Capítulo 6 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶

El Capítulo 5 construyó las funciones trigonométricas sobre los números reales sin que, en ningún momento, apareciera un ángulo ni un triángulo: el seno y el coseno de \(t\) eran las coordenadas de un punto que recorre una circunferencia, y nada más. Este capítulo devuelve la mirada a la geometría de la que esas funciones nacieron históricamente, pero lo hace en el orden inverso al de la tradición: en lugar de partir del triángulo para llegar, con esfuerzo, a la circunferencia, parte de la circunferencia ya construida para recuperar el triángulo como una consecuencia.

Esto exige precisar tres cosas que la mayoría de los textos da por sabidas. Primero, qué significa medir un ángulo: aquí la medida es la longitud de un arco de la circunferencia unitaria, de modo que el radián no es una convención sino la única medida que la construcción del §5.2 ya contenía, y el grado, un cambio de escala. Segundo, por qué las razones entre los lados de un triángulo rectángulo coinciden con las coordenadas de \(W(t)\): es un teorema de semejanza, y se demuestra. Y tercero, cómo esas razones permiten resolver triángulos cualesquiera mediante dos identidades —la ley de los senos y la ley de los cosenos— que se deducen, sin apelar a nada externo, de lo ya construido.

Contenido del capítulo¶

6.1 Medición de Ángulos: El ángulo en posición estándar como giro; su medida por longitud de arco sobre la circunferencia unitaria; ángulos coterminales; el radián y la fórmula \(s=r\theta\), demostrada por homotecia; el grado como cambio de escala; el movimiento circular uniforme.
6.2 Trigonometría del Triángulo Rectángulo: Puente con el Capítulo 5: por semejanza de triángulos, las razones entre lados del triángulo rectángulo coinciden con las coordenadas de \(W(t)\); ángulos notables y resolución de triángulos rectángulos.
6.3 Funciones Trigonométricas de Ángulos: Ángulos en posición estándar, ángulos de referencia, signos por cuadrante y valores de las seis funciones para ángulos arbitrarios.
6.4 Ley de los Senos: Demostración a partir de la altura y del área del triángulo; el caso ambiguo (LLA) con análisis completo de sus tres resultados posibles.
6.5 Ley de los Cosenos: Demostración desde coordenadas como generalización del teorema de Pitágoras; resolución de triángulos (LAL, LLL); fórmula de Herón como corolario.
6.6 Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas: De la agrimensura y la triangulación a la geodesia, y de la ley de cosenos plana a la esférica como primer contacto con las geometrías no euclídeas.

"Medir un ángulo es preguntar cuánta circunferencia cabe en su abertura; el radián es la respuesta que no necesita constante alguna."