Capítulo 9 — Las Cónicas como Lugares Geométricos¶
9.5 — La Ecuación General sin Término Mixto¶
Una ecuación de segundo grado puede describir una curva, dos rectas, un punto o nada; decidir cuál exige algo más que reconocer su forma.
Las secciones anteriores fueron de la geometría al álgebra: se partía de una condición métrica y se deducía una ecuación. Esta sección recorre el camino inverso. Se da una ecuación de segundo grado en \(x\) e \(y\), sin término \(xy\), y se pregunta qué conjunto describe. La respuesta incluye las tres cónicas, pero no se agota en ellas, porque algunas ecuaciones de aspecto perfectamente regular describen un par de rectas, un solo punto o el conjunto vacío. La herramienta es el completamiento de cuadrados que el §1.3 usó para deducir la fórmula cuadrática, y que el §1.8 §4 aplicó a la circunferencia. Al final se estudian las regiones que las cónicas determinan en el plano, en continuidad con los semiplanos del §8.7.
§1. La reducción por completamiento de cuadrados¶
Se considera la ecuación
con coeficientes reales. La condición \((A,C)\neq(0,0)\) asegura que la ecuación es efectivamente de segundo grado. La letra \(B\) se reserva para el coeficiente de \(xy\), que aquí es nulo y que el §9.6 permitirá no nulo.
La operación central es la identidad del §1.3: si \(A\neq 0\),
que se verifica desarrollando el cuadrado. Aplicada a cada variable con coeficiente cuadrático no nulo, transforma la ecuación en otra equivalente cuyas variables aparecen solo a través de \(x-h\) e \(y-k\), para ciertos \(h\) y \(k\). Por la proposición de traslación del §9.1 §4, eso significa que en el sistema trasladado a \((h,k)\) la ecuación ya no tiene términos lineales en la variable completada. Como cada paso es una igualdad entre expresiones, el conjunto solución no cambia en ninguno de ellos.
§2. El teorema de clasificación¶
Teorema. El conjunto de soluciones de \(Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0\), con \((A,C)\neq(0,0)\), es de uno de los siguientes tipos, según el signo de \(AC\).
Si \(AC>0\), es una elipse con ejes paralelos a los de coordenadas, que es una circunferencia si \(A=C\); o bien un único punto, o bien el conjunto vacío.
Si \(AC<0\), es una hipérbola con ejes paralelos a los de coordenadas, o bien un par de rectas que se cortan.
Si \(AC=0\), es una parábola con eje paralelo a uno de los ejes de coordenadas; o bien un par de rectas paralelas, una sola recta o el conjunto vacío.
Demostración. Supóngase primero \(AC\neq 0\). Completando cuadrados en ambas variables, la ecuación equivale a
Si \(AC>0\), los coeficientes \(A\) y \(C\) tienen el mismo signo; multiplicando la ecuación por \(-1\) si hace falta, puede suponerse que ambos son positivos, cambiando a la vez el signo de \(G\). Si \(G>0\), la ecuación equivale a
con ambos denominadores positivos. Es la ecuación canónica de una elipse, trasladada al centro \((h,k)\) (§9.3 §6), con el eje mayor sobre la dirección del denominador mayor; si \(A=C\), los denominadores coinciden y es la circunferencia de radio \(\sqrt{G/A}\). Si \(G=0\), el primer miembro es una suma de dos términos no negativos que se anula si y solo si ambos se anulan, es decir, si y solo si \((x,y)=(h,k)\): el conjunto es un único punto. Si \(G<0\), el primer miembro es no negativo y el segundo negativo, y no hay soluciones.
Si \(AC<0\), puede suponerse \(A>0>C\), por la misma multiplicación por \(-1\). Si \(G\neq 0\), dividiendo por \(G\) se obtiene \(\tfrac{(x-h)^2}{G/A}-\tfrac{(y-k)^2}{-G/C}=1\) cuando \(G>0\), o \(\tfrac{(y-k)^2}{G/C}-\tfrac{(x-h)^2}{-G/A}=1\) cuando \(G<0\). En ambos casos los dos denominadores son positivos, y la ecuación es la de una hipérbola de centro \((h,k)\) con eje transverso horizontal o vertical, respectivamente (§9.3 §6). Si \(G=0\), la ecuación es \(A(x-h)^2=-C(y-k)^2\), con \(A>0\) y \(-C>0\). Como dos números no negativos son iguales si y solo si lo son sus raíces cuadradas, esto equivale a \(\sqrt{A}\,|x-h|=\sqrt{-C}\,|y-k|\), y por la definición de valor absoluto del §1.1,
El conjunto es la unión de dos rectas de pendientes opuestas que se cortan en \((h,k)\).
Supóngase por último \(AC=0\). Como \((A,C)\neq(0,0)\), exactamente uno de los dos coeficientes es nulo; por el intercambio de coordenadas del §9.2 §3, basta tratar el caso \(C=0\), \(A\neq 0\). Completando el cuadrado solo en \(x\), la ecuación equivale a
Si \(E\neq 0\), se pone \(k=-\tfrac{F'}{E}\), y la ecuación equivale a \((x-h)^2=-\tfrac{E}{A}(y-k)\). Es una de las formas trasladadas del §9.2 §3, con vértice \((h,k)\), eje vertical y parámetro \(p=\tfrac{1}{2}\left|\tfrac{E}{A}\right|\), abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de \(-\tfrac{E}{A}\). Si \(E=0\), la variable \(y\) no aparece, y la ecuación equivale a \((x-h)^2=-\tfrac{F'}{A}\). Si el segundo miembro es positivo, las soluciones son las rectas verticales \(x=h\pm\sqrt{-F'/A}\); si es nulo, la única recta \(x=h\); si es negativo, no hay soluciones. \(\blacksquare\)
El teorema dice dos cosas distintas, y conviene separarlas. La primera es que el signo de \(AC\) decide el tipo: elíptico si es positivo, hiperbólico si es negativo, parabólico si es nulo. Esa decisión se toma mirando solo los términos cuadráticos, sin completar ningún cuadrado. La segunda es que dentro de cada tipo hay casos degenerados, en que la ecuación no describe una curva genuina, y para detectarlos sí hace falta completar los cuadrados y examinar el término independiente. Los casos degenerados no son anomalías, sino las posiciones límite de las cónicas de su tipo. Un punto es una elipse que se contrajo hasta su centro. Dos rectas que se cortan son las asíntotas de una familia de hipérbolas cuyo término independiente tiende a cero. Dos rectas paralelas son lo que queda de una parábola cuando su vértice se aleja al infinito. El punto, las dos rectas secantes y la recta única son, además, las figuras que se obtienen al cortar un cono por un plano que pasa por su vértice; las rectas paralelas corresponden al corte de un cilindro, que puede pensarse como un cono con el vértice en el infinito. Por eso todas se llaman cónicas degeneradas.
Hay una lectura anticipada del criterio de tipo que el §9.6 va a justificar. Con \(B=0\), el número \(B^2-4AC\) vale \(-4AC\), y el teorema dice que la ecuación es de tipo elíptico, parabólico o hiperbólico según que \(B^2-4AC\) sea negativo, nulo o positivo. El §9.6 probará que ese número no cambia al girar los ejes, y con eso el mismo criterio se extenderá a toda ecuación de segundo grado, con o sin término \(xy\).
Recordatorio. Sin término \(xy\): \(AC>0\) elipse, punto o vacío; \(AC<0\) hipérbola o dos rectas secantes; \(AC=0\) parábola, dos rectas paralelas, una recta o vacío. El tipo se lee en \(AC\); la degeneración, en el término independiente tras completar cuadrados.
§3. Ejemplos¶
Ejemplo. En \(4x^2+9y^2-16x+54y+61=0\) se tiene \(AC=36>0\), así que la ecuación es de tipo elíptico. Completando cuadrados, \(4(x^2-4x)=4(x-2)^2-16\) y \(9(y^2+6y)=9(y+3)^2-81\), y la ecuación equivale a \(4(x-2)^2+9(y+3)^2=36\), es decir,
Es una elipse de centro \((2,-3)\), con \(a=3\), \(b=2\) y eje mayor horizontal. Como \(c=\sqrt{9-4}=\sqrt5\), sus focos son \((2\pm\sqrt5,-3)\) y su excentricidad es \(\tfrac{\sqrt5}{3}\).
Ejemplo. En \(9x^2-16y^2-18x-64y-199=0\) se tiene \(AC<0\). Completando cuadrados, \(9(x-1)^2-9-16(y+2)^2+64-199=0\), es decir, \(9(x-1)^2-16(y+2)^2=144\), o bien
Es una hipérbola de centro \((1,-2)\), con \(a=4\), \(b=3\) y \(c=5\). Sus focos son \((6,-2)\) y \((-4,-2)\), y sus asíntotas son las rectas \(y+2=\pm\tfrac{3}{4}(x-1)\).
Ejemplo. La ecuación \(x^2-4y^2-2x+8y-3=0\) tiene \(AC<0\) y parece describir una hipérbola. Completando cuadrados, \((x-1)^2-1-4(y-1)^2+4-3=0\), es decir, \((x-1)^2=4(y-1)^2\). El término independiente se anuló, y la ecuación equivale a \(x-1=\pm 2(y-1)\): es el par de rectas \(x-2y+1=0\) y \(x+2y-3=0\), que se cortan en \((1,1)\).
Ejemplo. En \(y^2-4y-12x+28=0\) el coeficiente de \(x^2\) es nulo, así que el tipo es parabólico. Completando el cuadrado en \(y\), \((y-2)^2-4-12x+28=0\), es decir, \((y-2)^2=12(x-2)\). Es la parábola de vértice \((2,2)\) y eje horizontal, con \(2p=12\), abierta hacia la derecha. Su foco es \((2+3,2)=(5,2)\) y su directriz es la recta \(x=2-3=-1\).
Ejemplo. La ecuación \(x^2+y^2+2x+5=0\) tiene \(A=C\) y parece una circunferencia. Pero completando el cuadrado queda \((x+1)^2+y^2=-4\), y el conjunto es vacío. Es la advertencia del §9.1 §1 llevada a su extremo: la forma de una ecuación no garantiza que describa algo.
§4. Las regiones que determina una cónica¶
Una cónica no degenerada divide el plano en regiones, del mismo modo que una recta lo divide en los dos semiplanos del §8.7. Para la elipse de ecuación canónica, la función \(g(x,y)=\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}\) vale \(1\) sobre la curva, y el plano queda partido en el interior \(\{g<1\}\), que contiene al centro y a los focos, y el exterior \(\{g>1\}\). Lo mismo vale para las otras cónicas con la función correspondiente, y para las cónicas trasladadas, cuya función se obtiene reemplazando \(x\) por \(x-h\) e \(y\) por \(y-k\). Una desigualdad de segundo grado en dos variables describe, así, una región del plano limitada por una cónica. Es la extensión natural de las desigualdades lineales del §8.7.
La propiedad de las regiones factibles que el §8.7 puso en el centro fue la convexidad: un conjunto es convexo si contiene, junto con dos puntos cualesquiera, todo el segmento que los une. Los semiplanos lo eran, y por eso lo eran sus intersecciones. La pregunta es si las regiones limitadas por cónicas también lo son.
Proposición. La región \(\left\{\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}\leq 1\right\}\), formada por la elipse y su interior, es convexa. También lo es la región \(\{x^2\leq 2py\}\), con \(p>0\), formada por la parábola y la parte del plano del lado de su foco.
Demostración. Sea \(q(x,y)=\alpha x^2+\beta y^2\), con \(\alpha,\beta\geq 0\). Para puntos \(P_1=(x_1,y_1)\) y \(P_2=(x_2,y_2)\) y \(0\leq t\leq 1\), el punto \(tP_1+(1-t)P_2\) recorre el segmento entre \(P_2\) y \(P_1\): coincide con \(P_2\) para \(t=0\) y con \(P_1\) para \(t=1\), y sus coordenadas varían linealmente entre las de ambos. Desarrollando los cuadrados se verifica la identidad
y como el último término es no negativo, \(q\big(tP_1+(1-t)P_2\big)\leq t\,q(P_1)+(1-t)\,q(P_2)\). Para la elipse se toma \(\alpha=\tfrac{1}{a^2}\) y \(\beta=\tfrac{1}{b^2}\): si \(q(P_1)\leq 1\) y \(q(P_2)\leq 1\), entonces \(q\big(tP_1+(1-t)P_2\big)\leq t+(1-t)=1\), y el segmento está contenido en la región. Para la parábola se toma \(\alpha=1\) y \(\beta=0\), es decir, \(q(x,y)=x^2\). La condición de la región es \(x^2-2py\leq 0\), y el término \(-2py\) es lineal, de modo que en el punto intermedio vale exactamente la combinación \(t(-2py_1)+(1-t)(-2py_2)\). Sumando, \(x^2-2py\) en el punto intermedio no supera \(t(x_1^2-2py_1)+(1-t)(x_2^2-2py_2)\leq 0\). \(\blacksquare\)
La identidad de la demostración vale para todo par de puntos y todo \(t\), y se comprueba desarrollando ambos miembros: los coeficientes de \(x_1^2\), de \(x_2^2\) y de \(x_1x_2\) coinciden, y lo mismo ocurre con los de \(y\). Por la proposición de traslación del §9.1 §4, que lleva segmentos en segmentos, las regiones trasladadas son igualmente convexas.
La hipérbola se comporta de otro modo. La región \(\left\{\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}\leq 1\right\}\), que contiene al centro y queda entre las dos ramas, no es convexa. Los puntos \((2a,2b)\) y \((2a,-2b)\) le pertenecen, porque en ellos la expresión vale \(4-4=0\leq 1\). Pero el punto medio del segmento que los une, \((2a,0)\), da el valor \(4>1\) y queda fuera. Las regiones limitadas por cónicas no son, entonces, uniformemente convexas: lo son las de la elipse y la parábola, y no lo es la región entre las ramas de la hipérbola.
El interior de una elipse, aunque convexo, se diferencia de las regiones factibles del §8.7 en un aspecto decisivo: no es un polígono y no tiene vértices. El teorema fundamental de la programación lineal, que ubicaba el óptimo de una función lineal en un vértice de la región, no se aplica a él. Una función lineal alcanza su máximo sobre la elipse en el punto donde la recta de nivel correspondiente toca la curva, y encontrar ese punto es un problema de tangencia, de la misma familia que el del §9.2 §5.
Recordatorio. Una desigualdad de segundo grado describe una región limitada por una cónica. La elipse con su interior y la parábola con el lado de su foco son convexas; la región entre las ramas de la hipérbola no lo es.
Toda ecuación de segundo grado sin término \(xy\) quedó clasificada. Falta el caso general, con término \(Bxy\), que aparece en cuanto los ejes de la cónica no son paralelos a los de coordenadas. La sección siguiente lo reduce al caso ya resuelto girando los ejes.