Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

Síntesis Matemática y Checklist de Competencias¶

Síntesis: la columna vertebral del capítulo¶

Ocho secciones no son ocho temas independientes, sino ocho vistas sucesivas de una misma decisión tomada en el §2.1: exigir que una relación cumpla existencia y unicidad para merecer el nombre de función. Vale la pena trazar, antes de cualquier lista de verificación, cómo esa decisión inicial atraviesa el resto del capítulo sin excepción.

La unicidad, formulada en el §2.1 como condición conjuntista abstracta, reaparece geométricamente dos veces y con signos opuestos: como criterio de la recta vertical en el §2.3 —ninguna función puede violarla, es su definición misma vista en el plano— y como criterio de la recta horizontal en el §2.7 —una condición adicional, la inyectividad, que una función puede o no cumplir, y de la que depende enteramente la existencia de \(f^{-1}\)—. Entre ambas apariciones media toda la diferencia entre una propiedad definitoria y una propiedad optativa, y confundirlas es el error conceptual más frecuente de todo el capítulo.

El dominio recorre un camino paralelo. Declarado como parte constitutiva de \(f:A\to B\) en el §2.1, calculado explícitamente a partir de las dos restricciones estructurales de \(\mathbb{R}\) en el §2.2, se ve modificado de manera predecible por cada transformación del §2.5 —desplazado por traslaciones horizontales, inalterado por las verticales—, restringido por intersección en el álgebra de funciones del §2.6, y finalmente invertido con la imagen al construir \(f^{-1}\) en el §2.7. La distinción entre codominio e imagen, que en el §2.1 parece un tecnicismo, resulta ser exactamente la que decide, en el §2.7, si una función es sobreyectiva.

El catálogo del §2.4 y las transformaciones del §2.5 funcionan como un par: el primero da seis objetos analizados hasta el detalle; el segundo, una maquinaria para generar, a partir de ellos, cualquier cantidad de funciones nuevas sin repetir el análisis. El §2.6 añade una segunda vía de generación —la composición— que el §2.8 termina de explotar en un sentido distinto: el vértice de una parábola no es más que completar el cuadrado del §1.3, reencontrado aquí con un propósito nuevo, y la propia noción de extremo relativo reutiliza, una vez más, el entorno \(\delta\) que el §1.1 introdujo para el valor absoluto y que el §2.4 ya había reutilizado para el comportamiento asintótico. Ningún aparato técnico de este capítulo se introdujo dos veces: cada uno se construyó una sola vez y se hizo trabajar en todos los contextos donde volvía a ser necesario.

Sección	Objeto central	Se apoya en	Reaparece en
2.1	Función como relación con existencia y unicidad	\(A\times B\), \(\subseteq\) (§1.1)	Criterio de la recta vertical (2.3); paridad respecto al eje \(x\) (2.3); existencia/unicidad de \(f^{-1}\) (2.7)
2.2	Dominio implícito: cociente y raíz par	División por cero y raíces pares (§1.1, §1.2)	Dominio de operaciones (2.6); dominio de la composición (2.6)
2.3	Ceros, signo, paridad, monotonía	Definición de función (2.1); análisis de signos (§1.7)	Prototipos (2.4); reflexión horizontal = paridad (2.5); extremos por monotonía (2.8)
2.4	Seis prototipos; comportamiento no acotado	Catálogo de dominios (2.2); entorno \(\epsilon\) (§1.1)	Materia prima de las transformaciones (2.5)
2.5	Traslación, escala, reflexión de gráficas	Prototipos (2.4); despeje de ecuaciones (§1.5)	Descomposición en piezas elementales (2.6)
2.6	Álgebra puntual y composición \(g\circ f\)	Dominio (2.2); prototipos (2.4)	Reversibilidad de un proceso en cadena (2.7)
2.7	Inyectividad, sobreyectividad, \(f^{-1}\)	Codominio vs. imagen (2.1); recta vertical (2.3)	—
2.8	Extremos absolutos y relativos	Completar el cuadrado (§1.3); monotonía (2.3); entorno \(\delta\) (§1.1)	—

Checklist de competencias¶

La siguiente lista no pretende ser un examen, sino un instrumento de autoevaluación previo a él. Está organizada según los tres niveles de lectura que este libro distingue desde su planteo inicial: procedimental (ejecutar una técnica ya conocida), conceptual (explicar por qué la técnica funciona, o reconocerla en una forma no estándar) y demostrativo (producir o reconstruir el argumento que la justifica). Un lector que solo domine el primer nivel puede resolver ejercicios de rutina, pero no está todavía en condiciones de enfrentar el segundo capítulo del libro con la solidez que este exige.

§2.1 — La función como relación

[ ] Procedimental: Dado un conjunto de pares ordenados, decidir si define una función.
[ ] Conceptual: Explicar por qué la unicidad, y no la existencia, es la condición que suele fallar en una relación cualquiera.
[ ] Demostrativo: Dada una fórmula, justificar con la definición conjuntista —no con una apelación gráfica— si define o no una función.

§2.2 — Dominio implícito

[ ] Procedimental: Calcular el dominio implícito de una función que combina cocientes y raíces de índice par.
[ ] Conceptual: Explicar por qué dos fórmulas algebraicamente equivalentes tras simplificar pueden definir funciones distintas.
[ ] Demostrativo: Determinar, y justificar formalmente, si dos funciones dadas por fórmulas distintas son iguales según la definición del §2.2 §3.

§2.3 — Comportamiento global

[ ] Procedimental: Determinar ceros, signo, paridad y monotonía de una función dada explícitamente.
[ ] Conceptual: Explicar por qué el criterio de la recta vertical es una consecuencia de la definición de función, no una regla independiente.
[ ] Demostrativo: Demostrar, a partir de la definición formal de monotonía —no de una gráfica—, que una función dada es creciente o decreciente en un intervalo.

§2.4 — Prototipos y comportamiento asintótico

[ ] Procedimental: Reconocer dominio, imagen, paridad y monotonía de cada uno de los seis prototipos sin recalcularlos.
[ ] Conceptual: Distinguir con precisión entre comportamiento no acotado en un punto (asíntota vertical) y aproximación a un valor fijo en el infinito (asíntota horizontal).
[ ] Demostrativo: Dado \(M>0\) (o \(\epsilon>0\)), exhibir el \(\delta\) (o \(N\)) correspondiente que verifica el comportamiento asintótico de \(1/x\).

§2.5 — Transformaciones de gráficas

[ ] Procedimental: Graficar una función obtenida por traslación, escala o reflexión de un prototipo, identificando \(a,h,c,k\).
[ ] Conceptual: Explicar por qué \(f(x-h)\) desplaza la gráfica hacia la derecha cuando \(h>0\), y no hacia la izquierda.
[ ] Demostrativo: Demostrar, mediante la correspondencia de puntos \((x,y)\mapsto(\cdot,\cdot)\), la regla de una transformación no vista explícitamente en el libro.

§2.6 — Álgebra y composición

[ ] Procedimental: Calcular \((f+g)(x)\), \((f\cdot g)(x)\), \((g\circ f)(x)\) y sus dominios.
[ ] Conceptual: Explicar por qué el dominio de \(g\circ f\) exige una condición sobre \(f(x)\), y no solo sobre \(x\).
[ ] Demostrativo: Dada una función compuesta, reconstruir una descomposición en piezas elementales y justificar el orden elegido.

§2.7 — Inyectividad y función inversa

[ ] Procedimental: Determinar si una función es inyectiva y, si corresponde, hallar \(f^{-1}\) explícitamente.
[ ] Conceptual: Explicar por qué hacen falta tanto la inyectividad como la sobreyectividad para que \(f^{-1}\) exista como función.
[ ] Demostrativo: Verificar formalmente, mediante \(f^{-1}(f(x))=x\) y \(f(f^{-1}(y))=y\), que una fórmula propuesta es efectivamente la inversa de \(f\).

§2.8 — Extremos

[ ] Procedimental: Hallar el vértice de una función cuadrática y clasificarlo como máximo o mínimo.
[ ] Conceptual: Explicar por qué un extremo absoluto interior es siempre relativo, y por qué la recíproca es falsa.
[ ] Demostrativo: Demostrar la desigualdad AM-GM y aplicarla a un problema de optimización con restricción no resuelto en el libro.

Con esta síntesis y este checklist, el capítulo deja al lector en condiciones de autoevaluarse antes de enfrentar los problemas de revisión y el examen del capítulo, que se organizan según estos mismos tres niveles.