Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶

7.2 - Fórmulas de Suma y Resta de Ángulos¶

La trigonometría de un ángulo compuesto no es la suma de las trigonometrías de sus partes; pero sí es un producto cruzado de ellas, y la razón es que rotar una figura no altera sus distancias.

Es tentador escribir $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta$, y es falso: con $\alpha=\beta=\pi/2$ el primer miembro vale $\sin\pi=0$ y el segundo $2$. La pregunta legítima es qué relación sí existe entre las funciones de $\alpha+\beta$ y las de $\alpha$ y $\beta$. Responderla exige un hecho geométrico que los capítulos anteriores usaron sin demostrar: que las traslaciones y las rotaciones conservan las distancias, y con ellas las longitudes de arco y las medidas de ángulos. Esa es la deuda que la sección salda primero; con ella pagada, la fórmula central se obtiene por una comparación de dos maneras de calcular una misma distancia.

§1. Movimientos rígidos e independencia de las coordenadas¶

Definición. Una isometría del plano es una aplicación $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ que conserva las distancias: $|f(P)-f(Q)|=|P-Q|$ para todo par de puntos $P$ y $Q$. Tres familias de isometrías bastan para todo lo que sigue.

La traslación de vector $v$ es $T_v(P)=P+v$. La reflexión respecto del eje de abscisas es $S(x,y)=(x,-y)$. La rotación de ángulo $\varphi$ alrededor del origen es $$R_\varphi(x,y)=(x\cos\varphi-y\sin\varphi,\ x\sin\varphi+y\cos\varphi)$$ con $\varphi\in\mathbb{R}$ cualquiera. Para las dos primeras la conservación de la distancia se lee a simple vista. Para la tercera hay que calcular.

Proposición 1. $T_v$, $S$ y $R_\varphi$ son biyectivas y conservan las distancias.

Demostración. Para $R_\varphi$, sean $P=(x_1,y_1)$ y $Q=(x_2,y_2)$, con $\Delta x=x_1-x_2$ y $\Delta y=y_1-y_2$. Entonces $R_\varphi(P)-R_\varphi(Q)=(\Delta x\cos\varphi-\Delta y\sin\varphi,\ \Delta x\sin\varphi+\Delta y\cos\varphi)$, y su norma al cuadrado es $$(\Delta x\cos\varphi-\Delta y\sin\varphi)^2+(\Delta x\sin\varphi+\Delta y\cos\varphi)^2=(\Delta x^2+\Delta y^2)(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=\Delta x^2+\Delta y^2$$ porque los términos cruzados, $\mp2\Delta x\Delta y\sin\varphi\cos\varphi$, se cancelan y se aplica la identidad pitagórica. Es biyectiva porque $R_{-\varphi}\circ R_\varphi$ es la identidad: la primera coordenada de $R_{-\varphi}(R_\varphi(x,y))$ es $(x\cos\varphi-y\sin\varphi)\cos\varphi+(x\sin\varphi+y\cos\varphi)\sin\varphi=x$, y la segunda se comprueba igual. $\blacksquare$

Para medir un ángulo cualquiera, y no solo uno en posición estándar, se necesita una definición que no dependa de los ejes.

Definición (medida de un ángulo convexo). Sean dos semirrectas distintas con origen $V$, que no son opuestas. Su ángulo convexo tiene por medida la longitud del arco de la circunferencia unitaria de centro $V$ que queda dentro del ángulo, es decir, del arco menor entre los dos puntos donde las semirrectas la cortan. Si las semirrectas son opuestas, la medida es $\pi$.

En posición estándar, con lado final $\overrightarrow{OW(\theta)}$ y $0<\theta\le\pi$, el arco de $W(0)$ a $W(\theta)$ es el arco menor y tiene longitud $\theta$, de modo que la definición concuerda con la del §6.1.

Proposición 2. Sea $f$ una isometría biyectiva del plano. Entonces $f$ transforma la circunferencia de centro $C$ y radio $r$ en la de centro $f(C)$ y radio $r$; conserva la longitud de los arcos; y transforma todo ángulo convexo en un ángulo convexo de la misma medida.

Demostración. La primera afirmación es inmediata: $|P-C|=r$ si y solo si $|f(P)-f(C)|=r$, y $f$ es sobreyectiva. Para la segunda, se repite el argumento de la proposición del §6.1 §3 con razón $1$: $f$ transforma poligonales inscritas y circunscritas de un arco en poligonales inscritas y circunscritas del arco imagen, con las mismas longitudes, y los supremos e ínfimos coinciden. Para la tercera, $f$ conserva la alineación, porque un punto $X$ está en el segmento $PQ$ si y solo si $|PX|+|XQ|=|PQ|$, igualdad que $f$ conserva; por tanto transforma semirrectas en semirrectas, y el arco menor de la circunferencia unitaria de centro $V$ entre dos semirrectas en el arco menor de la circunferencia unitaria de centro $f(V)$ entre las semirrectas imagen, de la misma longitud. $\blacksquare$

Proposición 3. Todo triángulo $ABC$ puede llevarse, mediante una composición de traslaciones, rotaciones y reflexiones, a un triángulo con $C$ en el origen, $B=(a,0)$ con $a=|CB|$, y $A$ en el semiplano superior.

Demostración. Se traslada $C$ al origen. El punto $B'=B-C$ cumple $|B'|=a>0$, luego $B'/a$ está en la circunferencia unitaria y, por la sobreyectividad de $W$ (§5.2), es $W(\varphi)$ para algún $\varphi$. La rotación $R_{-\varphi}$ lleva $B'=(a\cos\varphi,a\sin\varphi)$ a $(a\cos^2\varphi+a\sin^2\varphi,\ -a\cos\varphi\sin\varphi+a\sin\varphi\cos\varphi)=(a,0)$. La imagen de $A$ no puede tener ordenada nula, porque entonces $A$, $B$ y $C$ estarían alineados; si su ordenada es negativa, se aplica además $S$. $\blacksquare$

Corolario (independencia de las coordenadas). La medida de un ángulo convexo no depende del sistema de coordenadas con que se lo describa, y la ley de los cosenos del §6.5 vale en cualquier sistema de coordenadas.

Demostración. Dos sistemas de coordenadas cartesianas con la misma unidad de longitud se relacionan por una composición de traslaciones, rotaciones y reflexiones, que son isometrías; por la proposición 2, conservan longitudes de arco y por tanto medidas de ángulos, y por la definición, conservan longitudes de lados. Dado un triángulo cualquiera, la proposición 3 lo lleva a posición estándar sin alterar sus lados ni sus ángulos, y allí vale la demostración del §6.5. $\blacksquare$

El corolario paga dos deudas: la que el §6.1 §1 dejó señalada sobre la medida de un ángulo con vértice cualquiera, y la que el §6.5 §1 dejó señalada sobre la elección de coordenadas en la demostración de la ley de los cosenos.

Recordatorio. Las traslaciones, las reflexiones y las rotaciones $R_\varphi$ conservan la distancia, las longitudes de arco y las medidas de ángulos. Todo triángulo puede llevarse a posición estándar, y por eso la medida de un ángulo y la ley de los cosenos no dependen de los ejes.

§2. El coseno de la diferencia¶

La distancia entre dos puntos de la circunferencia unitaria puede calcularse de dos maneras: directamente con sus coordenadas, y mediante la ley de los cosenos con el ángulo que los separa. Igualarlas produce la fórmula.

Lema (cuerda). Para todo par de números reales $\alpha$ y $\beta$, $$|W(\alpha)-W(\beta)|^2=2-2\cos(\alpha-\beta)$$

Demostración. Sean $P=W(\alpha)$ y $Q=W(\beta)$. Si $P=Q$, entonces $\alpha-\beta\in2\pi\mathbb{Z}$ por la proposición del §6.1 §2, $\cos(\alpha-\beta)=1$, y ambos miembros valen $0$. Si $P=-Q$, entonces $P=W(\beta+\pi)$ por el lema del medio giro, de modo que $\alpha-\beta\in\pi+2\pi\mathbb{Z}$, $\cos(\alpha-\beta)=-1$, y ambos miembros valen $4$. En los demás casos, $P$ y $Q$ son distintos y no opuestos, luego $O$, $P$ y $Q$ no están alineados y forman un triángulo con $|OP|=|OQ|=1$. Sea $d\in(0,2\pi)$ el resto de $\alpha-\beta$ módulo $2\pi$, de modo que $P=W(\beta+d)$: el arco antihorario de $Q$ a $P$ tiene longitud $d$ (§5.2), y el otro arco entre ellos tiene longitud $2\pi-d$. El ángulo del triángulo en $O$ tiene por medida $\delta=\min(d,2\pi-d)$, la longitud del arco menor, y $\cos\delta=\cos d=\cos(\alpha-\beta)$, porque $\cos(2\pi-d)=\cos d$ y el coseno tiene período $2\pi$. Por la ley de los cosenos, que vale en cualquier sistema de coordenadas por el corolario del §1, $|PQ|^2=1+1-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\delta=2-2\cos(\alpha-\beta)$. $\blacksquare$

Dos puntos W(α) y W(β) de la circunferencia unitaria, el triángulo que forman con el origen, cuyo ángulo en O mide α − β, y la cuerda entre ellos, cuyo cuadrado vale 2 − 2 cos(α − β) Figura 7.2 — La cuerda entre $W(\alpha)$ y $W(\beta)$. La ley de los cosenos en el triángulo de vértice $O$ da su cuadrado en función de $\alpha-\beta$.

Teorema (coseno de la diferencia). Para todo par de números reales $\alpha$ y $\beta$, $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Demostración. Calculada con coordenadas, la distancia al cuadrado entre $W(\alpha)=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ y $W(\beta)=(\cos\beta,\sin\beta)$ es $$(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)$$ que vale $2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)$. Igualándola al valor del lema, $2-2\cos(\alpha-\beta)$, y cancelando, resulta la fórmula. $\blacksquare$

Recordatorio. $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ para todo $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Se obtiene igualando dos cálculos de $|W(\alpha)-W(\beta)|^2$: uno con coordenadas y otro con la ley de los cosenos.

§3. Las demás fórmulas¶

De una sola fórmula se derivan todas las demás, usando los resultados del §7.1.

Teorema. Para todo par de números reales $\alpha$ y $\beta$, $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\qquad\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ y, siempre que $\alpha$, $\beta$ y $\alpha\pm\beta$ no sean múltiplos impares de $\pi/2$ y el denominador no se anule, $$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$

Demostración. Para el coseno de la suma se escribe $\alpha+\beta=\alpha-(-\beta)$ y se usa la fórmula del §2, con la paridad de coseno y seno: $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$. Para el seno de la suma, por las cofunciones del §7.1, $\sin(\alpha+\beta)=\cos\big(\tfrac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\big)=\cos\big((\tfrac{\pi}{2}-\alpha)-\beta\big)$, y aplicando el coseno de la diferencia, $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ de nuevo por las cofunciones. El seno de la diferencia sale del de la suma con $-\beta$. Para la tangente, se divide $\sin(\alpha+\beta)$ por $\cos(\alpha+\beta)$ y se divide numerador y denominador por $\cos\alpha\cos\beta\neq0$: resulta $\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$. La condición de que el denominador no se anule equivale a $\cos(\alpha+\beta)\neq0$, porque $1-\tan\alpha\tan\beta=\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$. La fórmula de la diferencia se obtiene reemplazando $\beta$ por $-\beta$, ya que $\tan$ es impar. $\blacksquare$

Recordatorio. $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$; $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$; $\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$.

§4. Las rotaciones suman ángulos¶

La rotación $R_\varphi$ de la Proposición 1 se llama así con motivo, y las fórmulas anteriores lo demuestran. Todo punto del plano distinto del origen se escribe $(x,y)=r(\cos t,\sin t)$ con $r=|(x,y)|$ (§6.3). Aplicándole $R_\varphi$ y usando las fórmulas de suma, $$R_\varphi(x,y)=r(\cos t\cos\varphi-\sin t\sin\varphi,\ \cos t\sin\varphi+\sin t\cos\varphi)=r(\cos(t+\varphi),\ \sin(t+\varphi))$$ es decir, $R_\varphi$ conserva la distancia $r$ al origen y suma $\varphi$ al ángulo: es el giro de $\varphi$ radianes en sentido antihorario alrededor del origen. De ello se sigue $R_\varphi\circ R_\psi=R_{\varphi+\psi}$, porque aplicar dos giros equivale a sumar los dos ángulos.

Esta es la lectura geométrica de las fórmulas de suma: sumar ángulos es componer rotaciones. La misma observación tiene dos traducciones más que este capítulo desarrolla. En la forma polar de los números complejos, multiplicar por $\cos\varphi+i\sin\varphi$ es rotar (§7.6), y la escritura de las rotaciones como tablas de números, con el producto de tablas como composición, corresponde al capítulo siguiente. [La lectura matricial, $R_\varphi R_\psi=R_{\varphi+\psi}$, se da en el §8.4 §4.]

§5. Ejemplos¶

Valores exactos. Como $75^\circ=45^\circ+30^\circ$, resulta $\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}9659$ y $\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}2588$. Y como $15^\circ=45^\circ-30^\circ$, la fórmula de la tangente da $$\tan15^\circ=\frac{1-\frac{\sqrt3}{3}}{1+\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}=\frac{(3-\sqrt3)^2}{9-3}=\frac{12-6\sqrt3}{6}=2-\sqrt3\approx0{,}2679$$

Una identidad. $\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$. En efecto, el producto es $(\sin\alpha\cos\beta)^2-(\cos\alpha\sin\beta)^2=\sin^2\alpha\cos^2\beta-\cos^2\alpha\sin^2\beta$, y reemplazando $\cos^2\beta=1-\sin^2\beta$ y $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ se obtiene $\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2\alpha\sin^2\beta=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$.

Datos en cuadrantes. Si $\sin\alpha=\dfrac45$ con $\alpha$ en el cuadrante I, y $\cos\beta=-\dfrac{5}{13}$ con $\beta$ en el II, entonces $\cos\alpha=\dfrac35$ y $\sin\beta=\dfrac{12}{13}$, y por las fórmulas, $$\sin(\alpha+\beta)=\frac45\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac35\cdot\frac{12}{13}=\frac{16}{65}\qquad\cos(\alpha+\beta)=\frac35\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)-\frac45\cdot\frac{12}{13}=-\frac{63}{65}$$ Como comprobación, $\left(\frac{16}{65}\right)^2+\left(\frac{63}{65}\right)^2=\frac{256+3969}{4225}=1$, y los signos, seno positivo y coseno negativo, ubican a $\alpha+\beta$ en el cuadrante II, según la tabla del §6.3.

La fórmula del coseno de la diferencia parece una identidad entre funciones, pero su demostración dice algo más. Se apoya, en su punto más profundo, en un hecho sobre el espacio y no sobre las funciones: que mover una figura sin deformarla no cambia sus distancias. Toda la trigonometría de la suma es, en ese sentido, la expresión analítica de la homogeneidad del plano: que el plano se ve igual desde cualquier punto y en cualquier dirección. Queda abierta la pregunta de qué ocurre con el resto de las fórmulas cuando se aplican a un ángulo sumado consigo mismo, o a la mitad de un ángulo dado.

Ese es el tema de la sección siguiente, donde las fórmulas de suma se especializan a un ángulo duplicado, se invierten para hallar la mitad de un ángulo, y se combinan para convertir productos en sumas.