Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.10 — Rectas¶
Toda la geometría de una recta está guardada en un solo número: cuánto sube por cada paso que avanza.
El capítulo termina su recorrido técnico con el objeto más simple de la geometría analítica del §1.8, y por eso el más fundamental: la recta. Toda la información geométrica de una recta no vertical cabe en un único número, su pendiente. A partir de ese número, esta sección construye las distintas formas de escribir la ecuación de una recta y demuestra las condiciones de paralelismo y de perpendicularidad entre dos rectas. Seguiremos el mismo camino que con la distancia en el §1.8: partimos de la geometría euclidiana, la traducimos a una definición algebraica y, desde ahí, demostramos todo con álgebra.
§1. La pendiente¶
Dados dos puntos \(P_1 = (x_1, y_1)\) y \(P_2 = (x_2, y_2)\) con \(x_1 \neq x_2\), su pendiente es
el cociente entre cuánto cambia \(y\) y cuánto cambia \(x\) al pasar de un punto al otro. La condición \(x_1 \neq x_2\) asegura que el denominador no sea cero. El orden de los puntos no importa: intercambiarlos cambia el signo del numerador y del denominador a la vez, y el cociente queda igual. Si \(m > 0\), al avanzar hacia la derecha se sube; si \(m < 0\), se baja; si \(m = 0\), los dos puntos están a la misma altura.
Figura 1.6 — La pendiente como cociente entre la subida, \(y_2 - y_1\), y el avance, \(x_2 - x_1\).
¿Por qué es este número el que describe una recta? La geometría euclidiana responde así. Si \(P_1\), \(P_2\) y \(P_3\) son tres puntos de una misma recta no vertical, trazamos desde ellos segmentos horizontales y verticales, como en la demostración del §1.8. Se forman dos triángulos rectángulos, uno con hipotenusa \(P_1P_2\) y otro con hipotenusa \(P_1P_3\), que tienen el mismo ángulo agudo en \(P_1\) porque los tres puntos están alineados. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual son semejantes, y sus catetos son proporcionales, de modo que \(\frac{|y_2 - y_1|}{|x_2 - x_1|} = \frac{|y_3 - y_1|}{|x_3 - x_1|}\). Los signos también coinciden, porque a lo largo de una recta se sube siempre o se baja siempre al avanzar hacia la derecha. La pendiente calculada con dos puntos cualesquiera de una recta es la misma.
Como hicimos con la distancia, desde aquí adoptamos la consecuencia algebraica de este hecho como definición. Fijemos un punto \((0, b)\) de la recta sobre el eje \(y\). Un punto \((x, y)\) con \(x \neq 0\) está en la recta exactamente cuando la pendiente entre \((0, b)\) y \((x, y)\) es \(m\), es decir, cuando \(\frac{y - b}{x} = m\), o sea \(y = mx + b\); y para \(x = 0\) esta ecuación da el propio \((0, b)\). Por eso llamamos recta no vertical de pendiente \(m\) y ordenada al origen \(b\) a la curva, en el sentido del §1.8, formada por los puntos que satisfacen
y recta vertical a la curva formada por los puntos que satisfacen \(x = c\), para un número real \(c\) fijo. Con esta definición, el hecho geométrico se vuelve un teorema algebraico.
Proposición. Si \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) son dos puntos distintos de la recta \(y = mx + b\), entonces \(\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = m\).
Demostración. Si fuera \(x_1 = x_2\), entonces \(y_1 = mx_1 + b = mx_2 + b = y_2\) y los puntos serían iguales; por lo tanto \(x_1 \neq x_2\). Además \(y_2 - y_1 = (mx_2 + b) - (mx_1 + b) = m(x_2 - x_1)\), y dividiendo por \(x_2 - x_1 \neq 0\) se obtiene la igualdad. \(\blacksquare\)
Esta proposición es la que autoriza a hablar de "la" pendiente de una recta, y no de una pendiente que dependa de los dos puntos elegidos.
Recordatorio. La pendiente entre dos puntos es \(\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Una recta no vertical es la gráfica de \(y = mx + b\), y su pendiente es \(m\) para cualquier par de puntos que se elija.
§2. Ecuaciones de la recta¶
Una recta no vertical queda determinada por su pendiente y uno de sus puntos.
Proposición (forma punto-pendiente). La recta de pendiente \(m\) que pasa por \((x_1, y_1)\) es la gráfica de
Demostración. La recta \(y = mx + b\) pasa por \((x_1, y_1)\) si y solo si \(y_1 = mx_1 + b\), es decir, si y solo si \(b = y_1 - mx_1\). Hay, entonces, exactamente una recta de pendiente \(m\) que pasa por ese punto, la de ecuación \(y = mx + y_1 - mx_1\), y esa ecuación es equivalente a \(y - y_1 = m(x - x_1)\), porque se pasa de una a la otra sumando \(-y_1\) a ambos miembros. \(\blacksquare\)
Cuando el punto conocido es el corte con el eje \(y\), \((0, b)\), la forma punto-pendiente da \(y - b = m(x - 0)\), que es la forma pendiente-ordenada \(y = mx + b\). Son la misma recta, presentada a partir de datos distintos; cuál conviene depende de qué información se tenga.
Una recta también queda determinada por dos de sus puntos.
Proposición (recta por dos puntos). Por dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) con \(x_1 \neq x_2\) pasa exactamente una recta no vertical, la de pendiente \(m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) que pasa por \((x_1, y_1)\).
Demostración. Si una recta no vertical pasa por los dos puntos, por la proposición del §1 su pendiente es necesariamente \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), y por la proposición anterior es la única recta de esa pendiente que pasa por \((x_1, y_1)\). Recíprocamente, esa recta pasa por \((x_1, y_1)\), y también por \((x_2, y_2)\), porque \(y_1 + m(x_2 - x_1) = y_1 + (y_2 - y_1) = y_2\). \(\blacksquare\)
Ejemplo. La recta que pasa por \((1, 3)\) y \((4, -3)\) tiene pendiente \(m = \frac{-3 - 3}{4 - 1} = -2\), y su ecuación es \(y - 3 = -2(x - 1)\), es decir, \(y = -2x + 5\). Comprobemos con el segundo punto: \(-2 \cdot 4 + 5 = -3\).
Si \(x_1 = x_2\) y los puntos son distintos, ninguna recta no vertical pasa por ambos, porque una ecuación \(y = mx + b\) asigna un solo valor de \(y\) a cada \(x\). La única recta que los contiene es la vertical \(x = x_1\).
Recordatorio. Forma punto-pendiente: \(y - y_1 = m(x - x_1)\). Forma pendiente-ordenada: \(y = mx + b\). Por dos puntos con distinta abscisa pasa una sola recta no vertical.
§3. Rectas paralelas y perpendiculares¶
Dos rectas distintas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común. Con la definición algebraica del §1, el paralelismo se puede demostrar en lugar de suponerlo.
Proposición. Dos rectas no verticales distintas, \(y = m_1x + b_1\) e \(y = m_2x + b_2\), son paralelas si y solo si \(m_1 = m_2\). Si \(m_1 \neq m_2\), se cortan en exactamente un punto.
Demostración. Un punto \((x, y)\) está en ambas rectas si y solo si \(y = m_1x + b_1\) e \(y = m_2x + b_2\), lo que ocurre exactamente cuando \(x\) es solución de \(m_1x + b_1 = m_2x + b_2\) e \(y = m_1x + b_1\). Esa ecuación equivale a \((m_1 - m_2)x = b_2 - b_1\), que es lineal en el sentido del §1.5. Si \(m_1 \neq m_2\), tiene una única solución, \(x = \frac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2}\), y las rectas se cortan en un único punto. Si \(m_1 = m_2\), entonces \(b_1 \neq b_2\), porque las rectas son distintas, y la ecuación se reduce a \(0 = b_2 - b_1\), que es falsa: no hay puntos comunes. \(\blacksquare\)
Del mismo modo, dos rectas verticales distintas, \(x = c_1\) y \(x = c_2\), son paralelas, y una recta no vertical corta a una vertical \(x = c\) en exactamente un punto, \((c, mc + b)\).
La perpendicularidad requiere de nuevo un vínculo con la geometría euclidiana, el mismo del §1.8: el teorema de Pitágoras y su recíproco, que dicen que un triángulo es rectángulo en un vértice si y solo si el cuadrado del lado opuesto a ese vértice es la suma de los cuadrados de los otros dos.
Proposición. Dos rectas no verticales, de pendientes \(m_1\) y \(m_2\), son perpendiculares si y solo si \(m_1 m_2 = -1\).
Demostración. Si \(m_1 m_2 = -1\), entonces \(m_1 \neq m_2\), porque \(m_1^2 = -1\) es imposible; y si las rectas son perpendiculares, se cortan. En ambos casos, por la proposición anterior, las rectas se cortan en un único punto \(P_0 = (x_0, y_0)\). Por la forma punto-pendiente, los puntos \(A = (x_0 + 1, y_0 + m_1)\) y \(B = (x_0 + 1, y_0 + m_2)\) están en la primera y en la segunda recta, respectivamente, y son distintos de \(P_0\). Las rectas son perpendiculares si y solo si el triángulo \(P_0AB\) es rectángulo en \(P_0\), es decir, por Pitágoras y su recíproco, si y solo si
Por la fórmula del §1.8, \(d(P_0, A)^2 = 1 + m_1^2\), \(d(P_0, B)^2 = 1 + m_2^2\) y \(d(A, B)^2 = (m_2 - m_1)^2 = m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2\). La condición se convierte en
donde cada paso es una equivalencia, porque se pasa de una ecuación a la siguiente sumando un mismo término o multiplicando por un número no nulo (§1.5). \(\blacksquare\)
La condición \(m_1 m_2 = -1\) también se escribe \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\): cada pendiente es el opuesto del recíproco de la otra. El caso que la fórmula no cubre es el de una recta horizontal, de pendiente \(0\), y una vertical, que no tiene pendiente; esas dos rectas también son perpendiculares.
En esta demostración se ve, condensado, el programa de la geometría analítica: una condición geométrica, que dos rectas formen un ángulo recto, se traduce en una condición algebraica sobre dos números, que su producto sea \(-1\).
Figura 1.7 — Rectas paralelas (\(m_1=m_2\)) y rectas perpendiculares (\(m_1m_2=-1\)).
Recordatorio. Dos rectas no verticales distintas son paralelas si \(m_1 = m_2\), y perpendiculares si \(m_1 m_2 = -1\).
§4. La forma general¶
Las formas del §2 no sirven para las rectas verticales, que no tienen pendiente. Hay una forma de ecuación que abarca a todas las rectas sin excepción.
Proposición (forma general). Toda recta del plano es la gráfica de una ecuación
con \(A\) y \(B\) no ambos nulos. Recíprocamente, toda ecuación de esa forma tiene por gráfica una recta.
Demostración. La recta \(y = mx + b\) es la gráfica de \(mx - y + b = 0\), que tiene esa forma con \(A = m\), \(B = -1\) y \(C = b\); la recta vertical \(x = c\) es la gráfica de \(x - c = 0\), con \(A = 1\), \(B = 0\) y \(C = -c\). Recíprocamente, supongamos \(Ax + By + C = 0\) con \(A\) y \(B\) no ambos nulos. Si \(B \neq 0\), la ecuación equivale a \(y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}\), la recta de pendiente \(-\frac{A}{B}\) y ordenada al origen \(-\frac{C}{B}\). Si \(B = 0\), entonces \(A \neq 0\), y la ecuación equivale a \(x = -\frac{C}{A}\), una recta vertical. \(\blacksquare\)
La forma general no es única: multiplicar la ecuación por un número distinto de cero da otra ecuación equivalente, con la misma gráfica. Así, \(2x - y + 3 = 0\) y \(-4x + 2y - 6 = 0\) describen la misma recta, \(y = 2x + 3\).
Recordatorio. \(Ax + By + C = 0\), con \(A\) y \(B\) no ambos nulos, describe cualquier recta del plano, incluidas las verticales: si \(B \neq 0\), la pendiente es \(-\frac{A}{B}\); si \(B = 0\), la recta es vertical.
Con la recta se completa el recorrido técnico del capítulo: los números reales, sus potencias y raíces, las expresiones algebraicas y fraccionarias, las ecuaciones y desigualdades, y la geometría analítica que las lleva al plano. La sección siguiente cierra el capítulo con una mirada de conjunto.