Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.4 — Expresiones Fraccionarias¶
Un cociente de polinomios hereda las reglas de una fracción numérica, pero también hereda su cuidado: no toda cancelación es lícita.
En el §1.3 aprendimos a factorizar. Ahora usamos esa herramienta en su aplicación más inmediata: los cocientes de polinomios. Todo lo que el §1.1 estableció sobre fracciones de números reales vale aquí casi sin cambios. Hay una sola diferencia de fondo, y es la que da forma a toda la sección: el denominador ya no es un número fijo sino una expresión que depende de \(x\). La condición de que no se anule, que con números descartaba un único caso, ahora descarta en general un conjunto de valores de \(x\), y ese conjunto hay que llevarlo a la vista en cada paso.
§1. Expresiones racionales y su dominio¶
Una expresión racional es un cociente de dos polinomios,
donde \(Q\) no es el polinomio nulo. Para cada número real que pongamos en lugar de \(x\), el numerador y el denominador se convierten en números, y el cociente tiene sentido solo si el denominador resultante no es cero. Llamamos dominio de la expresión al conjunto de los reales para los cuales está definida:
La fórmula se lee así: el dominio es el conjunto de los \(x\) reales tales que \(Q(x)\) es distinto de cero. La barra vertical, como en el §1.1, separa la variable de la condición que debe cumplir. La misma idea se aplica a cualquier expresión algebraica: su dominio es el conjunto de los reales para los cuales todas sus operaciones están definidas.
Para hallar el dominio, factorizamos el denominador. El lema del §1.3 dice que un producto de reales es cero solo si alguno de los factores lo es; y si un factor es cero, el producto también lo es. Por lo tanto, los valores que anulan \(Q\) son exactamente los que anulan alguno de sus factores. Por ejemplo, en
el denominador se anula en \(x = 3\) y en \(x = -2\), y en ningún otro valor. El dominio es \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}\); el símbolo \(\setminus\) indica que a \(\mathbb{R}\) le quitamos los números que figuran entre llaves. Un factor irreducible de segundo grado no aporta exclusiones: por el §1.3, un trinomio con discriminante negativo no se anula para ningún real. Así, el dominio de \(\dfrac{1}{x^2 + 1}\) es todo \(\mathbb{R}\).
Recordatorio. El dominio de una expresión racional se determina con el denominador, no con el numerador. Un valor queda excluido si anula a \(Q(x)\), sin importar qué ocurra con \(P(x)\).
§2. Simplificación¶
Simplificar una expresión racional consiste en factorizar por completo el numerador y el denominador y cancelar los factores que comparten. La regla que lo permite es
y se apoya en un hecho de los números reales.
Proposición. Si \(a, b, c \in \mathbb{R}\), con \(b \neq 0\) y \(c \neq 0\), entonces \(\dfrac{ab}{cb} = \dfrac{a}{c}\).
Demostración. Como \(b \neq 0\) y \(c \neq 0\), el lema del §1.3 da \(cb \neq 0\), así que el lado izquierdo tiene sentido. Además, \((cb)(c^{-1}b^{-1}) = (cc^{-1})(bb^{-1}) = 1\), de modo que el inverso de \(cb\) es \(c^{-1}b^{-1}\). Entonces \(\dfrac{ab}{cb} = ab \cdot c^{-1}b^{-1} = a c^{-1} (b b^{-1}) = ac^{-1} = \dfrac{a}{c}\), usando la asociatividad y la conmutatividad del §1.1. \(\blacksquare\)
Para cada \(x\) del dominio de la expresión original, los polinomios \(P\), \(Q\) y \(R\) toman valores reales \(a\), \(c\) y \(b\) que cumplen las hipótesis, y la proposición da la igualdad. Fuera de ese conjunto la proposición no dice nada, y ahí está el punto delicado. Veamos un ejemplo:
La expresión de la izquierda no está definida en \(x = 1\), porque su denominador vale \(0\). La de la derecha sí lo está, y vale \(\frac{2}{3}\). Las dos expresiones coinciden en todo el dominio de la primera, pero no son la misma expresión, porque sus dominios son distintos. La expresión simplificada no recuerda de dónde vino, y por eso quien simplifica debe arrastrar la exclusión de manera explícita, como hicimos entre paréntesis.
Decimos que una expresión racional está simplificada cuando su numerador y su denominador no comparten ningún factor de grado mayor o igual que \(1\).
Recordatorio. Cancelar un factor común conserva el valor de la expresión solo donde la expresión original estaba definida. Los valores que anulaban el factor cancelado siguen excluidos, aunque la expresión simplificada ya no lo muestre.
§3. Operaciones con expresiones racionales¶
El producto, el cociente, la suma y la resta de expresiones racionales siguen las reglas de las fracciones de números reales del §1.1. Si \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) son polinomios,
La justificación es la misma que en el apartado anterior: para cada \(x\) admisible, los cuatro polinomios toman valores reales, y para números reales estas reglas ya están probadas. Qué es "admisible" depende de la operación. En el producto y en la suma se excluyen los ceros de \(B\) y de \(D\). En el cociente hay que excluir además los ceros de \(C\), porque dividir por \(\frac{C}{D}\) exige que esa fracción no sea cero, y en la fórmula \(C\) pasa al denominador.
Para sumar o restar, el denominador \(BD\) siempre sirve, pero rara vez lleva a un resultado simplificado. Conviene usar el mínimo común denominador: factorizamos cada denominador en factores irreducibles (§1.3) y tomamos el producto de todos los factores que aparecen, cada uno con el mayor exponente con que figura. Por ejemplo, para calcular
factorizamos \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). El mínimo común denominador es \((x - 1)(x + 1)\), y basta multiplicar la segunda fracción, arriba y abajo, por \(x - 1\):
Multiplicar arriba y abajo por \(x - 1\) es la regla de simplificación del §2 usada al revés, y por eso exige \(x \neq 1\), que de todos modos ya estaba excluido.
Recordatorio. En un cociente de expresiones racionales, también se excluyen los valores que anulan el numerador del divisor.
§4. Fracciones complejas¶
Una fracción compleja es una fracción cuyo numerador, cuyo denominador, o ambos, contienen a su vez fracciones. Hay dos caminos para reducirla a una fracción simple, y los dos llevan al mismo resultado. El primero es operar por separado el numerador y el denominador hasta que cada uno sea una única fracción, y recién entonces aplicar la regla del cociente, \(\dfrac{A/B}{C/D} = \dfrac{AD}{BC}\), válida donde \(B\), \(C\) y \(D\) no se anulan. El segundo es multiplicar el numerador principal y el denominador principal por el mínimo común denominador de todas las fracciones internas, que desaparecen de un solo golpe; de nuevo, es la regla del §2 usada al revés.
Veamos un ejemplo con dos variables, \(x\) y \(h\). Por el primer camino,
La expresión de partida exige \(x \neq 0\), \(x + h \neq 0\) y \(h \neq 0\). El último paso cancela el factor \(h\), y la proposición del §2 lo permite precisamente porque \(h \neq 0\). Aquí reaparece la advertencia del §2: el resultado \(\frac{-1}{x(x + h)}\) tiene sentido para \(h = 0\), pero la expresión original no, de modo que la igualdad vale solo para \(h \neq 0\). Este cociente no es un ejemplo cualquiera. Compara cuánto cambia \(\frac{1}{x}\) cuando \(x\) se desplaza en \(h\), y en el Cálculo se estudia qué ocurre con él cuando \(h\) se acerca a \(0\). Que la simplificación haga desaparecer la \(h\) del denominador es lo que vuelve posible esa pregunta.
Observemos también qué se canceló: el factor \(h\), que multiplica a todo el numerador y a todo el denominador. Nunca se cancela un sumando.
Recordatorio. Solo se cancelan factores que multiplican al numerador entero y al denominador entero. La igualdad \(\dfrac{a + b}{a} = 1 + b\) no es una identidad; lo correcto, para \(a \neq 0\), es \(\dfrac{a + b}{a} = \dfrac{a}{a} + \dfrac{b}{a} = 1 + \dfrac{b}{a}\).
§5. Expresiones fraccionarias con radicales¶
Las expresiones fraccionarias no se limitan a cocientes de polinomios. Pueden contener radicales, y entonces el dominio tiene una segunda fuente de exclusiones: por el §1.2, un radical de índice par solo está definido para radicandos no negativos. Por ejemplo, en \(\dfrac{\sqrt{x}}{x - 1}\) hay que pedir \(x \ge 0\) por la raíz y \(x \neq 1\) por el denominador. Con la notación de intervalos del §1.1, el dominio es \([0, 1) \cup (1, \infty)\).
En el §1.2 racionalizamos denominadores multiplicando por el conjugado. A veces conviene lo contrario, racionalizar el numerador, y la herramienta es la misma: la diferencia de cuadrados del §1.3. Volvamos al cociente del apartado anterior, ahora con una raíz:
Revisemos las condiciones. La expresión de partida exige \(x \ge 0\), \(x + h \ge 0\) y \(h \neq 0\). En el primer paso multiplicamos arriba y abajo por \(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\), y para eso ese número no debe ser cero. Lo garantizan las condiciones: una suma de dos raíces no negativas solo vale \(0\) si ambas son \(0\), es decir, si \(x = 0\) y \(x + h = 0\), lo que daría \(h = 0\), valor excluido. En el segundo paso usamos \(\left(\sqrt{u}\right)^2 = u\) para \(u \ge 0\), y en el último cancelamos el factor \(h\), que no es cero. Como en el apartado anterior, el resultado tiene sentido para \(h = 0\) y la expresión original no.
Recordatorio. En una expresión con radicales de índice par, el dominio excluye los valores que anulan un denominador y también los que vuelven negativo un radicando.
Con el manejo de las expresiones algebraicas y fraccionarias, el capítulo dispone ya de todo lo necesario para abordar la resolución de ecuaciones, tema de la sección siguiente.