Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
4.6 - Aplicaciones de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
La pregunta financiera que abrió el §4.2 —capital que crece por interés— no fue un pretexto pedagógico para llegar a \(e\): es, en sí misma, el primer caso particular de un fenómeno mucho más general, que esta sección se propone caracterizar con precisión antes de aplicarlo.
Hasta aquí, el capítulo construyó \(a^x\) y \(\log_a x\) como objetos matemáticos autosuficientes, sin preguntar todavía por qué habrían de aparecer al modelar un fenómeno del mundo. Esta sección cierra ese círculo: identifica, con una demostración —no con una analogía—, qué propiedad exacta de un proceso obliga a que se lo describa con una función exponencial, y aplica esa caracterización a tres familias de fenómenos: crecimiento financiero, decaimiento, y magnitudes que se miden en escalas logarítmicas.
§1. La caracterización funcional del crecimiento proporcional¶
Cuando se dice que una magnitud "crece proporcionalmente a sí misma", suele pensarse de inmediato en una tasa de cambio instantánea —el terreno de la derivada, que este libro no tiene—. Pero hay una versión enteramente algebraica de la misma idea, que no menciona ninguna tasa instantánea: que la razón de crecimiento entre dos instantes depende únicamente de cuánto tiempo transcurrió, no de en qué momento se empezó a medir. Esta versión sí puede caracterizarse con precisión, y con las herramientas ya construidas.
Proposición (caracterización del crecimiento proporcional). Sea \(Q:\mathbb{R}\to(0,\infty)\) tal que, para todo \(t,h\in\mathbb{R}\),
—es decir, el factor multiplicativo que separa a \(Q(t+h)\) de \(Q(t)\) depende solo de \(h\)—, y tal que \(Q\) es continua en \(0\) en el sentido del Lema del §12, sección 4.1. Entonces existe \(a>0\) tal que
Demostración. Sea \(R(t):=Q(t)/Q(0)\), bien definida pues \(Q(0)>0\) —de la propia hipótesis con \(t=h=0\) se sigue \(Q(0)=Q(0)^2/Q(0)\), consistente pero no informativo; que \(Q(0)>0\) es parte de la hipótesis \(Q:\mathbb{R}\to(0,\infty)\)—. Entonces \(R(0)=1\), y
de modo que \(R\) es un homomorfismo \(\mathbb{R}\to(0,\infty)\), continuo en \(0\) —por serlo \(Q\), y dividir por la constante \(Q(0)\) no altera la continuidad en \(0\)—. Sea \(a:=R(1)=Q(1)/Q(0)>0\), y sea \(f_a(t)=a^t\) la extensión ya construida en el §6 o el §7, sección 4.1 —o, si \(a=1\), la función constante \(f_1\equiv1\), homomorfismo trivial y continuo en \(0\) sin necesidad de demostración adicional—. En cualquier caso, \(f_a\) es un homomorfismo continuo en \(0\) —§8 y Lema del §12, sección 4.1—. Por homomorfismo iterado, \(R(n)=a^n=f_a(n)\) para todo \(n\in\mathbb{Z}\), y por el mismo argumento de unicidad de raíces que en el Ejercicio 2 del §12, sección 4.1 —aplicado aquí a \(R\) en vez de a \((a^x)^y\)—, \(R(m/n)=a^{m/n}=f_a(m/n)\) para todo racional \(m/n\). Por el Lema de unicidad de homomorfismos continuos en \(0\) —§12, sección 4.1—, \(R=f_a\) en todo \(\mathbb{R}\). Luego \(Q(t)=Q(0)R(t)=Q(0)a^t\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. No hace falta postular que un proceso "crece exponencialmente": si se verifica que la razón de crecimiento en cualquier intervalo depende solo de su duración —y no de cuándo empieza—, la Proposición anterior obliga a que \(Q(t)=Q(0)a^t\), con \(a\) determinado por un único dato, \(Q(1)/Q(0)\). Esta es la justificación rigurosa, sin derivadas, de por qué el modelo exponencial aparece en tantos fenómenos distintos: no es una elección de conveniencia, es la única función compatible con esa hipótesis.
Con el modelo justificado en general, corresponde su primera aplicación concreta —la que motivó, ya en el §4.2, la construcción misma de \(e\)—: el interés compuesto, y qué ocurre en el límite de capitalización cada vez más frecuente.
§2. Interés compuesto y capitalización continua¶
Un capital \(P\) invertido a una tasa anual \(r\), capitalizada \(n\) veces por año, satisface exactamente la hipótesis de la Proposición del §1: en cada subintervalo de \(1/n\) años, el capital se multiplica por el mismo factor \((1+r/n)\), sin importar en qué momento del año empiece ese subintervalo. Después de \(t\) años —es decir, \(nt\) capitalizaciones—, el capital acumulado es
fórmula que ya está completamente justificada por lo construido en 4.1: la base \(1+r/n>0\) y el exponente \(nt\) pueden ser cualquier real, sin restricción.
La pregunta que abrió el §4.2 —qué ocurre cuando \(n\) crece sin cota— tiene, para el caso particular \(P=1\), \(r=1\), \(t=1\), una respuesta ya demostrada por completo: \(A_n(1)=(1+1/n)^n=a_n\), y \(a_n\to e\) en el sentido riguroso del §4 de esa sección. Para una tasa \(r\) general, el mismo fenómeno ocurre —la capitalización cada vez más frecuente se estabiliza en un valor límite—, y ese valor es \(e^r\):
Una demostración completa de este hecho para \(r\) arbitrario repite, paso por paso, la técnica de las dos sucesiones que se aprietan del §4.2 —con \(a_n(r)=(1+r/n)^n\) y una sucesión análoga a \(b_n\)—, y no se repite aquí por economía: el lector que siguió el §4.2 tiene todas las herramientas para reconstruirla. Lo que sí corresponde dejar establecido, como modelo de trabajo para el resto de esta sección, es la fórmula resultante:
Modelo de capitalización continua. \(A(t)=Pe^{rt}\).
Recordatorio. El interés compuesto no es un ejemplo elegido por conveniencia didáctica: es, literalmente, el problema que dio origen a \(e\) en el §4.2, ahora generalizado a capital y tasa arbitrarios. La fórmula \(A(t)=Pe^{rt}\) es el caso \(Q(0)=P\), \(a=e^r\) de la Proposición del §1.
El mismo modelo, con \(a\in(0,1)\) en vez de \(a>1\), describe procesos que decrecen en vez de crecer — el caso más estudiado de los cuales es el decaimiento radiactivo. Es el contenido del §3.
§3. Decaimiento exponencial y vida media¶
Una sustancia radiactiva pierde masa de manera que satisface, empíricamente, la misma hipótesis del §1: la fracción de masa perdida en un intervalo depende solo de su duración. Por la Proposición del §1, con \(0<a<1\),
Definición. La vida media \(T\) de una sustancia es el tiempo tal que \(M(T)=M_0/2\).
Ejemplo. Una sustancia con vida media \(T=10\) años satisface \(M_0 a^{10}=M_0/2\), es decir, \(a^{10}=1/2\), de donde \(a=(1/2)^{1/10}\) —usando el corolario \((a^x)^y=a^{xy}\), sección 4.1 §12, con exponente \(1/10\)—. El modelo completo es \(M(t)=M_0\left(\dfrac12\right)^{t/10}\): cada \(10\) años, sin importar cuáles, la masa se reduce exactamente a la mitad —consecuencia directa de la Proposición del §1, no una coincidencia del ejemplo—.
Ejercicio resuelto. ¿Cuánto tiempo tarda esa misma sustancia en reducirse a una décima parte de su masa inicial?
Solución. Se busca \(t\) con \(M(t)=M_0/10\), es decir, \(\left(\dfrac12\right)^{t/10}=\dfrac1{10}\). Por el Principio de aplicación directa —§1, sección 4.5—, \(\dfrac{t}{10}=\log_{1/2}\dfrac1{10}\), de donde, por cambio de base a base \(10\) —§4, sección 4.4—, \(\log_{1/2}(1/10)=\dfrac{\log_{10}(1/10)}{\log_{10}(1/2)}=\dfrac{-1}{\log_{10}1-\log_{10}2}=\dfrac{-1}{-\log_{10}2}=\dfrac1{\log_{10}2}\approx3{,}32\). Luego \(t\approx10\times3{,}32=33{,}2\) años.
El último tipo de aplicación no modela un proceso que cambia en el tiempo, sino una manera de medir magnitudes cuyo rango de valores posibles es demasiado amplio para una escala aditiva ordinaria. Es el contenido del §4.
§4. Escalas logarítmicas¶
Ciertas magnitudes —la energía liberada por un terremoto, la concentración de iones de hidrógeno en una solución, la intensidad de un sonido— varían, en la naturaleza, a lo largo de varios órdenes de magnitud: un terremoto puede liberar mil, un millón o mil millones de veces más energía que otro. Representar esa variación en una escala aditiva ordinaria —donde cada unidad agrega una cantidad fija— vuelve el rango completo casi imposible de graficar o de comunicar con precisión. La solución, en cada uno de estos casos, es la misma: definir la escala como el logaritmo de la magnitud física, de modo que multiplicar por diez la magnitud original —agregar un orden completo de magnitud— agregue solo una unidad a la escala. Es la ley del producto del §4.4 §1, funcionando en sentido inverso: lo que era multiplicativo en el fenómeno se vuelve aditivo en la escala que lo mide.
Escala de pH. \(\text{pH}=-\log_{10}[\text{H}^+]\), donde \([\text{H}^+]\) es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Una solución con \([\text{H}^+]=10^{-7}\) tiene \(\text{pH}=7\) —neutra—; una con \([\text{H}^+]=10^{-3}\) tiene \(\text{pH}=3\) —ácida—, y su concentración de iones es \(10^4\) veces mayor que la de la solución neutra, aunque la diferencia en la escala sea de apenas \(4\) unidades.
Escala de Richter (magnitud de momento, en su formulación simplificada). \(M=\log_{10}\left(\dfrac{E}{E_0}\right)\), donde \(E\) es la energía liberada y \(E_0\) una energía de referencia fija. Cada unidad de magnitud corresponde a un factor \(10\) en la energía liberada —consecuencia directa de \(\log_{10}\), no un dato empírico adicional—.
Escala de decibeles. \(\beta=10\log_{10}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\), donde \(I\) es la intensidad sonora e \(I_0\) una intensidad de referencia —el umbral de audición humana—. El factor \(10\) adicional es convención de la unidad, no una propiedad distinta de las dos escalas anteriores.
Ejercicio resuelto. Un terremoto de magnitud \(7\) libera cuánta energía más que uno de magnitud \(5\)?
Solución. Sean \(E_7,E_5\) las energías respectivas. Por la definición, \(7-5=\log_{10}(E_7/E_0)-\log_{10}(E_5/E_0)=\log_{10}(E_7/E_5)\) —ley del cociente, §4.4 §2—. Luego \(E_7/E_5=10^2=100\): el terremoto de magnitud \(7\) libera cien veces más energía que el de magnitud \(5\), no el "cuarenta por ciento más" que una lectura ingenua de la diferencia \(7-5\) frente a \(5\) podría sugerir.
Recordatorio. Toda escala logarítmica comparte la misma estructura: una diferencia fija en la escala corresponde, siempre, a un cociente fijo en la magnitud original —nunca a una diferencia fija—. Confundir ambas es el error de lectura más común al interpretar estas escalas.
§5. Ejercicios resueltos¶
Ejercicio 1. Un capital de $\(1000\) se invierte al \(8\%\) anual, capitalizado trimestralmente. ¿Cuánto hay acumulado después de \(5\) años?
Solución. \(n=4\) (trimestral), \(r=0{,}08\), \(t=5\). Por el §2, \(A=1000\left(1+\dfrac{0{,}08}{4}\right)^{4\times5}=1000(1{,}02)^{20}\).
Ejercicio 2. Una población de bacterias se duplica cada \(3\) horas. Si inicialmente hay \(500\) bacterias, ¿cuántas hay después de \(10\) horas?
Solución. Por la Proposición del §1, con \(Q(0)=500\) y \(a\) tal que \(a^3=2\) —duplica cada \(3\) horas—, es decir \(a=2^{1/3}\): \(Q(t)=500\cdot\left(2^{1/3}\right)^t=500\cdot2^{t/3}\). En \(t=10\): \(Q(10)=500\cdot2^{10/3}\).
Ejercicio 3. ¿Cuánto tiempo tarda un capital en duplicarse, a una tasa continua del \(6\%\) anual?
Solución. Se busca \(t\) con \(Pe^{0{,}06t}=2P\), es decir, \(e^{0{,}06t}=2\). Por el Principio de aplicación directa —§1, sección 4.5—, \(0{,}06t=\ln2\), de donde \(t=\dfrac{\ln2}{0{,}06}\).
§6. Cierre¶
Las tres familias de aplicaciones de esta sección —crecimiento financiero, decaimiento, escalas de medición— no son ejemplos sueltos elegidos por su valor ilustrativo: las tres son instancias de la misma Proposición del §1, aplicada con distintos valores de \(a\) y, en el caso de las escalas, leída del lado del logaritmo en vez del lado de la exponencial. Ese es, en definitiva, el logro completo del capítulo: no un catálogo de fórmulas para memorizar caso por caso, sino una sola estructura —la potenciación extendida a \(\mathbb{R}\) mediante completitud, y su inversa— capaz de explicar por qué esa misma estructura reaparece en el interés compuesto, en la física nuclear y en la sismología, sin que ninguna de las tres haya sido diseñada pensando en las otras dos.
Queda, para cerrar el capítulo con la profundidad que merece —el lugar de \(e\) y del logaritmo en la historia de la ciencia, y no solo en la aritmética que los construyó—, una reflexión más extensa que esta sección no es el lugar de desarrollar.
El capítulo continúa, fuera del temario original de seis secciones, con un cierre epistemológico y filosófico más extenso —en la tradición del §2.9 y el §3.6—, que sitúa la exponencial y el logaritmo en su contexto histórico y en su uso actual en las ciencias. Ese es el contenido del §4.7.