Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.11 — Número, axioma y certeza¶
Una demostración cierra una pregunta matemática. No siempre cierra la pregunta que la hizo necesaria.
El agujero que ningún racional tapa¶
Empecemos por un problema concreto, porque las preguntas grandes casi siempre empiezan en un detalle chico. Un conjunto de números está acotado superiormente cuando existe algún número, no importa cuál, que sea mayor o igual que todos sus elementos: un techo. El supremo es el más ajustado de todos esos techos, la menor cota superior, la que no deja margen de sobra. Si el conjunto es, por ejemplo, el de los racionales menores que \(5\), el supremo es exactamente \(5\): ningún número menor serviría de techo, y cualquier número mayor sería un techo innecesariamente alto.
Ahora, el conjunto que importa de verdad: los racionales positivos cuyo cuadrado es menor que \(2\). Está acotado, porque ningún elemento llega a \(2\): si un racional fuera mayor o igual que \(2\), su cuadrado sería mayor o igual que \(4\). Tiene, entonces, techos racionales de sobra. Lo que no tiene es el más ajustado de ellos. Cualquier racional que se proponga como supremo puede refutarse. Si su cuadrado es menor que \(2\), hay otro racional un poco mayor que sigue en el conjunto, así que no era un techo. Si su cuadrado es mayor que \(2\), hay otro racional un poco menor que sigue siendo techo, así que no era el más ajustado. Y ningún racional tiene cuadrado exactamente igual a \(2\). El conjunto queda con infinitos techos racionales y ninguno que sea el mejor. Ese es el agujero. No tiene nada que ver con la distancia entre los racionales, que están tan cerca unos de otros como se quiera: tiene que ver con que, mirada desde arriba, la escalera de techos posibles no tiene último escalón.
Los números reales tapan ese agujero por decreto. Se postula que todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo, del mismo modo en que se postula que la suma es conmutativa. Dentro del sistema de axiomas no se deriva de nada: es uno de los puntos de partida. Es una decisión sobre qué clase de objeto se quiere que sea el continuo numérico. Pero quedarse con el decreto deja una incomodidad, y en el siglo XIX dos matemáticos intentaron reemplazarlo por una construcción.
Dedekind quiso construir el número que tapa el agujero usando solamente racionales. Su idea fue partir los racionales en dos clases: los que quedan por debajo de \(\sqrt{2}\) y los que quedan por encima. Pero "por debajo de \(\sqrt{2}\)" presupone que \(\sqrt{2}\) ya existe, que es justamente lo que no se puede dar por sentado. La salida fue describir la partición sin nombrar nunca a \(\sqrt{2}\). La clase de abajo está formada por los racionales negativos, el cero y los racionales positivos cuyo cuadrado es menor que \(2\), el mismo conjunto de antes; la clase de arriba, por los racionales positivos cuyo cuadrado es mayor que \(2\). Entre las dos están todos los racionales, porque ninguno tiene cuadrado igual a \(2\), y ningún racional se sienta en el borde: la clase de abajo no tiene máximo y la de arriba no tiene mínimo. Esa partición, el corte, se declara por definición el número nuevo. \(\sqrt{2}\) deja de ser una cantidad que se busca y pasa a ser la frontera misma entre "menor" y "mayor".
Cantor, con Méray y Heine en los mismos años, resolvió el problema por un camino que a primera vista no tiene nada que ver. En lugar de partir los racionales en dos clases, se fijó en las sucesiones de racionales cuyos términos se van acercando entre sí, como \(1\), \(1{,}4\), \(1{,}41\), \(1{,}414\), \(1{,}4142\), y así siguiendo. La propiedad que importa es precisa: para cualquier distancia que se fije, por pequeña que sea, a partir de cierto lugar dos términos cualesquiera de la sucesión están más cerca que esa distancia. No alcanza con que los términos consecutivos se acerquen; tienen que acercarse todos entre sí. Una sucesión con esa propiedad se llama sucesión de Cauchy. La de arriba se acerca cada vez más a un lugar donde no hay ningún racional esperando. Cantor definió el número nuevo a partir de la sucesión misma, o más exactamente, a partir de la clase de todas las sucesiones de Cauchy que terminan acercándose entre sí, porque hay muchas que se aproximan al mismo lugar. \(\sqrt{2}\) deja de ser una cantidad y pasa a ser un proceso: la promesa infinita de una aproximación cada vez mejor.
Un corte que separa dos clases; una sucesión que se aproxima sin llegar nunca. Son objetos de naturaleza completamente distinta, construidos con herramientas distintas. Sin embargo, cuando se reconstruye con cualquiera de los dos toda la aritmética y el orden, se obtiene un sistema que cumple todos los axiomas del §1.1, incluido el del supremo, que ahora deja de ser un decreto y pasa a ser un teorema. Y hay más: se puede demostrar que dos sistemas cualesquiera que cumplan esos axiomas tienen exactamente la misma estructura, de modo que uno se traduce en el otro sin perder nada. No es que Dedekind y Cantor hayan llegado por caminos distintos al mismo lugar. Es que hay dos objetos genuinamente distintos, porque un corte no es una sucesión, que resultan indistinguibles en todo lo que la matemática necesita usar de ellos.
Y ahí aparece la pregunta que ningún cálculo posterior resuelve:
al completar los racionales, sea por cortes, sea por sucesiones, sea por el axioma que simplemente lo exige, ¿se descubren números que ya estaban ahí, esperando, o se construye un objeto que antes no existía?
Si se descubren, \(\sqrt{2}\) existía antes de que nadie lo demostrara, del mismo modo en que una montaña existe antes de ser escalada, y el corte y la sucesión son apenas dos mapas distintos del mismo territorio. Si se construyen, el continuo numérico es un artefacto: depende de una decisión sobre cómo llenar los huecos, y esa decisión, en principio, pudo haber tomado otra forma. El axioma del supremo no toma partido entre estas dos lecturas; funciona igual bajo cualquiera de ellas. Pero elegir postularlo, en lugar de derivarlo de una construcción, ya es una postura sobre qué clase de objeto se quiere que sea.
La forma deductiva y lo que oculta¶
Casi toda la matemática que se escribe hoy sigue el mismo guion: primero una definición, después un enunciado, después su demostración. Vale la pena detenerse en ese guion, porque no es la única forma posible de presentar matemática; es una elección tan antigua que resulta casi invisible. La fijó Euclides hace más de dos mil años: primero se declara de qué objetos se va a hablar, después se aceptan sin demostración ciertos principios de partida, y solo entonces se construyen, paso a paso, las proposiciones que se siguen de ellos.
Miremos de cerca qué hace una demostración de este tipo. Tomemos la irracionalidad de \(\sqrt{2}\): se supone lo contrario de lo que se quiere probar, se sigue una cadena de pasos obligados y se llega a una contradicción, con lo cual la suposición inicial queda descartada. La demostración es impecable: cada paso se apoya en el anterior, sin resquicio para la duda. Pero notemos lo que no cuenta. No dice cómo alguien llegó por primera vez a sospechar que \(\sqrt{2}\) podía no ser racional. No muestra los intentos fallidos, los caminos sin salida, la intuición que llevó a probar justamente con la paridad y no con otra propiedad cualquiera. La demostración reconstruye el camino más corto para convencer a otra persona, una vez que ya se sabe la respuesta. Ese camino corto casi nunca coincide con el camino real, largo y tanteado, por el que alguien llegó a ella.
Esto deja una pregunta abierta:
¿la forma axiomático-deductiva presenta el conocimiento matemático tal como fue descubierto, o solamente tal como puede justificarse una vez descubierto?
Ninguna de las dos respuestas es cómoda. Si la forma deductiva oculta sistemáticamente el proceso real, con la conjetura equivocada, el ejemplo que la refuta y la corrección que sigue, entonces lo que queda a la vista es la fachada de cada resultado, no el edificio que hizo falta levantar y derribar varias veces para llegar a ella. Pero esa misma fachada, ordenada y sin rastro de los tanteos previos, es lo que permite que cualquier persona, en cualquier lugar, verifique un resultado sin repetir el proceso completo de descubrimiento. Tal vez la tensión entre encontrar algo y justificar que es cierto no sea un problema a resolver, sino un rasgo estructural, incómodo pero productivo, de cómo se ha escrito la matemática durante los últimos dos mil años.
Traducir, no solo calcular¶
Decir que una ecuación es una circunferencia, que \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) y la figura redonda dibujada en el plano son sin más la misma cosa, es un gesto tan habitual que ya no llama la atención. No se dice "esta ecuación describe una circunferencia" ni "esta ecuación corresponde a una circunferencia": se usa el verbo ser. Vale la pena detenerse en ese verbo, porque no siempre fue natural usarlo así.
Antes del siglo XVII, la geometría y el álgebra eran, en un sentido bastante literal, dos matemáticas distintas. La geometría griega trabajaba con figuras, con regla y compás, con razones entre magnitudes; el álgebra que se desarrolló después trabajaba con símbolos, ecuaciones e incógnitas. No es que faltara ingenio para conectarlas: faltaba el puente. Ese puente, la idea de describir cada punto del plano con un par de números, fue obra de Descartes y de Fermat, casi al mismo tiempo y por caminos independientes, y resultó tan completo que hoy cuesta concebir la geometría sin él.
Pero el puente no responde por sí solo una pregunta que queda debajo, sin resolver. Cuando se dice que una ecuación es una circunferencia, ¿se trata del mismo objeto visto desde dos ángulos, como una persona vista de frente y de perfil, o de dos objetos genuinamente distintos, uno algebraico y otro geométrico, que una traducción muy bien construida hace parecer intercambiables? La diferencia no es un tecnicismo. Si son el mismo objeto, el álgebra no agrega información que la geometría no tuviera ya; solo la vuelve más fácil de manejar. Si son dos objetos conectados por una traducción, cada vez que se pasa de una ecuación a su gráfica, o de una figura a su ecuación, no se cambia simplemente de notación: se cruza una frontera entre dos maneras distintas de ser un objeto matemático.
En la práctica, este capítulo tomó una decisión. La distancia en el plano y la recta se presentaron primero con argumentos de la geometría euclidiana, Pitágoras y los triángulos semejantes, y después se adoptaron fórmulas algebraicas como definiciones. Desde ese momento, la circunferencia y la recta del libro son, por definición, conjuntos de pares de números. Esa decisión permite demostrarlo todo con álgebra, pero no contesta la pregunta: solo elige de qué lado del puente se trabaja.
Lo que una gráfica no puede hacer, ni ayer ni hoy¶
Hay una distinción que suena a simple consejo práctico, la de que una gráfica sugiere y verifica pero no demuestra, y que, seguida con calma, lleva mucho más lejos de lo que cualquier calculadora permite ver.
A fines del siglo XIX, Hilbert propuso una manera de entender los axiomas que en su momento resultó perturbadora. Hasta entonces se pensaba que palabras como "punto" o "recta" tenían un significado fijo e intuitivo, y que los axiomas describían verdades sobre esos objetos ya conocidos. Hilbert invirtió el orden: los axiomas no describen objetos previamente entendidos, sino que definen, mediante las relaciones que exigen entre ellos, cualquier cosa que pueda llamarse "punto" o "recta". Según una anécdota conocida, dijo que su geometría debía poder enunciarse igual de bien reemplazando "punto, recta, plano" por "mesa, silla, jarro de cerveza", siempre que esos objetos cumplieran las mismas relaciones exigidas por los axiomas. Lo que importa no es qué son los objetos, sino cómo se relacionan entre sí.
Ese mismo movimiento, el de axiomas que no describen algo ya entendido sino que fijan las reglas de comportamiento de lo que se decide llamar así, es el que hace que la suma y el producto de los números reales queden caracterizados por la conmutatividad, la asociatividad, la distributividad y la existencia de neutros e inversos, sin que ninguna de esas reglas diga qué es un número real. La certeza, en esta imagen, deja de apoyarse en una intuición previa sobre el significado de los símbolos y pasa a apoyarse por completo en que las reglas se cumplan.
Esa idea, que la validez de un razonamiento puede verificarse sin apelar a ninguna intuición sobre el significado de los símbolos, revisando solamente que cada paso respete las reglas, es la que hoy permite algo que en tiempos de Hilbert era ciencia ficción: que una demostración entera sea revisada, símbolo por símbolo, por un programa de computadora, sin que el programa entienda, en ningún sentido razonable de "entender", de qué está hablando. Sistemas como Lean, con su biblioteca de resultados verificados llamada mathlib, hacen exactamente eso: comprueban que cada paso de una demostración se siga del anterior según reglas lógicas fijas, sin atajos intuitivos. La demostración de que \(\sqrt{2}\) no es racional, la primera de este capítulo, ya está formalizada de este modo en más de uno de estos sistemas.
Con esa posibilidad llega una familia de preguntas que ni Euclides ni Hilbert pudieron hacerse en estos términos:
¿una demostración verificada por una máquina es comprendida por alguien, o simplemente está garantizada? ¿Son la misma cosa? Si una prueba formal es correcta paso por paso, pero ninguna persona logra extraer de ella por qué el resultado es cierto, si la prueba certifica sin explicar, ¿en qué sentido sigue siendo una demostración matemática, y no simplemente un cálculo larguísimo que resultó dar verdadero?
La máquina puede confirmar que algo es cierto. Entender por qué lo es sigue siendo, por ahora, un trabajo que hace una persona.
Lo que queda abierto¶
Ninguna de las preguntas planteadas aquí tiene, en este libro, una respuesta. La matemática construida a lo largo del capítulo, con sus números, potencias, expresiones, ecuaciones, desigualdades, geometría analítica y rectas, es sólida en el sentido en que una demostración es sólida: cada paso se sigue con necesidad de los axiomas y de las definiciones adoptadas. Pero esa solidez interna no dice, por sí sola, si lo construido estaba esperando a ser descubierto o fue inventado. No dice si la forma en que se lo presentó revela el camino real por el que se llegó a esos resultados, o solo el camino que mejor los justifica. No dice si una ecuación y la figura que describe son el mismo objeto o dos objetos traducidos. Y no dice qué relación guarda la certeza de una demostración escrita por una persona con la certeza, distinta, que hoy puede ofrecer una máquina. Las cuatro preguntas quedan abiertas.