Capítulo 5 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶
5.1 - Construcción de π¶
Antes de poder "enrollar" la recta real sobre una circunferencia, hace falta saber, con precisión, qué longitud tiene esa circunferencia. Este libro ya construyó \(e\) sin dar nada por sabido; \(\pi\) no va a ser la excepción.
§1. El problema: ¿qué longitud tiene una circunferencia?¶
Las secciones siguientes de este capítulo definirán las funciones trigonométricas mediante una función de "enrollamiento" que asocia, a cada número real \(t\), un punto de la circunferencia unitaria \(x^2+y^2=1\) alcanzado recorriendo una distancia \(t\) a lo largo de esa circunferencia, comenzando en \((1,0)\). Para que esa definición tenga sentido —para saber, por ejemplo, cuándo el recorrido completa una vuelta y empieza a repetirse— hace falta un dato previo: la longitud total de la circunferencia unitaria.
Ese dato es, por definición, \(2\pi\). Pero "longitud de una curva" no es, todavía, un concepto que este libro haya definido con rigor —la teoría general de longitud de arco pertenece al cálculo integral—, y apelar a ella aquí sería exactamente el tipo de concesión que el libro evitó con la derivada en el Capítulo 4. La salida, para el caso particular de la circunferencia, es la que encontró Arquímedes en el siglo III a.C.: aproximar la circunferencia por polígonos regulares inscritos y circunscritos, cuyas longitudes —sumas finitas de segmentos rectos— sí están completamente definidas por el teorema de Pitágoras, sin ninguna noción de longitud de curva. Es, además, una construcción que no puede apoyarse en seno ni en coseno —eso sería circular, pues seno y coseno todavía no están definidos, y se definirán en el §5.3 usando \(\pi\)—; todo lo que sigue usa, exclusivamente, coordenadas, distancias y el teorema de Pitágoras.
§2. Polígonos inscritos: una sucesión creciente de perímetros¶
Para evitar cualquier apelación implícita a un ángulo o a una fracción de vuelta —nociones que dependen de \(\pi\)—, el polígono de partida se construye directamente por coordenadas.
El cuadrado inicial. Los cuatro puntos \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\) satisfacen \(x^2+y^2=1\), luego están en la circunferencia unitaria; por simetría y la fórmula de distancia del §1.8 §2, forman un cuadrado. Su lado es
y su perímetro, \(p_4=4\sqrt2\).
El lema de duplicación. Sea un polígono regular de \(n\) lados inscrito en la circunferencia unitaria, con lado \(s\). Sean \(A,B\) dos vértices consecutivos, \(M\) el punto medio del segmento \(AB\), y \(C\) el punto de la circunferencia sobre el rayo desde el centro \(O\) que pasa por \(M\), del lado opuesto a \(O\) respecto de \(M\) —el "punto medio del arco" \(AB\)—. Como \(OM\) es la mediatriz de \(AB\) —el triángulo \(OAB\) es isósceles, con \(OA=OB=1\)—, el punto \(C\) es, por construcción, equidistante de \(A\) y de \(B\); será el nuevo vértice al duplicar el número de lados.
Lema. Con \(a:=OM=\sqrt{1-(s/2)^2}\) —Pitágoras en el triángulo rectángulo \(OMA\), con hipotenusa \(OA=1\) y cateto \(AM=s/2\)—, el nuevo lado \(s'=AC\) satisface
Demostración. En el triángulo rectángulo \(AMC\) —rectángulo en \(M\), pues \(C\) está sobre la recta \(OM\)—, con catetos \(AM=s/2\) y \(MC=OC-OM=1-a\), el teorema de Pitágoras da
Como \(\left(\dfrac s2\right)^2+a^2=1\) —por la definición misma de \(a\)—, se sigue \(s'^2=2-2a=2-2\sqrt{1-(s/2)^2}=2-\sqrt{4-s^2}\). \(\blacksquare\)
Proposición (crecimiento estricto). Si \(p_n\) es el perímetro del polígono regular de \(n\) lados inscrito y \(p_{2n}\) el del polígono de \(2n\) lados obtenido duplicando cada lado según el Lema, entonces \(p_{2n}>p_n\).
Demostración. Para cada lado \(AB\) del polígono original, el punto \(C\) del Lema no pertenece al segmento \(AB\) —está sobre la circunferencia, estrictamente más lejos de la cuerda que cualquier punto de \(AB\), salvo el caso degenerado \(s=0\)—, de modo que \(A\), \(B\), \(C\) forman un triángulo genuino. La desigualdad triangular estricta da \(AC+CB>AB\), es decir, la contribución de este lado al nuevo perímetro supera a su contribución al perímetro original. Sumando sobre los \(n\) lados, \(p_{2n}>p_n\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. El crecimiento no depende de la fórmula explícita del Lema —esa fórmula hace falta para calcular, no para demostrar que crece—: depende únicamente de la desigualdad triangular, la misma herramienta elemental que ya apareció en el §1.8.
Con \((p_n)\) creciente, hace falta una sucesión que la acote desde arriba —el papel que \((b_n)\) cumplió para \((a_n)\) en el §4.2—. Los polígonos circunscritos cumplen exactamente ese papel. Es el contenido del §3.
§3. Polígonos circunscritos: la sucesión dual decreciente¶
El cuadrado circunscrito. Por definición de recta tangente a una circunferencia —§1.8—, la tangente en \((1,0)\) es perpendicular al radio en ese punto, es decir, la recta vertical \(x=1\); análogamente, las tangentes en \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\) son \(y=1\), \(x=-1\), \(y=-1\). Estas cuatro rectas forman un cuadrado de lado \(2\) —de \(x=-1\) a \(x=1\)—, con perímetro \(P_4=8\).
Lema (segmentos tangentes iguales). Si \(V\) es un punto exterior a la circunferencia unitaria, y \(M_1,M_2\) son los puntos de tangencia de las dos rectas tangentes desde \(V\), entonces \(VM_1=VM_2\).
Demostración. Los triángulos \(OM_1V\) y \(OM_2V\) son rectángulos en \(M_1\) y \(M_2\) respectivamente —tangente perpendicular al radio—, con \(OM_1=OM_2=1\) e hipotenusa común \(OV\). Por Pitágoras, \(VM_1^2=OV^2-1=VM_2^2\), y como ambos son positivos, \(VM_1=VM_2\). \(\blacksquare\)
Proposición (decrecimiento estricto). Si \(P_n\) es el perímetro del polígono circunscrito de \(n\) lados —tangente en los mismos \(n\) puntos que los vértices del polígono inscrito de \(n\) lados— y \(P_{2n}\) el obtenido al duplicar, tangente además en los nuevos puntos \(C\) del §2, entonces \(P_{2n}<P_n\).
Demostración. Considérese un vértice \(V\) del polígono circunscrito de \(n\) lados, donde se encuentran las tangentes en dos puntos consecutivos \(M_1,M_2\). El nuevo punto de tangencia \(C\) —punto medio del arco \(M_1M_2\), según el §2— determina una nueva recta tangente, que corta a los segmentos \(VM_1\) y \(VM_2\) en puntos \(A\) y \(B\) respectivamente —por convexidad, la nueva tangente separa a \(V\) del arco—. El nuevo perímetro reemplaza, localmente, el camino \(M_1\to V\to M_2\) —de longitud \(M_1A+AV+VB+BM_2\)— por el camino \(M_1\to A\to B\to M_2\) —de longitud \(M_1A+AB+BM_2\), pues \(A\), \(C\), \(B\) son colineales—. Por la desigualdad triangular estricta en el triángulo \(AVB\) —no degenerado, pues \(V\) no pertenece a la nueva tangente—, \(AB<AV+VB\). Luego el nuevo camino es estrictamente más corto que el anterior, para cada vértice \(V\) del polígono original. Sumando, \(P_{2n}<P_n\). \(\blacksquare\)
Fórmula de cálculo. Con \(s_n\) y \(a_n=\sqrt{1-(s_n/2)^2}\) como en el §2, el mismo triángulo \(OMA\) —ahora comparado, por semejanza de ángulo compartido en \(O\), con el triángulo \(OM'A'\) formado por el radio a un punto de tangencia y la tangente correspondiente— da la razón \(a_n/1=(s_n/2)/(T_n/2)\), donde \(T_n\) es el lado del polígono circunscrito de \(n\) lados; de donde \(T_n=s_n/a_n\), y
Recordatorio. Inscrito y circunscrito usan la misma desigualdad triangular en direcciones opuestas: agregar un vértice sobre la curva siempre alarga (dos lados ganan a uno), y cortar una esquina siempre acorta (uno gana a dos). \(P_n=p_n/a_n\) es la fórmula que permite calcular, no demostrar: la demostración de que \(P_n\) decrece no la necesita.
Con \((p_n)\) creciente y \((P_n)\) decreciente, falta exactamente lo que el §4.2 §3 y §4 ya hicieron para \(e\): la cota cruzada, y la definición mediante supremo e ínfimo. Es el contenido del §4.
§4. La cota cruzada y la definición de π¶
Proposición. Para todo \(n,m\) de la forma \(4\cdot2^k\), \(p_n<P_m\).
Demostración. Mismo índice: como el polígono circunscrito contiene estrictamente al inscrito —cada lado del inscrito es una cuerda, y el lado circunscrito correspondiente es una tangente, más alejada del centro—, \(P_n>p_n\); formalmente, \(P_n=p_n/a_n\) con \(0<a_n<1\) —pues \(a_n=\sqrt{1-(s_n/2)^2}<1\) para \(s_n>0\)—, luego \(P_n=p_n/a_n>p_n\). Índices distintos: con \(k=\max(n,m)\), \((p_j)\) creciente da \(p_n\le p_k\), el caso de igual índice da \(p_k<P_k\), y \((P_j)\) decreciente da \(P_k\le P_m\). Encadenando, \(p_n\le p_k<P_k\le P_m\). \(\blacksquare\)
Por el axioma del supremo, existe \(L:=\sup\{p_n\}\); por el Lema de existencia del ínfimo —sección 4.1, §7—, existe \(\ell:=\inf\{P_n\}\), y \(L\le\ell\) por la Proposición anterior. La igualdad se obtiene acotando \(P_n-p_n\): como \(P_n=p_n/a_n\),
y como \(a_n\to1\) —pues \(s_n\to0\), según la Proposición de duplicación del §2 aplicada repetidamente— y \(p_n\) está acotada —por \(P_4=8\)—, esta diferencia puede forzarse por debajo de cualquier \(\varepsilon>0\), con el mismo tipo de argumento arquimediano que cerró la Proposición del §4.2 §4. Se concluye \(L=\ell\).
Definición. \(\pi:=\dfrac{L}{2}=\dfrac12\sup\{p_n\}=\dfrac12\inf\{P_n\}\).
Recordatorio. \(\pi\) se define como la mitad del valor común entre el supremo de los perímetros inscritos y el ínfimo de los circunscritos —la "longitud de la circunferencia" es, por definición, ese valor común, y \(\pi\) es la mitad, tal como el perímetro de una circunferencia de radio \(1\) es \(2\pi\) por convención—. Es, estructuralmente, la misma definición que \(e\) en el §4.2 §4: dos sucesiones que se aprietan, y completitud haciendo el resto.
Con \(\pi\) definido sin ambigüedad, un par de iteraciones del método ya alcanzan para acotarlo entre dos números concretos. Es el contenido del §5.
§5. Cotas numéricas¶
Con \(s_4=\sqrt2\), el Lema de duplicación del §2 da \(s_8=\sqrt{2-\sqrt{4-2}}=\sqrt{2-\sqrt2}\).
Cota de \(\sqrt2\). \(1{,}414^2=1{,}999396<2\) y \(1{,}415^2=2{,}002225>2\), de donde \(1{,}414<\sqrt2<1{,}415\).
Cota de \(s_8\). De lo anterior, \(0{,}585<2-\sqrt2<0{,}586\). Como \(0{,}764^2=0{,}583696<0{,}585\) y \(0{,}766^2=0{,}586756>0{,}586\), se sigue \(0{,}764<s_8<0{,}766\).
Cota de \(p_8/2\). \(p_8=8s_8\), de modo que \(3{,}056<p_8/2<3{,}064\). En particular, \(\pi>3{,}05\).
Cota de \(a_8\) y de \(P_8/2\). Con \(s_8<0{,}766\), \((s_8/2)^2<0{,}147\), de donde \(a_8=\sqrt{1-(s_8/2)^2}>\sqrt{0{,}853}\); como \(0{,}923^2=0{,}851929<0{,}853\), se sigue \(a_8>0{,}923\). Luego \(P_8/2=(p_8/2)/a_8<3{,}064/0{,}923<3{,}33\).
Conclusión. \(3{,}05<\pi<3{,}33\).
Recordatorio. Estas cotas no son una aproximación decimal disfrazada de teorema, sino aritmética exacta con radicales, acotados racionalmente paso a paso —el mismo tipo de verificación que fijó \(6^6<3\times5^6\) para acotar \(e\) en el §4.2 §5—. Una nueva duplicación, a \(16\) lados, estrecharía el margen; Arquímedes, históricamente, llegó hasta el polígono de \(96\) lados y obtuvo \(3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17\) —un margen casi cien veces más fino que el de esta sección, con la misma técnica exacta, aplicada cuatro duplicaciones más—.
§6. Cierre¶
El método completo de esta sección —perímetros inscritos y circunscritos, duplicación de lados, la cota cruzada— aparece, prácticamente sin cambios, en el tratado Sobre la medida del círculo de Arquímedes de Siracusa, escrito alrededor del año 250 a.C. Es, de los tres precedentes históricos que este capítulo fue citando —Napier en 1614, Newton en 1687, Euler en 1748—, el más antiguo por casi dieciocho siglos, y el único que no necesitó esperar ningún desarrollo posterior del análisis para ser, en sus propios términos, plenamente riguroso: Arquímedes no tenía el axioma de completitud con ese nombre, pero su argumento de que las dos sucesiones "se aprietan" sin dejar margen es, en esencia, exactamente el que se formalizó en el §4.
Vale la pena, antes de seguir con el círculo unitario propiamente dicho, situar la importancia de este método más allá de haber producido un número. Su estructura —mejorar una aproximación duplicando el esfuerzo de cálculo en cada paso, con una cota de error que se reduce de manera controlada y demostrable— es el mismo principio que sostiene, dos mil años después, buena parte del análisis numérico computacional: todo algoritmo iterativo que refina una solución paso a paso, desde el método de bisección hasta los métodos numéricos que resuelven ecuaciones diferenciales sin fórmula cerrada, comparte con Arquímedes la misma lógica de fondo, aunque ninguno de ellos necesite ya duplicar polígonos. Y el número mismo que este método produjo resulta, una vez definidas las funciones trigonométricas en las secciones siguientes, inseparable de todo fenómeno periódico que la ciencia describe —desde una onda sonora hasta una órbita planetaria—; pero esa ubicuidad todavía no puede mostrarse aquí, porque depende de herramientas —seno, coseno, y su comportamiento periódico— que este capítulo recién empieza a construir.
Con \(\pi\) construido y acotado, el capítulo puede, por fin, definir la circunferencia unitaria y la función de enrollamiento que traduce números reales en puntos de esa circunferencia. Ese es el contenido del §5.2.