Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

2.10 — Síntesis Matemática y Checklist de Competencias¶

Síntesis: la columna vertebral del capítulo¶

Las ocho secciones del capítulo no son ocho temas independientes, sino ocho miradas sucesivas sobre una misma decisión tomada en el §2.1: exigir que una relación cumpla existencia y unicidad para llamarse función. Antes de cualquier lista de verificación, vale la pena trazar cómo esa decisión atraviesa todo el capítulo.

La unicidad, formulada en el §2.1 como condición sobre conjuntos, reaparece dos veces en forma geométrica, con papeles opuestos. En el §2.3 es el criterio de la recta vertical, que ninguna función puede violar porque es su definición vista en el plano. En el §2.7 es el criterio de la recta horizontal, que expresa una condición adicional, la inyectividad, que una función puede cumplir o no, y de la que depende la existencia de \(f^{-1}\). Entre las dos apariciones está toda la diferencia entre una propiedad que define y una propiedad que se tiene o no se tiene; confundirlas es el error conceptual más frecuente del capítulo.

El dominio recorre un camino paralelo. Es parte de la función desde el §2.1, se calcula en el §2.2 a partir de las restricciones de las operaciones disponibles, se desplaza o se cambia de escala de manera predecible con las transformaciones horizontales del §2.5 y queda igual con las verticales, se obtiene por intersección en el álgebra de funciones del §2.6, y se intercambia con la imagen al construir \(f^{-1}\) en el §2.7. La distinción entre codominio e imagen, que en el §2.1 parece un tecnicismo, es exactamente la que decide en el §2.7 si una función es sobreyectiva.

El catálogo del §2.4 y las transformaciones del §2.5 funcionan como un par: el primero da seis objetos analizados en detalle; el segundo, una manera de generar a partir de ellos muchas funciones nuevas sin repetir el análisis. El §2.6 agrega una segunda vía de generación, la composición, y muestra que las transformaciones del §2.5 son un caso particular de ella: componer con funciones de la forma \(mx + n\). El §2.7 invierte funciones, a veces después de restringir su dominio. El §2.8 vuelve a herramientas anteriores con un propósito nuevo: el vértice de la parábola es el completamiento del cuadrado del §1.3, y la noción de extremo relativo usa el mismo entorno del §1.1 que el §2.4 había usado para el comportamiento asintótico. Ningún instrumento técnico del capítulo se introdujo dos veces: cada uno se construyó una sola vez y se usó en todos los contextos donde volvía a hacer falta.

Sección	Objeto central	Se apoya en	Reaparece en
2.1	Función como relación con existencia y unicidad; codominio e imagen	\(A\times B\) y pares ordenados (§1.8); \(\subseteq\)	Recta vertical (2.3); sobreyectividad (2.7); existencia y unicidad de \(f^{-1}\) (2.7)
2.2	Dominio implícito; restricción e igualdad de funciones	Inversos, raíces y exponentes (§1.1, §1.2); simplificación (§1.4)	Dominio de las operaciones y de la composición (2.6); restricción para invertir (2.7)
2.3	Ceros, signo, paridad, monotonía	Definición de función (2.1); análisis de signos (§1.7)	Prototipos (2.4); paridad y reflexión (2.5); inyectividad (2.7); extremos (2.8)
2.4	Seis prototipos; asíntotas y límite	Dominio (2.2); propiedades (2.3); entorno (§1.1)	Transformaciones (2.5); composición (2.6); inversa de \(x^2\) (2.7)
2.5	Traslación, escala y reflexión de gráficas	Prototipos (2.4); despeje de ecuaciones (§1.5)	Composición con funciones lineales (2.6); extremos (2.8)
2.6	Operaciones entre funciones; composición \(g\circ f\)	Dominio (2.2); prototipos (2.4)	Caracterización de la inversa (2.7)
2.7	Inyectividad, sobreyectividad, \(f^{-1}\)	Codominio e imagen (2.1); monotonía (2.3); composición (2.6)	—
2.8	Extremos absolutos y relativos	Completar el cuadrado (§1.3); monotonía (2.3); entorno (§1.1)	—

Checklist de competencias¶

La siguiente lista no es un examen sino un instrumento de autoevaluación previo a él. Está organizada en los tres niveles que el libro distingue: procedimental, ejecutar una técnica conocida; conceptual, explicar por qué funciona o reconocerla en una forma no habitual; y demostrativo, producir o reconstruir el argumento que la justifica. Quien domine solo el primer nivel puede resolver ejercicios de rutina, pero todavía no está en condiciones de encarar el capítulo siguiente con la solidez que exige.

§2.1 — La función como relación

[ ] Procedimental: dado un conjunto de pares ordenados, decidir si define una función de un conjunto dado en otro.
[ ] Conceptual: explicar qué falla, existencia o unicidad, en cada uno de dos ejemplos de relaciones que no son funciones.
[ ] Demostrativo: dada una fórmula y dos conjuntos, justificar con la definición, y no con una gráfica, si define una función entre ellos, y calcular su imagen probando las dos inclusiones.

§2.2 — Dominio implícito

[ ] Procedimental: calcular el dominio implícito de una función que combina cocientes, raíces de índice par y exponentes fraccionarios.
[ ] Conceptual: explicar por qué dos fórmulas que coinciden después de simplificar pueden definir funciones distintas.
[ ] Demostrativo: decidir y justificar si dos funciones dadas por fórmulas distintas son iguales según la definición del §2.2.

§2.3 — Comportamiento global

[ ] Procedimental: determinar ceros, signo, paridad y monotonía de una función dada por un cociente de polinomios.
[ ] Conceptual: explicar por qué el criterio de la recta vertical es la definición de función y no una regla aparte, y por qué el signo puede cambiar en un punto excluido del dominio.
[ ] Demostrativo: probar, con la definición de monotonía y sin la gráfica, que una función dada es creciente o decreciente en un intervalo.

§2.4 — Prototipos y comportamiento asintótico

[ ] Procedimental: recordar dominio, imagen, paridad y monotonía de los seis prototipos.
[ ] Conceptual: distinguir entre crecer sin cota cerca de un punto, que da una asíntota vertical, y aproximarse a un valor cuando la variable crece sin cota, que da una asíntota horizontal.
[ ] Demostrativo: dado \(M > 0\), o \(\epsilon > 0\), encontrar el \(\delta\), o el \(N\), que prueba el comportamiento asintótico de una función como \(\frac{1}{x}\).

§2.5 — Transformaciones de gráficas

[ ] Procedimental: graficar una función obtenida de un prototipo por traslación, cambio de escala o reflexión, identificando \(a\), \(h\), \(c\) y \(k\).
[ ] Conceptual: explicar por qué \(f(x - h)\) desplaza la gráfica hacia la derecha cuando \(h > 0\).
[ ] Demostrativo: probar, con la correspondencia de puntos, la regla de una transformación que no aparece en el libro.

§2.6 — Álgebra y composición

[ ] Procedimental: calcular \((f + g)(x)\), \((f \cdot g)(x)\) y \((g \circ f)(x)\) con sus dominios.
[ ] Conceptual: explicar por qué el dominio de \(g \circ f\) exige una condición sobre \(f(x)\) y no solo sobre \(x\).
[ ] Demostrativo: descomponer una función en piezas elementales, justificar el orden elegido y comprobar que el dominio de la composición coincide con el de la función.

§2.7 — Inyectividad y función inversa

[ ] Procedimental: decidir si una función es inyectiva y, si corresponde, hallar \(f^{-1}\), restringiendo antes el dominio si hace falta.
[ ] Conceptual: explicar por qué hacen falta la inyectividad y la sobreyectividad para que \(f^{-1}\) sea una función.
[ ] Demostrativo: verificar que una fórmula propuesta es la inversa de \(f\), comprobando \(f^{-1}(f(x)) = x\) y \(f(f^{-1}(y)) = y\).

§2.8 — Extremos

[ ] Procedimental: hallar el vértice de una función cuadrática y clasificarlo como máximo o mínimo.
[ ] Conceptual: explicar por qué todo extremo absoluto es relativo, por qué la recíproca es falsa, y por qué el extremo de una fórmula puede no resolver un problema aplicado.
[ ] Demostrativo: demostrar la desigualdad AM-GM y aplicarla a un problema de optimización con restricción que no esté resuelto en el libro.

Con esta síntesis y este checklist, el lector puede autoevaluarse antes de los problemas de revisión y del examen del capítulo, organizados según estos mismos tres niveles.