triángulo apenas alcanza a mostrar, y el triángulo es la sección de esa estructura que cabe en el primer cuadrante. Queda abierta la pregunta de cómo se lee, en el lenguaje de los triángulos, un seno negativo, o el seno de un ángulo obtuso, y qué papel desempeña en él el triángulo rectángulo.
Con el puente ya tendido entre ambas definiciones, el capítulo se dirige a lo que el triángulo no alcanza a decir: qué son las seis funciones para un ángulo cualquiera, cómo se reducen a un ángulo agudo mediante el ángulo de referencia, y cómo se determinan sus signos. Ese es el tema de la sección siguiente.