Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶

7.8 - Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas¶

Los tres capítulos de este libro que hablan de ángulos dicen, vistos desde lejos, una sola cosa: que el plano se ve igual en todas direcciones, y que esa simetría se puede calcular.

Este capítulo reunió cuatro instrumentos que a primera vista tienen poco en común: identidades, funciones inversas, números complejos y vectores. Esta sección cierra mirándolos juntos. Cuenta de dónde vino cada uno, muestra que son formas de escribir un mismo hecho, y termina con la aplicación en que ese hecho se vuelve más visible: las oscilaciones.

§1. Multiplicar sumando: de la prostaféresis a los logaritmos¶

Las fórmulas de producto a suma del §7.3 tienen una historia práctica anterior a cualquier interés algebraico. En las últimas décadas del siglo XVI, los astrónomos que calculaban posiciones planetarias debían multiplicar números de muchas cifras, y no había otra técnica que el cálculo a mano. El recurso que se difundió, asociado en particular al círculo de Tycho Brahe y a nombres como Paul Wittich y Christoph Clavius, se llamó prostaféresis, y consistía en usar la identidad $\sin\alpha\sin\beta=\tfrac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$ como un algoritmo de multiplicación: con una tabla de senos y cosenos, el producto de dos números, expresados como senos de ciertos ángulos, se reducía a una resta de dos cosenos que se leen en la tabla, y una resta es mucho más fácil que un producto. Es una multiplicación convertida en suma.

Esa es exactamente la propiedad que Napier buscó y encontró en 1614 con los logaritmos: una función que convierte productos en sumas. La coincidencia no es casual, y ya el Capítulo 4 mostró la raíz de la cuestión: la exponencial $a^x$ tiene la propiedad $a^{x+y}=a^xa^y$, y los logaritmos son sus inversas. Las identidades de producto a suma logran algo parecido con un recurso más modesto, una tabla y una identidad, y por eso durante algo más de treinta años, hasta la difusión de los logaritmos, fueron la mejor herramienta de que se disponía. La historia enseña algo sobre cómo nacen las ideas matemáticas: la misma necesidad práctica, calcular productos, produjo dos soluciones independientes, y la que se generalizó fue la que no dependía de ningún caso particular.

§2. De Moivre, Euler y el hilo de los complejos¶

Las fórmulas del §7.6 llevan el nombre de Abraham de Moivre, que trabajó con ellas en los primeros años del siglo XVIII al buscar las raíces de ciertas ecuaciones, pero la forma que hoy se escribe, con $\cos n\theta+i\sin n\theta$, aparece más tarde y debe mucho a Euler. Antes, en 1714, Roger Cotes había hallado una relación de tipo logarítmico entre el ángulo y $\cos\theta+i\sin\theta$, que en notación actual dice que el logaritmo de ese número es $i\theta$. Y en 1748, en su Introductio in analysin infinitorum, Euler escribió lo que hoy se conoce como fórmula de Euler, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. Esa fórmula no puede demostrarse con los recursos de este libro, porque exige definir la exponencial de un número complejo, y por eso se dejó señalada en el §7.6 sin desarrollar. Lo que sí se demostró es su contenido aritmético: que $\operatorname{cis}\theta$ convierte sumas de ángulos en productos, $\operatorname{cis}(\alpha+\beta)=\operatorname{cis}\alpha\operatorname{cis}\beta$, la propiedad que define a una exponencial.

§3. Tres lenguajes para un mismo hecho¶

Mirada de conjunto, la construcción del capítulo dice varias veces lo mismo. Las fórmulas de suma del §7.2 afirman que $\sin(\alpha+\beta)$ y $\cos(\alpha+\beta)$ se calculan con los senos y cosenos de $\alpha$ y de $\beta$. El producto de números complejos en forma polar, del §7.6, dice que multiplicar por $\operatorname{cis}\beta$ suma $\beta$ al argumento. La composición de rotaciones $R_\varphi\circ R_\psi=R_{\varphi+\psi}$, del §7.2, dice que girar dos veces es girar la suma. Y el producto punto del §7.7 dice que el ángulo entre dos vectores se extrae de sus coordenadas. Son cuatro escrituras de una misma estructura: el plano se puede girar sin deformarlo, y los giros se componen sumando sus ángulos.

La demostración del §7.2 lo muestra a las claras. Toda la trigonometría de la suma descansa en un hecho que no es trigonométrico sino geométrico: que trasladar, rotar y reflejar son movimientos que conservan las distancias. Es la homogeneidad e isotropía del plano, una propiedad que se suele dar por sobreentendida y que aquí hubo que probar antes de poder concluir nada. Conviene notar también lo que el capítulo no probó: el punto de partida, las seis premisas geométricas (G1) a (G6) de los §6.2 y §6.4, sigue siendo una elección de geometría, la euclidiana. Con otra geometría, como se vio en el §6.6, las mismas fórmulas cambian.

La escritura de las rotaciones como tablas de números, con la composición de rotaciones como un producto de tablas, lleva directamente al capítulo siguiente, y es una de las razones por las que las matrices no son un tema ajeno a este. [Véase el §8.4 §4.]

§4. Oscilaciones, pulsos y ondas¶

La aplicación más directa de este capítulo es el estudio de todo lo que oscila. Un fenómeno periódico simple, la corriente alterna, la posición de un péndulo pequeño, la presión de una nota musical pura, se describe con una función $A\sin(\omega t+\varphi)$: una amplitud $A$, una frecuencia $\omega$ y una fase $\varphi$. El §7.5 §5 muestra algo esencial: la suma de dos oscilaciones de la misma frecuencia, aunque tengan amplitudes y fases distintas, es otra oscilación de la misma frecuencia, porque $a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)$. Esa propiedad es lo que permite, en ingeniería eléctrica, sumar tensiones alternas como si fueran vectores del plano, con su magnitud y su ángulo de fase, y es la razón de que los complejos de la sección anterior sean la herramienta habitual del análisis de circuitos.

Cuando las frecuencias son distintas, la sección §7.3 da un resultado distinto y sorprendente. Por suma a producto, $$\sin(2\pi f_1t)+\sin(2\pi f_2t)=2\sin\big(\pi(f_1+f_2)t\big)\cos\big(\pi(f_1-f_2)t\big)$$ Si las frecuencias son muy parecidas, el factor $\sin\big(\pi(f_1+f_2)t\big)$ oscila rápido, con la frecuencia promedio, y el factor $\cos\big(\pi(f_1-f_2)t\big)$ oscila lento, y actúa como una envolvente que sube y baja la amplitud. El oído percibe esa modulación como un latido, y su frecuencia es $|f_1-f_2|$. Dos diapasones de $440$ Hz y $444$ Hz producen cuatro latidos por segundo, y los afinadores de instrumentos usan ese fenómeno para igualar dos notas: se ajusta una hasta que los latidos desaparecen.

En el siglo XIX, Joseph Fourier propuso que una función periódica muy general puede escribirse como una suma, en general infinita, de senos y cosenos de frecuencias múltiplos de una fundamental. Que la afirmación es cierta en un sentido preciso, y no en todos, exigió una larga elaboración posterior de la noción de función y de convergencia. Lo que este capítulo puede aportar es la razón por la que la propuesta es razonable: las fórmulas de producto a suma son las que permiten, con las herramientas del cálculo, verificar que las ondas de distintas frecuencias son independientes entre sí, y por tanto que se pueden separar. Buena parte de la tecnología actual de compresión de sonido y de imagen se apoya en descomponer una señal en ondas sinusoidales y conservar las más importantes.

§5. El nacimiento del vector¶

La historia de los vectores muestra un camino en dirección inversa a la del capítulo. Los números complejos habían dado un álgebra del plano: sumas y productos de puntos, con rotaciones incorporadas. William Rowan Hamilton buscó durante años un álgebra semejante para el espacio de tres dimensiones, y encontró en 1843 que no existía con tres componentes, pero sí con cuatro: los cuaterniones. En ellos, el producto de dos «vectores puros» tiene una parte escalar y una vectorial, y la parte escalar es, salvo el signo, el producto punto. Hacia 1880, Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside extrajeron esas dos partes, el producto punto y el producto vectorial, y les dieron una vida independiente, el análisis vectorial que hoy se enseña, con una polémica áspera contra los defensores de los cuaterniones. Hermann Grassmann había construido en 1844, de manera independiente y más general, otra álgebra de la extensión, que tardó décadas en ser apreciada.

Así, el producto punto que el §7.7 dedujo de la ley de los cosenos tiene detrás la historia de una búsqueda: la de generalizar, a más dimensiones, la propiedad que los complejos habían logrado para el plano, la de que multiplicar es girar y estirar.

El libro deja abiertas, al terminar este capítulo, dos cuestiones que apuntan en direcciones opuestas. Una es la de las tablas de números que representan las rotaciones y sus composiciones, que hace de las matrices el lenguaje natural del capítulo siguiente, junto con los sistemas de ecuaciones lineales, con los que comparten el método. La otra es la de la exponencial compleja, que el libro no alcanza a demostrar y que pertenece al cálculo. El primer camino sigue en el Capítulo 8; el segundo queda para el cálculo, que es el siguiente tramo de la serie.

Con la trigonometría cerrada, el libro pasa de las funciones a los sistemas: el Capítulo 8 estudia cómo se resuelven conjuntos de ecuaciones, primero con dos rectas que se cortan, y después con tablas de números que, como las de las rotaciones, se componen.