Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.7 — Desigualdades¶
Una ecuación pregunta dónde dos expresiones coinciden; una desigualdad, dónde una supera a la otra.
Una ecuación busca los valores en los que dos expresiones son iguales. Una desigualdad busca los valores en los que una es mayor o menor que la otra. Se escribe con uno de los signos \(<\), \(>\), \(\le\) o \(\ge\) entre dos expresiones, y su conjunto solución es, como en el §1.5, el conjunto de valores de la variable que la vuelven verdadera. La diferencia está en la forma de la respuesta: el conjunto solución de una desigualdad no suele ser un puñado de puntos sino un intervalo o una unión de intervalos, y la notación de intervalos del §1.1 es la manera natural de escribirlo.
La pregunta que guió el §1.5 vuelve aquí: qué pasos conservan el conjunto solución. La respuesta es parecida, con una diferencia importante que conviene demostrar y no solo recordar.
§1. Desigualdades lineales¶
Los axiomas de orden del §1.1 dicen que si \(a < b\), entonces \(a + c < b + c\) para todo real \(c\), y \(ac < bc\) para todo \(c > 0\). Sumar un mismo número a ambos miembros, o multiplicarlos por un mismo número positivo, conserva el sentido de la desigualdad. Ambos pasos se pueden deshacer, sumando \(-c\) o multiplicando por \(c^{-1}\), que también es positivo, como veremos enseguida. Por lo tanto dan desigualdades equivalentes, en el mismo sentido del §1.5. Con un número negativo, en cambio, el sentido se invierte.
Proposición. Si \(a < b\) y \(c < 0\), entonces \(ac > bc\).
Demostración. Como \(a < b\), sumando \(-a\) a ambos miembros resulta \(b - a > 0\). Como \(c < 0\), también \(-c > 0\). El producto de dos números positivos es positivo, de modo que \((b - a)(-c) > 0\), es decir, \(ac - bc > 0\). Sumando \(bc\) a ambos miembros, \(ac > bc\). \(\blacksquare\)
Dividir por \(c\) es multiplicar por \(c^{-1}\), y \(c^{-1}\) tiene el mismo signo que \(c\): como \(c \cdot c^{-1} = 1 > 0\), y el producto de dos números de signo opuesto es negativo, \(c\) y \(c^{-1}\) no pueden tener signos opuestos. Por eso dividir por un positivo conserva el sentido y dividir por un negativo lo invierte. La inversión no es una convención tipográfica: es una consecuencia de cómo se ordenan los reales negativos, y reaparecerá en el resto de la sección cada vez que el signo de un factor sea desconocido.
Ejemplo. Resolvamos \(3 - 2x \le 7\). Sumando \(-3\), queda \(-2x \le 4\). Multiplicando por \(-\frac{1}{2}\), que es negativo, el sentido se invierte: \(x \ge -2\). El conjunto solución es \([-2, \infty)\). Comprobemos con un valor: para \(x = 0\), \(3 \le 7\) es verdadera, y en efecto \(0 \ge -2\).
Recordatorio. Sumar un mismo número o multiplicar por un positivo conserva el sentido de la desigualdad; multiplicar o dividir por un negativo lo invierte. No es una convención: se demuestra a partir del orden de \(\mathbb{R}\).
§2. Desigualdades polinómicas¶
Una desigualdad como \(x^2 - x - 6 > 0\) no se resuelve despejando \(x\), porque no hay un paso que deje la \(x\) sola de un lado. Se resuelve con un análisis de signos, que se apoya en la factorización del §1.3. La idea es que el signo de un producto depende solo de los signos de sus factores: por los axiomas de orden del §1.1, un producto de reales no nulos es positivo si la cantidad de factores negativos es par, y negativo si es impar; y por la propiedad del producto nulo del §1.5, es cero si y solo si algún factor lo es.
El procedimiento es el siguiente. Llevamos la desigualdad a la forma \(P(x) > 0\), o \(P(x) < 0\), o con \(\ge\) o \(\le\), dejando cero en un miembro. Factorizamos \(P\) por completo sobre \(\mathbb{R}\). Cada factor tiene un signo fácil de conocer. Un factor lineal \(x - r\) es positivo si \(x > r\) y negativo si \(x < r\). Un factor de segundo grado irreducible \(ax^2 + bx + c\), con \(\Delta < 0\), tiene siempre el signo de \(a\): en la demostración del §1.3 lo escribimos como \(a\) por una cantidad positiva. Las raíces de los factores lineales dividen la recta en intervalos, y dentro de cada intervalo ningún factor cambia de signo, de modo que el producto tampoco. Basta determinar el signo del producto en cada intervalo y elegir los que cumplen la desigualdad, agregando las raíces cuando la desigualdad es \(\ge\) o \(\le\).
Ejemplo. Resolvamos \(x^2 - x - 6 > 0\). Factorizando, \((x - 3)(x + 2) > 0\). Las raíces \(-2\) y \(3\) dividen la recta en tres intervalos: \((-\infty, -2)\), \((-2, 3)\) y \((3, \infty)\). En el primero, los dos factores son negativos y el producto es positivo. En el segundo, \(x + 2\) es positivo y \(x - 3\) negativo, y el producto es negativo. En el tercero, los dos son positivos y el producto es positivo. Como la desigualdad es estricta, las raíces no entran. El conjunto solución es \((-\infty, -2) \cup (3, \infty)\), donde \(\cup\) es la unión de conjuntos del §1.1.
Figura 1.2 — Análisis de signos de \((x-3)(x+2)>0\): las regiones resaltadas son el conjunto solución.
Un factor repetido merece atención. En \((x - 1)^2(x + 3) < 0\), el factor \((x - 1)^2\) es un cuadrado, positivo salvo en \(x = 1\), donde vale cero; no cambia de signo al pasar por \(1\). El signo del producto es entonces el de \(x + 3\), salvo en \(x = 1\), y el conjunto solución es \((-\infty, -3)\). La regla de que el signo "alterna" de un intervalo al siguiente solo vale cuando cada raíz aparece una vez.
Recordatorio. Se deja cero en un miembro, se factoriza y se analiza el signo de cada factor en cada intervalo. Un factor elevado a una potencia par no cambia de signo al pasar por su raíz.
§3. Desigualdades con valor absoluto¶
Estas desigualdades se resuelven traduciéndolas a desigualdades sin valor absoluto. La traducción descansa en un lema que se sigue de la definición del valor absoluto del §1.1 y que tiene una lectura geométrica: \(|x - a|\) es la distancia entre \(x\) y \(a\).
Lema. Sean \(u \in \mathbb{R}\) y \(\epsilon > 0\). Entonces:
(i) \(|u| < \epsilon\) si y solo si \(-\epsilon < u < \epsilon\);
(ii) \(|u| > \epsilon\) si y solo si \(u > \epsilon\) o \(u < -\epsilon\).
Demostración. Separamos dos casos según el signo de \(u\). Si \(u \ge 0\), entonces \(|u| = u\), y además \(-\epsilon < 0 \le u\); por lo tanto \(|u| < \epsilon\) equivale a \(u < \epsilon\), que equivale a \(-\epsilon < u < \epsilon\), y \(|u| > \epsilon\) equivale a \(u > \epsilon\), porque \(u < -\epsilon\) es imposible. Si \(u < 0\), entonces \(|u| = -u\), y además \(u < 0 < \epsilon\); por la proposición del §1, \(-u < \epsilon\) equivale a \(u > -\epsilon\), y \(-u > \epsilon\) equivale a \(u < -\epsilon\). En ambos casos se obtienen (i) y (ii). \(\blacksquare\)
Con \(\le\) y \(\ge\) en lugar de \(<\) y \(>\), la misma demostración da las versiones no estrictas. La hipótesis \(\epsilon > 0\) importa: si \(\epsilon \le 0\), la desigualdad \(|u| < \epsilon\) no tiene solución, porque un valor absoluto nunca es negativo.
Aplicando el lema a \(u = x - a\), la desigualdad \(|x - a| < \epsilon\) dice que \(x\) está a menos de \(\epsilon\) de \(a\):
es decir, \(x \in (a - \epsilon, a + \epsilon)\), que es el entorno de \(a\) de radio \(\epsilon\) del §1.1. La desigualdad opuesta, \(|x - a| > \epsilon\), dice que \(x\) está a más de \(\epsilon\) de \(a\), lo que ocurre a ambos lados del punto:
La diferencia de forma entre los dos casos, un intervalo acotado para "\(<\)" y una unión de dos intervalos no acotados para "\(>\)", no es casual. Es la diferencia entre estar cerca de un punto, que solo ocurre en una región limitada a su alrededor, y estar lejos, que ocurre en todo lo que queda afuera.
Ejemplo. Resolvamos \(|2x - 3| \le 5\). Por la versión no estricta del lema, equivale a \(-5 \le 2x - 3 \le 5\). Sumando \(3\), \(-2 \le 2x \le 8\), y multiplicando por \(\frac{1}{2}\), que es positivo, \(-1 \le x \le 4\). El conjunto solución es \([-1, 4]\).
Recordatorio. Para \(\epsilon > 0\), \(|x - a| < \epsilon\) es el intervalo de centro \(a\) y radio \(\epsilon\); \(|x - a| > \epsilon\) es todo lo que queda fuera del intervalo cerrado \([a - \epsilon, a + \epsilon]\), una unión de dos intervalos no acotados.
§4. Desigualdades racionales¶
Una desigualdad racional, como \(\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0\), se resuelve con el mismo análisis de signos del §2, aplicado al numerador y al denominador. La justificación es que \(\dfrac{N}{D} = N \cdot D^{-1}\) y, como vimos en el §1, \(D^{-1}\) tiene el mismo signo que \(D\); el signo del cociente es entonces el que tendría el producto \(N \cdot D\).
Lo que no debe hacerse es multiplicar ambos miembros por el denominador. Su signo depende de \(x\), y la proposición del §1 dice que, según sea positivo o negativo, el sentido se conserva o se invierte. Multiplicar sin saber cuál de los dos casos ocurre produce resultados equivocados. Por ejemplo, de \(\frac{1}{x} < 1\) podría "deducirse", multiplicando por \(x\), que \(1 < x\); pero \(x = -1\) cumple la desigualdad original, porque \(-1 < 1\), y no cumple \(1 < x\). Lo correcto es dejar cero en un miembro: \(\frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x} < 0\), cuyo análisis de signos da el conjunto solución \((-\infty, 0) \cup (1, \infty)\).
El procedimiento, entonces, lleva todo a un miembro y deja cero en el otro, factoriza numerador y denominador, y analiza el signo del cociente en cada intervalo determinado por todas las raíces, las del numerador y las del denominador. Las raíces del denominador quedan siempre excluidas, cualquiera sea el signo de la desigualdad, porque por el §1.4 no pertenecen al dominio de la expresión.
Ejemplo. Resolvamos \(\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0\). Las raíces que importan son \(x = 1\), del numerador, y \(x = -2\), del denominador, que queda excluida. En \((-\infty, -2)\) el numerador y el denominador son negativos, y el cociente es positivo. En \((-2, 1)\) el numerador es negativo y el denominador positivo, y el cociente es negativo. En \((1, \infty)\) ambos son positivos, y el cociente es positivo. La desigualdad pide valores negativos o cero: tomamos el intervalo \((-2, 1)\) y el punto \(x = 1\), donde el cociente vale cero y que sí está en el dominio, pero nunca \(x = -2\). El conjunto solución es \((-2, 1]\).
Figura 1.3 — Análisis de signos de \(\dfrac{x-1}{x+2}\le0\): \(x=-2\) queda excluido del dominio (círculo rojo) aun cuando la desigualdad es "\(\le\)"; \(x=1\) sí se incluye (círculo azul lleno).
Recordatorio. En una desigualdad racional no se multiplica por una expresión cuyo signo depende de la variable: se deja cero en un miembro y se analiza el signo del cociente. Las raíces del denominador se excluyen siempre, aunque la desigualdad sea "\(\le\)" o "\(\ge\)".
Con ecuaciones y desigualdades resueltas sobre la recta real, el capítulo se traslada al plano: la geometría analítica de la sección siguiente traduce estas mismas ideas algebraicas al lenguaje de puntos, distancias y curvas.