Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.5 — Ecuaciones¶
Resolver una ecuación es preguntar para qué valores una afirmación deja de ser una posibilidad y pasa a ser un hecho.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparece al menos una variable. A diferencia de una identidad, como las del §1.3, en general no es verdadera para todo valor de la variable, sino solo para algunos, o para ninguno. Cada valor que la vuelve verdadera es una solución, y el conjunto de todas ellas es el conjunto solución. Resolver la ecuación es hallar ese conjunto completo: no basta con encontrar algunas soluciones, hay que asegurarse de que no queda ninguna afuera y de que no se coló ninguna que no lo sea.
Con la factorización del §1.3 y las expresiones racionales del §1.4, esta sección organiza los métodos de resolución según el tipo de expresión. El hilo que los une es una sola pregunta: cuándo un paso algebraico conserva el conjunto solución y cuándo no. De la respuesta sale un fenómeno que aparece aquí por primera vez, la solución extraña: un número que resuelve una ecuación obtenida en el camino, pero no la original.
§1. Ecuaciones equivalentes y ecuaciones lineales¶
Una ecuación en \(x\) tiene la forma \(A(x) = B(x)\), donde \(A\) y \(B\) son expresiones algebraicas. Solo tiene sentido preguntar si un número \(r\) es solución cuando los dos miembros están definidos en \(r\); el conjunto de esos números es el dominio de la ecuación, en el mismo sentido del §1.4. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Resolver una ecuación consiste, casi siempre, en reemplazarla por otra equivalente y más simple, hasta llegar a una cuyo conjunto solución salte a la vista. Los dos pasos básicos que garantizan la equivalencia son los siguientes.
Proposición. Sean \(A(x) = B(x)\) una ecuación con dominio \(D\) y \(C(x)\) una expresión definida en todo \(D\). Entonces, para \(r \in D\):
(i) \(r\) es solución de \(A(x) = B(x)\) si y solo si es solución de \(A(x) + C(x) = B(x) + C(x)\);
(ii) si además \(C(r) \neq 0\), entonces \(r\) es solución de \(A(x) = B(x)\) si y solo si es solución de \(A(x)C(x) = B(x)C(x)\).
Demostración. Fijemos \(r \in D\) y llamemos \(a = A(r)\), \(b = B(r)\) y \(c = C(r)\), que son números reales. Para (i): si \(a = b\), sumar el mismo número \(c\) a ambos lados da \(a + c = b + c\); recíprocamente, si \(a + c = b + c\), sumar \(-c\) a ambos lados da \(a = b\). Para (ii): si \(a = b\), entonces \(ac = bc\); recíprocamente, si \(ac = bc\) y \(c \neq 0\), multiplicar por el inverso \(c^{-1}\) del §1.1 da \(a = b\). \(\blacksquare\)
La clave está en el "recíprocamente". Cada uno de estos pasos se puede deshacer con otro paso del mismo tipo, y por eso no gana ni pierde soluciones. Multiplicar por una expresión que se anula en algún punto, en cambio, puede hacer aparecer soluciones nuevas: el paso de \(ac = bc\) a \(a = b\) falla cuando \(c = 0\). Este es el origen de todas las soluciones extrañas de la sección.
Una ecuación lineal en \(x\) es una que, mediante esos pasos, se lleva a la forma \(ax + b = 0\), con \(a, b \in \mathbb{R}\). Si \(a \neq 0\), sumamos \(-b\) y multiplicamos por \(a^{-1}\), y obtenemos la ecuación equivalente \(x = -\frac{b}{a}\): hay una única solución. Si \(a = 0\), la ecuación se reduce a \(b = 0\), una afirmación en la que \(x\) ya no aparece. Es verdadera para todo \(x\) si \(b = 0\), y entonces el conjunto solución es \(\mathbb{R}\), o falsa para todo \(x\) si \(b \neq 0\), y entonces el conjunto solución es vacío, \(\emptyset\). Este caso no es una rareza: recuerda que resolver no siempre produce un único número.
Recordatorio. Sumar una misma expresión a ambos miembros, o multiplicarlos por una expresión que no se anula, da una ecuación equivalente. La ecuación \(ax + b = 0\) tiene solución única si \(a \neq 0\); si \(a = 0\), el conjunto solución es \(\mathbb{R}\) o \(\emptyset\), según sea \(b = 0\) o \(b \neq 0\).
§2. Ecuaciones cuadráticas¶
Una ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2 + bx + c = 0\), con \(a \neq 0\). El trabajo grueso ya está hecho en el §1.3, que factorizó el trinomio completando el cuadrado. Aquí falta un solo ingrediente, que permite pasar de un producto nulo a sus factores.
Propiedad del producto nulo. Para \(u, v \in \mathbb{R}\), \(uv = 0\) si y solo si \(u = 0\) o \(v = 0\).
Una de las dos implicaciones es el lema del §1.3: si \(uv = 0\), alguno de los factores es cero. La otra viene del §1.1: si \(u = 0\), entonces \(uv = 0 \cdot v = 0\), y lo mismo si \(v = 0\). Esta propiedad, y no un hábito de manipulación, es lo que permite pasar de \((x - 3)(x + 2) = 0\) a "\(x = 3\) o \(x = -2\)". La demostración del lema usa que todo real no nulo tiene inverso; en un sistema numérico sin esa garantía, la propiedad podría fallar. Con un producto de tres o más factores se aplica varias veces: el producto es cero si y solo si alguno de los factores lo es.
Proposición. Sean \(a, b, c \in \mathbb{R}\) con \(a \neq 0\), y sea \(\Delta = b^2 - 4ac\) el discriminante.
(i) Si \(\Delta > 0\), la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\) tiene exactamente dos soluciones,
(ii) Si \(\Delta = 0\), tiene exactamente una solución, \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
(iii) Si \(\Delta < 0\), no tiene soluciones reales.
Demostración. Si \(\Delta \ge 0\), el §1.3 da \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) para todo \(x\). Por la propiedad del producto nulo, y como \(a \neq 0\), el lado derecho vale \(0\) si y solo si \(x = x_1\) o \(x = x_2\). Además \(x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{\Delta}}{a}\), que es distinto de cero si \(\Delta > 0\) e igual a cero si \(\Delta = 0\). Esto prueba (i) y (ii), porque si \(\Delta = 0\) ambas fórmulas dan \(-\frac{b}{2a}\). Si \(\Delta < 0\), en la demostración del §1.3 vimos que \(at^2 + bt + c \neq 0\) para todo real \(t\), y eso es (iii). \(\blacksquare\)
La fórmula que resume (i) y (ii) se escribe con un solo símbolo, \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\), donde \(\pm\) indica que se toma una vez el signo \(+\) y otra el signo \(-\). Por ejemplo, en \(x^2 - 4x + 1 = 0\) tenemos \(\Delta = 16 - 4 = 12\) y \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), de modo que \(x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\). Factorizar y usar la fórmula no son dos métodos distintos sino el mismo resultado leído de dos maneras: cuando la factorización se ve a simple vista, es más rápida; cuando no, la fórmula la encuentra siempre.
Recordatorio. Un producto es cero si y solo si alguno de sus factores lo es. El signo de \(\Delta\) decide si la ecuación cuadrática tiene dos soluciones, una o ninguna.
§3. Ecuaciones con radicales¶
Una ecuación con radicales es una en la que la variable aparece dentro de una raíz, como en \(\sqrt{x + 3} = x - 3\). El método habitual es aislar el radical y elevar ambos miembros al índice de la raíz para eliminarla. Pero elevar al cuadrado no es uno de los pasos seguros del §1: no se puede deshacer, porque el cuadrado no distingue un número de su opuesto. En efecto, por la diferencia de cuadrados del §1.3 y la propiedad del producto nulo,
El símbolo \(\iff\) se lee "si y solo si": cada afirmación implica la siguiente y también la anterior. Elevar al cuadrado la igualdad \(u = v\) produce una afirmación más débil, que también se cumple cuando \(u = -v\). Las soluciones extrañas vienen de ahí, y la siguiente proposición dice exactamente cuáles son.
Proposición. Sean \(f(x)\) y \(g(x)\) expresiones algebraicas. Un número real \(r\) es solución de \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) si y solo si \(f(r) = g(r)^2\) y \(g(r) \ge 0\).
Demostración. Supongamos que \(\sqrt{f(r)} = g(r)\). Una raíz cuadrada es, por definición (§1.2), un número no negativo, así que \(g(r) \ge 0\); y elevando al cuadrado, \(f(r) = \left(\sqrt{f(r)}\right)^2 = g(r)^2\). Recíprocamente, supongamos que \(f(r) = g(r)^2\) y \(g(r) \ge 0\). Entonces \(f(r) \ge 0\), porque es un cuadrado, y \(\sqrt{f(r)}\) está definida. Además, \(g(r)\) es un número no negativo cuyo cuadrado es \(f(r)\), y por la unicidad de la raíz demostrada en el §1.2, \(\sqrt{f(r)} = g(r)\). \(\blacksquare\)
La proposición dice que toda solución de la ecuación original resuelve la ecuación elevada al cuadrado, \(f(x) = g(x)^2\), pero que esta última puede tener soluciones de más: las que cumplen \(g(r) < 0\). Esas son las soluciones extrañas. No son errores de cálculo, sino la consecuencia necesaria de un paso que pierde información. La conclusión práctica es que toda solución obtenida al elevar al cuadrado debe verificarse en la ecuación original, o bien comprobando que \(g(r) \ge 0\). Lo mismo ocurre con cualquier índice par. Cuando hay más de un radical y hay que elevar dos veces, lo más seguro es verificar cada candidato en la ecuación de partida.
Ejemplo. Resolvamos \(\sqrt{x + 3} = x - 3\). Elevando al cuadrado, \(x + 3 = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\), es decir, \(x^2 - 7x + 6 = 0\), que se factoriza como \((x - 1)(x - 6) = 0\). Los candidatos son \(x = 1\) y \(x = 6\). Aquí \(g(x) = x - 3\). Para \(x = 6\), \(g(6) = 3 \ge 0\), y en efecto \(\sqrt{9} = 3\). Para \(x = 1\), \(g(1) = -2 < 0\): es una solución extraña, porque \(\sqrt{4} = 2\) y no \(-2\). El conjunto solución es \(\{6\}\).
Recordatorio. Elevar al cuadrado puede agregar soluciones, porque \(u^2 = v^2\) también se cumple cuando \(u = -v\). Toda solución de una ecuación con radicales se verifica en la ecuación original.
§4. Ecuaciones con expresiones racionales¶
Cuando la variable aparece en un denominador, el procedimiento habitual es multiplicar ambos miembros por el mínimo común denominador del §1.4. Las fracciones desaparecen y la ecuación se reduce a una lineal o cuadrática. ¿Es un paso seguro? Por la parte (ii) de la proposición del §1, sí lo es en todo el dominio de la ecuación original, porque allí el mínimo común denominador no se anula. Fuera de ese dominio la proposición no dice nada. La ecuación sin fracciones puede tener soluciones en los valores excluidos, y esas soluciones no lo son de la ecuación original, que ahí ni siquiera está definida.
De aquí sale el método. Primero determinamos el dominio de la ecuación original. Después multiplicamos por el mínimo común denominador y resolvemos la ecuación resultante. Por último, nos quedamos solo con las soluciones que pertenecen al dominio. Es el mismo cuidado que exigía simplificar en el §1.4: la expresión sin denominadores no recuerda qué valores estaban prohibidos.
Ejemplo. Resolvamos
Como \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), el dominio excluye \(x = 1\) y \(x = -1\), y el mínimo común denominador es \((x - 1)(x + 1)\). Multiplicando ambos miembros por él, queda \((x + 1) + (x - 1) = 2\), es decir, \(2x = 2\), cuya única solución es \(x = 1\). Pero \(1\) no está en el dominio. La ecuación original no tiene soluciones: su conjunto solución es \(\emptyset\).
El fenómeno opuesto también ocurre. En \(\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2} + 1\), el dominio excluye \(x = 2\). Multiplicando por \(x - 2\) se obtiene \(x = 2 + (x - 2)\), es decir, \(x = x\), que vale para todo real. Al descartar el valor excluido, el conjunto solución es \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), y no todo \(\mathbb{R}\) como sugeriría la ecuación sin denominadores.
Recordatorio. Multiplicar por el mínimo común denominador da una ecuación equivalente solo dentro del dominio de la original. Toda solución se contrasta con ese dominio, y se descarta si cae fuera.
Con los métodos de resolución ya establecidos, el capítulo está listo para su aplicación más directa: traducir problemas descritos en palabras al lenguaje de las ecuaciones, tarea de la sección siguiente.