1.11 Cierre

Cierre del Capítulo 1 — Número, axioma y certeza¶

Una demostración cierra una pregunta matemática. No siempre cierra la pregunta que la hizo necesaria.

El agujero que ningún racional tapa¶

Empecemos por un problema concreto, porque las preguntas grandes casi siempre empiezan en un detalle chico. Un conjunto de números está acotado superiormente cuando existe algún número —no importa cuál, alcanza con que exista uno— que sea mayor o igual que todos los elementos del conjunto: un techo. El supremo es el más ajustado de todos esos techos posibles: la menor cota superior, la que no deja margen de sobra. Si el conjunto es, por ejemplo, todos los racionales menores que \(5\), el supremo es exactamente \(5\): ningún número menor serviría de techo, y cualquier número mayor sería un techo innecesariamente alto.

Ahora, el conjunto que importa de verdad: todos los racionales positivos cuyo cuadrado es menor que \(2\). Este conjunto está acotado —ningún elemento supera a \(2\), porque si un racional fuera mayor o igual a \(2\), su cuadrado ya sería mayor o igual a \(4\)—. Tiene, entonces, techos racionales de sobra. Lo que no tiene es el más ajustado de todos ellos. Cualquier racional que se proponga como supremo puede refutarse: si su cuadrado es menor que \(2\), siempre hay otro racional un poco mayor que sigue en el conjunto, así que no era el techo más bajo; si su cuadrado es mayor que \(2\), siempre hay otro racional un poco menor que sigue siendo techo, así que tampoco era el más ajustado. La única cifra que podría ser el supremo exacto —un número cuyo cuadrado sea precisamente \(2\)— no es racional. El conjunto queda con infinitos techos racionales y ninguno que sea el mejor. Ese es el agujero, y no tiene nada que ver con la cercanía entre los racionales —que están, de hecho, arbitrariamente cerca unos de otros—: tiene que ver con que, mirando desde arriba, la escalera de techos posibles no tiene último escalón.

Los números reales tapan ese agujero por decreto. Se postula que todo conjunto acotado tiene un supremo —no se explica por qué, se exige que así sea—, del mismo modo en que se postula que la suma es conmutativa. No se lo deriva de nada más elemental, porque no hay nada más elemental de donde derivarlo. Es, en sentido estricto, un acto de fe axiomático: una decisión sobre qué clase de objeto se quiere que sea el continuo numérico.

Dedekind quiso ser más cuidadoso que eso. En vez de postular que el agujero se tapa, quiso construir el número que lo tapa, usando solamente racionales. Su idea fue partir los racionales en dos mitades: todos los menores que \(\sqrt{2}\) de un lado, todos los mayores del otro. El problema es que "menor que \(\sqrt{2}\)" presupone que \(\sqrt{2}\) ya existe, y ese es justamente el punto que no se puede dar por sentado. La salida fue describir esa partición sin nombrar nunca a \(\sqrt{2}\): un lado es, literalmente, el conjunto de racionales positivos cuyo cuadrado es menor que \(2\) —el mismo conjunto de arriba—; el otro, el resto. La partición completa —el corte— no es un número racional, porque ningún racional se sienta exactamente en el borde entre ambas mitades. Pero el corte mismo, con sus dos lados, se convierte, por definición, en el número nuevo. \(\sqrt{2}\) deja de ser una cantidad que se busca y pasa a ser, directamente, la cicatriz que separa "menor" de "mayor".

Cantor resolvió el mismo problema por un camino que a primera vista no tiene nada que ver. En vez de cortar los racionales en dos mitades, se fijó en las sucesiones de racionales que se acercan cada vez más entre sí —por ejemplo, \(1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142,\dots\), donde la distancia entre términos consecutivos se achica sin límite—. A una sucesión con esa propiedad —que sus propios términos se acercan entre sí, no que se acerquen a algún número ya conocido de antemano— se la llama sucesión de Cauchy. La sucesión de arriba nunca toca un racional que sea exactamente su límite; se acerca, eternamente, a un lugar donde no hay ningún racional esperando. Cantor definió el número nuevo como la sucesión misma: \(\sqrt{2}\) deja de ser una cantidad y pasa a ser un proceso, la promesa infinita de una aproximación cada vez mejor.

Un corte que separa dos mitades; una sucesión que se aproxima sin llegar nunca. Son objetos de naturaleza completamente distinta, construidos con herramientas distintas, y sin embargo, cuando se reconstruye con cualquiera de los dos toda la aritmética habitual, el resultado es, en su estructura, exactamente el mismo sistema numérico. No es que Dedekind y Cantor hayan llegado, por caminos distintos, al mismo lugar. Es que hay dos objetos genuinamente distintos —un corte no es una sucesión— que resultan indistinguibles en todo lo que la matemática necesita usar de ellos.

Y ahí aparece la pregunta que ningún cálculo posterior resuelve:

al completar los racionales —sea por cortes, sea por sucesiones, sea por el axioma que simplemente lo exige— ¿se descubren números que ya estaban ahí, esperando, o se construye un objeto que antes no existía?

Si se descubren, \(\sqrt{2}\) existía antes de que nadie lo demostrara, del mismo modo en que una montaña existe antes de ser escalada, y tanto el corte como la sucesión son apenas dos mapas distintos del mismo territorio ya presente. Si se construyen, el continuo numérico es un artefacto: depende de una decisión sobre cómo llenar los huecos, y esa decisión —en principio— pudo haber tomado otra forma. El axioma del supremo no toma partido entre estas dos lecturas; funciona igual bajo cualquiera de las dos. Pero elegir postularlo —en vez de exigir que se lo derive de algo más primitivo— ya es, en sí mismo, una postura sobre qué clase de objeto se quiere que sea.

La forma deductiva y lo que oculta¶

Casi toda la matemática que se escribe hoy sigue el mismo guion: primero una definición, después un enunciado, después su demostración. Vale la pena detenerse en ese guion mismo, porque no es la única forma posible de presentar matemática —es una elección, tan antigua que resulta casi invisible—. La fijó Euclides hace más de dos mil años: primero se declara qué son los objetos de los que se va a hablar, después se aceptan sin demostrar ciertos principios de partida, y solo entonces se construyen, paso a paso, las proposiciones que se derivan de ellos.

Conviene mirar de cerca qué hace exactamente una demostración de este tipo. Tómese la irracionalidad de \(\sqrt{2}\): se supone lo contrario de lo que se quiere probar, se sigue una cadena de pasos obligados, y se llega a una contradicción, con lo cual la suposición inicial queda descartada. Es una demostración impecable: cada paso se apoya estrictamente en el anterior, sin resquicio para la duda. Pero nótese lo que esa demostración no cuenta: no dice cómo alguien, por primera vez, llegó a sospechar que \(\sqrt{2}\) podía no ser racional; no muestra los intentos fallidos, los caminos sin salida, la intuición que hizo probar justamente con la paridad y no con otra propiedad cualquiera. La demostración reconstruye el camino más corto para convencer a otra persona, una vez que ya se sabe cuál es la respuesta. Ese camino corto casi nunca coincide con el camino real, largo y tanteado, por el que alguien llegó por primera vez a ella.

Esto deja una pregunta abierta:

¿la forma axiomático-deductiva presenta el conocimiento matemático tal como fue descubierto, o solamente tal como puede justificarse una vez descubierto?

Ninguna de las dos respuestas es cómoda. Si la forma deductiva oculta sistemáticamente el proceso real —la conjetura equivocada, el ejemplo que refuta, la corrección que sigue—, entonces lo que queda a la vista es la fachada de cada resultado, no el edificio que hizo falta construir y derribar varias veces para llegar a ella. Pero esa misma fachada, ordenada y sin rastro de los tanteos previos, es exactamente lo que permite que cualquier persona, en cualquier lugar, pueda verificar un resultado sin tener que repetir el proceso de descubrimiento completo. Tal vez la tensión entre encontrar algo y justificar que es cierto no sea un problema a resolver, sino una característica estructural —incómoda, pero productiva— de cómo se ha escrito la matemática durante los últimos dos mil años.

Traducir, no solo calcular¶

Escribir que una ecuación es una circunferencia —que \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) y la figura redonda dibujada en el plano son, sin más, la misma cosa— es un gesto tan habitual que ya no llama la atención. No se dice "esta ecuación describe una circunferencia" ni "esta ecuación corresponde a una circunferencia": se usa el verbo ser. Vale la pena detenerse en ese verbo, porque no siempre fue tan natural usarlo así.

Antes de Descartes, geometría y álgebra eran, en un sentido bastante literal, dos matemáticas distintas. La geometría griega trabajaba con figuras, regla y compás, razones entre magnitudes; el álgebra que se desarrolló después trabajaba con símbolos, ecuaciones, incógnitas despejadas. No es que faltara ingenio para conectarlas: sencillamente no existía todavía el puente. Ese puente —el sistema de coordenadas que permite escribir cualquier punto del plano como un par de números— es la contribución de Descartes, y es tan completa que hoy resulta difícil concebir la geometría sin él.

Pero el puente no responde por sí solo una pregunta que queda debajo de él, sin resolver: cuando se dice que una ecuación es una circunferencia, ¿son, en efecto, el mismo objeto visto desde dos ángulos distintos —como una misma persona vista de frente y de perfil—, o son dos objetos genuinamente distintos, uno algebraico y otro geométrico, que una traducción muy bien construida hace parecer intercambiables? La diferencia no es un tecnicismo ocioso. Si son el mismo objeto, entonces el álgebra no agrega ninguna información que la geometría no tuviera ya —solo la vuelve más manejable, más fácil de calcular—. Si son dos objetos distintos conectados por una traducción, entonces cada vez que se pasa de una ecuación a su gráfica, o de una figura a su ecuación, no se está simplemente cambiando de notación: se está cruzando, cada vez, una frontera conceptual entre dos maneras distintas de ser un objeto matemático.

Lo que una gráfica no puede hacer, ni ayer ni hoy¶

Hay una distinción que suena a simple consejo práctico —una gráfica sugiere y verifica, pero no demuestra— y que, si se la sigue con calma, conduce mucho más lejos de lo que cualquier calculadora graficadora permite ver.

A comienzos del siglo XX, Hilbert propuso una manera de entender los axiomas que en su momento resultó perturbadora. Hasta ese momento, se pensaba que palabras como "punto" o "recta" tenían un significado fijo, intuitivo, y que los axiomas simplemente describían verdades sobre esos objetos ya conocidos. Hilbert sugirió invertir el orden: los axiomas no describen objetos previamente entendidos, sino que definen, mediante las relaciones que exigen entre ellos, cualquier cosa que pueda llamarse "punto" o "recta". Llegó a decir, medio en broma, que su geometría debía poder enunciarse igual de bien reemplazando "punto, recta, plano" por "mesa, silla, jarro de cerveza", siempre que esos objetos —cualesquiera que fueran— satisficieran las mismas relaciones exigidas por los axiomas. Lo que importa no es qué son los objetos, sino cómo se relacionan entre sí.

Ese mismo movimiento —axiomas que no describen algo ya entendido, sino que fijan las reglas de comportamiento de algo que se decide llamar así— es el que hace que la suma y el producto de los números reales queden definidos por conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia de neutros e inversos, sin que ninguna de esas reglas necesite decir qué es un número real. La certeza, en esa imagen, deja de apoyarse en una intuición previa sobre el significado de los símbolos, y pasa a apoyarse enteramente en que las reglas se cumplan.

Esa misma idea —que la validez de un razonamiento puede verificarse sin apelar a ninguna intuición sobre el significado de los símbolos, revisando únicamente que cada paso respete las reglas— es la que hoy permite algo que en el siglo de Hilbert todavía era ciencia ficción: que una demostración entera sea revisada, símbolo por símbolo, por un programa de computadora, sin que ese programa entienda —en ningún sentido razonable de "entender"— de qué está hablando. Sistemas como Lean, con su biblioteca de resultados verificados llamada mathlib, hacen exactamente eso: comprueban que cada paso de una demostración se siga estrictamente del anterior según reglas lógicas fijas, sin ningún atajo intuitivo. La demostración de que \(\sqrt{2}\) no es racional, la misma con la que abrió este capítulo, ya está formalizada de este modo en más de un sistema de estos.

Y con esa posibilidad llega una familia de preguntas que ni Euclides ni Hilbert pudieron haberse hecho en estos términos:

¿una demostración verificada por una máquina es comprendida por alguien, o simplemente está garantizada? ¿Son la misma cosa? Si una prueba formal es correcta, paso por paso, pero ninguna persona logra extraer de ella por qué el resultado es cierto —si la prueba certifica sin explicar—, ¿en qué sentido sigue siendo una demostración matemática, y no simplemente un cálculo larguísimo que resultó dar verdadero?

La máquina puede confirmar que algo es cierto. El sentido de por qué es cierto sigue siendo, hasta ahora, un trabajo que solo una persona puede hacer.

Lo que queda abierto¶

Ninguna de las preguntas planteadas aquí tiene, en este libro, una respuesta. La matemática construida a lo largo del capítulo —números, potencias, expresiones, ecuaciones, desigualdades, geometría analítica, rectas— es sólida exactamente en el sentido en que una demostración es sólida: cada paso se sigue del anterior con necesidad, sin huecos ni excepciones. Pero esa solidez interna no dice, por sí sola, si lo que se construyó estaba esperando a ser descubierto o fue efectivamente inventado; no dice si la forma en que se lo presentó revela el camino real por el que se llegó a esos resultados, o solo el camino que mejor los justifica; no dice si una ecuación y la figura que describe son el mismo objeto o dos objetos traducidos; y no dice qué relación exacta guarda la certeza de una demostración escrita por una persona con la certeza, distinta, que hoy puede ofrecer una máquina. Quedan, las cuatro, sin cerrar.