Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
4.2 - La Función Exponencial Natural¶
Entre todas las bases posibles, ¿hay alguna que la aritmética misma señale como distinguida —no por conveniencia de cálculo, sino porque una construcción concreta la obliga a existir?
El §4.1 cerró con una pregunta que, formulada con precisión, todavía no tenía sentido en este libro: si existe una base \(a\) para la cual la rapidez de crecimiento de \(f(x)=a^x\) coincidiera, en cada punto, con el valor de la función misma. Esa pregunta exige, para responderse, el concepto de derivada —y este libro no lo tiene todavía—. Pero hay una segunda pregunta, más modesta y enteramente verificable con lo ya construido, que apunta al mismo número sin necesitar esa maquinaria: ¿qué le ocurre a una cantidad que crece por interés, cuando el interés se capitaliza cada vez con mayor frecuencia?
§1. De la pregunta abierta a una construcción verificable¶
Supóngase un capital de una unidad, invertido durante un año a una tasa anual del cien por ciento —cifras deliberadamente simples, elegidas para aislar el fenómeno matemático de cualquier detalle financiero accesorio—. Si el interés se capitaliza una sola vez, al cabo del año se tienen \(1+1=2\) unidades. Si se capitaliza dos veces —la mitad de la tasa, dos veces en el año—, se tienen \(\left(1+\tfrac12\right)^2=2{,}25\). Si se capitaliza \(n\) veces, cada capitalización aplica una fracción \(1/n\) de la tasa anual sobre el capital ya acumulado, y el resultado al cabo del año es
La pregunta financiera —¿qué conviene más, capitalizar poco o mucho?— es, en rigor, una pregunta sobre esta sucesión de números racionales indexada por \(n\in\mathbb{N}\): si \(a_n\) crece sin cota a medida que \(n\) crece —de modo que capitalizar con más frecuencia fuera siempre estrictamente mejor, sin límite—, o si, en cambio, \(a_n\) se acerca a un valor fijo, por más veces que se subdivida el año.
Esta es, a propósito, una pregunta del mismo tipo que las que el catálogo del §2.4 ya resolvió: una sucesión de valores, y la cuestión de si crece sin cota o se estabiliza. La diferencia con aquel catálogo es que ahí la variable recorría un continuo (\(x\to+\infty\) sobre los reales) y aquí recorre únicamente los naturales —una sucesión, no una función de variable real—; pero el aparato conceptual, según se precisó esa misma sección en su forma definitiva, es el mismo: se trata, en ambos casos, de un límite, y en el catálogo del §2.4 ya se dejó explícito que el nombre no cambia nada de la técnica. Aquí, la técnica que corresponde no es \(\epsilon\)-\(N\) aplicado a una función ya definida sobre \(\mathbb{R}\), sino algo más cercano a la completitud misma: mostrar que \((a_n)\) está acotada y es monótona, y apelar al axioma del supremo del §1.1 §9 —la misma herramienta que construyó, desde cero, toda la extensión de \(a^x\) en el §4.1—.
Recordatorio. La pregunta "¿capitalizar más frecuentemente conviene siempre, o hay un techo?" es, matemáticamente, la pregunta de si la sucesión \(a_n=(1+1/n)^n\) está acotada superiormente. Responderla con el mismo rigor que el resto del libro —sin apelar a una calculadora ni a la intuición de que "converge"— es el contenido del §2.
Antes de decidir si \((a_n)\) está acotada, conviene mostrar que al menos crece —o, más precisamente, que no decrece—, y encontrar una segunda sucesión que la acote desde arriba sin necesidad de adivinar el valor límite de antemano. Ese es el contenido del §2.
§2. Dos sucesiones que se aprietan¶
La desigualdad de Bernoulli del §6 se probó para \(\varepsilon>0\), con desigualdad no estricta. Lo que sigue necesita una versión ligeramente más fuerte —estricta, y válida también para exponentes negativos entre \(-1\) y \(0\)— que se obtiene con el mismo argumento inductivo, sin herramienta nueva.
Sublema (Bernoulli, versión estricta). Para \(x\in(-1,\infty)\), \(x\neq 0\), y \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 2\), se cumple \((1+x)^n>1+nx\).
Demostración. Caso base \(n=2\): \((1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x\), pues \(x^2>0\) al ser \(x\neq 0\). Paso inductivo: supóngase \((1+x)^n>1+nx\) para algún \(n\ge 2\). Como \(x>-1\), es \(1+x>0\), y multiplicar la hipótesis inductiva por \(1+x>0\) preserva el sentido de la desigualdad:
usando otra vez \(nx^2>0\). \(\blacksquare\)
Proposición (\(a_n\) es estrictamente creciente). \(a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n\) satisface \(a_n<a_{n+1}\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Demostración. Aplíquese el Sublema con \(x=-\dfrac{1}{(n+1)^2}\in(-1,0)\) y exponente \(n+1\ge 2\):
La base se factoriza sin resto: \(1-\dfrac{1}{(n+1)^2}=\dfrac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}=\dfrac{n}{n+1}\cdot\dfrac{n+2}{n+1}\). Sustituyendo,
Dividiendo ambos lados por \(\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1}>0\),
El lado izquierdo es exactamente \(a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\), y el derecho, \(a_n\). Luego \(a_{n+1}>a_n\). \(\blacksquare\)
Proposición (\(b_n\) es estrictamente decreciente). \(b_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}\) satisface \(b_n>b_{n+1}\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Demostración. Aplíquese el Sublema con \(x=\dfrac{1}{n(n+2)}>0\) y exponente \(n+2\ge 2\) —válido para \(n\ge 1\), pues entonces \(n+2\ge3\)—:
La base también se factoriza sin resto: \(1+\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{n(n+2)+1}{n(n+2)}=\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\). Sustituyendo,
Multiplicando ambos lados por \(n\big[n(n+2)\big]^{n+2}>0\) y despejando,
Dividiendo ambos lados por \(n(n+1)>0\),
Esta es, precisamente, la desigualdad \(b_n>b_{n+1}\) reescrita: en efecto, \(\dfrac{b_n}{b_{n+1}}=\dfrac{(n+1)^{n+1}/n^{n+1}}{(n+2)^{n+2}/(n+1)^{n+2}}=\dfrac{(n+1)^{2n+3}}{n^{n+1}(n+2)^{n+2}}\), y la desigualdad recién obtenida dice exactamente que este cociente es mayor que \(1\). Luego \(b_n>b_{n+1}\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(a_n\) crece, \(b_n\) decrece, y ambas demostraciones usan la misma idea: forzar, mediante una factorización exacta, que la desigualdad de Bernoulli —aplicada a una potencia auxiliar cuidadosamente elegida— se traduzca en la comparación entre términos consecutivos. Ninguna usa el binomio de Newton.
Queda mostrar que ambas sucesiones no solo se mueven en direcciones opuestas, sino que se aprietan una contra la otra: que ningún término de \((a_n)\) supera jamás a ningún término de \((b_n)\), sin importar los índices. Esa cota cruzada es lo que habilita, en el §4, apelar al axioma de completitud. Es el contenido del §3.
§3. La cota cruzada: \(a_n<b_m\) para todo par de índices¶
Proposición. Para todo \(n,m\in\mathbb{N}\), \(a_n<b_m\).
Demostración. Se prueba primero el caso de igual índice, y luego se extiende con la monotonía ya establecida.
Mismo índice. \(b_n=a_n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)>a_n\cdot 1=a_n\), pues \(1+1/n>1\) y \(a_n>0\).
Índices distintos. Sea \(k=\max(n,m)\). Como \((a_j)\) es estrictamente creciente (§2), \(n\le k\) da \(a_n\le a_k\) —con igualdad solo si \(n=k\)—. Por el caso de igual índice, \(a_k<b_k\). Como \((b_j)\) es estrictamente decreciente (§2), \(m\le k\) da \(b_k\le b_m\) —con igualdad solo si \(m=k\)—. Encadenando,
de donde \(a_n<b_m\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. Ningún término de \((a_n)\), por lejano que esté su índice, supera jamás a ningún término de \((b_n)\): toda la sucesión creciente queda por debajo de toda la decreciente. Esto es exactamente la situación que, en el §6 y el §7 de la sección 4.1, permitió invocar el axioma del supremo para definir la extensión de \(a^x\) — la misma estructura reaparece aquí, ahora aplicada a una sucesión en vez de a un conjunto de potencias racionales.
Con \((a_n)\) acotada superiormente por cualquier \(b_m\), el axioma de completitud garantiza que su supremo existe. Falta comprobar que ese supremo coincide, además, con el ínfimo de \((b_n)\) —sin lo cual la construcción dejaría un margen de ambigüedad—. Ese es el contenido del §4, y con él, la definición del número \(e\).
§4. Definición de \(e\)¶
Por la Proposición del §3, el conjunto \(\{a_n\mid n\in\mathbb{N}\}\) es no vacío y está acotado superiormente —por ejemplo, por \(b_1=4\)—. Por el axioma del supremo (§1.1 §9), existe
Por la misma Proposición, \(\{b_n\mid n\in\mathbb{N}\}\) está acotada inferiormente por cualquier \(a_n\), de modo que, por el Lema de existencia del ínfimo (sección 4.1, §7), existe \(\ell:=\inf\{b_n\mid n\in\mathbb{N}\}\). Como cada \(a_n\) es cota inferior de \((b_n)\), y \(L\) es la menor cota superior de \((a_n)\) mientras que cada \(b_m\) es cota superior de \((a_n)\) —por el §3—, se tiene \(L\le b_m\) para todo \(m\), de donde \(L\le\ell\). Falta la desigualdad recíproca.
Proposición. \(L=\ell\).
Demostración. Se acota la distancia entre \(a_n\) y \(b_n\):
Como \(a_n<b_1=4\) para todo \(n\) —caso particular del §3—, se sigue \(b_n-a_n<\dfrac{4}{n}\). Dado \(\varepsilon>0\), por el Lema arquimediano (sección 4.1, §4) existe \(N\in\mathbb{N}\) con \(N>4/\varepsilon\), de modo que para todo \(n\ge N\),
Como \(a_n\le L\) —definición de supremo— y \(L\le\ell\le b_n\) —ya probado, más la definición de ínfimo—, se tiene, para ese mismo \(n\ge N\),
Como \(\varepsilon>0\) era arbitrario, \(\ell-L=0\), es decir, \(L=\ell\). \(\blacksquare\)
Definición. El número \(e\) se define como el valor común
Recordatorio. \(e\) no se define por una fórmula cerrada ni por una calculadora: se define como el punto exacto que la completitud de \(\mathbb{R}\) obliga a existir entre dos sucesiones que se aprietan una contra la otra, sin dejar margen. La técnica —acotar la diferencia \(b_n-a_n\) y forzarla por debajo de cualquier \(\varepsilon\) vía el Lema arquimediano— es, otra vez, la misma que cerró las Proposiciones de unicidad del §6 y del §7 de la sección 4.1.
Con \(e\) definido sin ambigüedad, falta lo que da a esta construcción su primer contacto con la intuición numérica: acotarlo entre dos números concretos, para confirmar que la construcción abstracta corresponde al valor familiar. Ese es el contenido del §5.
§5. Cotas numéricas: \(2<e<3\)¶
Proposición. \(2<e<3\).
Demostración. Para la cota inferior: \(a_2=\left(1+\dfrac12\right)^2=\dfrac94=2{,}25\), y como \(e=\sup\{a_n\}\ge a_2\) —definición de supremo, cualquier elemento del conjunto es menor o igual que él—, se sigue \(e\ge 2{,}25>2\).
Para la cota superior: como \(e=\inf\{b_n\}\le b_5\) —definición de ínfimo—, basta acotar \(b_5\). Por definición, \(b_5=\left(1+\dfrac15\right)^6=\left(\dfrac65\right)^6=\dfrac{6^6}{5^6}\). Calculando exactamente, \(6^6=46656\) y \(5^6=15625\), de modo que
Como \(46656<46875=3\times 15625\), se sigue \(b_5<3\). Luego \(e\le b_5<3\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(2<e<3\) no es una aproximación decimal disfrazada de teorema: es aritmética exacta con fracciones, apoyada únicamente en la definición de \(e\) como supremo e ínfimo. La cota superior requirió llegar hasta \(b_5\) —\(b_1\) y \(b_2\) todavía superan a \(3\)—, lo cual es coherente con que \((b_n)\) se acerca a \(e\approx 2{,}71828\ldots\) lentamente, un término a la vez.
Con \(e\) definido y acotado, y sabiendo que \(e>1\), toda la maquinaria del §4.1 —homomorfismo, monotonía estricta, inyectividad, dominio, recorrido, asíntota— se aplica sin necesidad de una sola demostración nueva. Ese es el contenido del §6.
§6. La función exponencial natural \(f(x)=e^x\)¶
Como \(e>1\) —§5—, \(e\) satisface exactamente la hipótesis \(a>1\) bajo la cual se demostraron todas las Proposiciones de la sección 4.1. No hace falta, entonces, repetir ni adaptar una sola demostración: basta con instanciar \(a=e\) en cada una de ellas.
Definición. La función exponencial natural es \(f(x)=e^x\), definida como la extensión continua de \(e^r\) (\(r\in\mathbb{Q}\)) construida en el §6 de la sección 4.1, particularizada a la base \(e\).
Por esa construcción y las Proposiciones que la siguen —todas aplicadas directamente, sin modificación—:
- \(\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\) y \(\operatorname{Rec}(f)=(0,\infty)\) (§10, sección 4.1).
- \(f\) es estrictamente creciente e inyectiva en \(\mathbb{R}\) (§9, sección 4.1), pues \(e>1\).
- \(e^{x+y}=e^x e^y\) para todo \(x,y\in\mathbb{R}\) (§8, sección 4.1).
- \((e^x)^y=e^{xy}\) y, para \(c>0\), \((ce)^x=c^xe^x\) (§12, sección 4.1, Ejercicios 2 y 3).
- \(y=0\) es asíntota horizontal cuando \(x\to-\infty\), y \(f\) no está acotada superiormente cuando \(x\to+\infty\) (§11, sección 4.1).
Recordatorio. No hay, en este parágrafo, una sola demostración nueva —y eso es, precisamente, el punto: toda la sección 4.1 se escribió con suficiente generalidad como para no necesitar revisarse cuando aparece una base particular, por especial que termine siendo.
Con la función exponencial natural completamente caracterizada por herencia directa, resta ejercitar su manejo concreto antes del cierre filosófico de la sección. Ese es el contenido del §7.
§7. Ejercicios resueltos¶
Ejercicio 1. Demostrar que \(e^2<9\).
Solución. Por el §6, \(e^2=e\cdot e\), y por el §12 de la sección 4.1 (Ejercicio 2, con \(x=1,y=2\)), \(e^2\) coincide con la potencia usual. Como \(e<3\) (§5), y elevar al cuadrado preserva el orden entre positivos, \(e^2<3^2=9\). \(\blacksquare\)
Ejercicio 2. Resolver \(e^{2x-1}=e^{x+3}\).
Solución. Por la inyectividad de \(f(x)=e^x\) (§6, heredada del §9 de la sección 4.1), la igualdad de las potencias equivale a la igualdad de los exponentes: \(2x-1=x+3\), de donde \(x=4\).
Ejercicio 3. Resolver la inecuación \(e^{x-1}\ge e^{2-x}\).
Solución. Como \(e>1\), \(f(x)=e^x\) es estrictamente creciente (§6). Para una función estrictamente creciente, \(f(u)\ge f(v)\iff u\ge v\) —consecuencia directa de la Proposición de monotonía estricta del §9, sección 4.1—. Aplicado aquí, \(x-1\ge 2-x\), de donde \(2x\ge 3\), es decir, \(x\ge\dfrac32\).
Ejercicio 4. Usando las cotas del §5, acotar \(e^{3/2}\) entre dos números racionales.
Solución. Por el §12 de la sección 4.1 (Ejercicio 2), \(e^{3/2}=(e^3)^{1/2}\), la raíz cuadrada positiva de \(e^3\). Como \(2<e<3\) (§5), y elevar al cubo preserva el orden entre positivos, \(8<e^3<27\). Como la raíz cuadrada también preserva el orden entre positivos —§1.2 §3—, \(\sqrt8<e^{3/2}<\sqrt{27}\), es decir, \(2\sqrt2<e^{3/2}<3\sqrt3\).
Queda, para cerrar la sección, situar filosóficamente lo que \(e\) es y lo que \(e\) todavía no puede ser dentro de este libro. Ese es el contenido del §8.
§8. Cierre filosófico¶
\(e\) no fue elegido. A diferencia de la base \(10\), cómoda por afinidad con el sistema decimal, o de cualquier otra base que un texto pudiera preferir por costumbre, \(e\) quedó determinado por una construcción que no dejó margen de decisión en ningún paso: dos sucesiones, una condición de monotonía demostrada con Bernoulli, una cota cruzada, y el axioma de completitud haciendo el resto. Si algún libro de matemáticas hubiera decidido nunca estudiar el interés compuesto, \(e\) habría aparecido de todos modos —bajo otro disfraz, en otro problema—, porque no es un artefacto de la pregunta financiera que lo motivó, sino de la estructura de \(\mathbb{R}\) misma, de la misma manera en que \(\sqrt2\) no depende de que alguien pregunte por la diagonal de un cuadrado.
Y sin embargo, este capítulo dejó pendiente exactamente la pregunta que le da a \(e\) su lugar central en el análisis: si existe una base para la cual la rapidez de cambio de la función coincide, en cada punto, con el valor de la función. El §4.1 la planteó; este parágrafo la resolvió, pero solo a medias —construyó el número candidato, no la propiedad que lo distinguiría entre todos los reales positivos—. Contestarla exige derivada, y este libro, deliberadamente, no la tiene todavía. No es una omisión: es una frontera trazada a propósito, del mismo tipo que la que separó, en el cierre del §2.4, lo que este libro puede nombrar de lo que solo puede construir en un curso de Cálculo I.
Vale la pena, antes de cerrar, notar que esta frontera tiene un precedente histórico casi exacto, aunque por razones inversas a las nuestras. Newton, en los Principia Mathematica de 1687, necesitaba razonar sobre cantidades que se aproximaban entre sí —arcos y cuerdas, áreas y sus aproximaciones poligonales— y lo hacía mediante lo que llamaba razones primera y última: la relación entre dos cantidades geométricas en el instante mismo en que su diferencia se volvía menor que cualquier magnitud dada. No tenía la palabra "límite" ni una definición algebraica como la \(\epsilon\)-\(N\) que este libro ya nombró en el §2.4, y aun así llegó, por vía geométrica e intuitiva, a resultados que el análisis del siglo XIX —Cauchy, Weierstrass— tardaría más de ciento cincuenta años en fundamentar con el rigor que hoy se exige. La diferencia entre esa demora y la de este libro es de naturaleza, no de grado: Newton evitó "límite" porque el concepto todavía no existía; este libro lo evita, en el terreno de la derivada, porque decidió construir el análisis real desde sus cimientos, un piso a la vez, y ese piso todavía no llegó. La pregunta que abrió el §4.1 queda, entonces, formulada con toda precisión, con su candidato ya construido y acotado entre \(2\) y \(3\) — y con la respuesta completa esperando, sin apuro, al capítulo que le corresponde.
Con esto queda cerrada la sección 4.2. El §4.3 retoma la inyectividad de \(f(x)=e^x\) —y de \(a^x\) en general, ya probada en la sección 4.1— para construir su función inversa: el logaritmo.