Capítulo 9 — Las Cónicas como Lugares Geométricos¶
9.2 — Foco y Directriz¶
La recta surgió de igualar dos distancias a dos puntos; basta cambiar uno de esos puntos por una recta para que la cancelación falle y aparezca una curva.
En el §9.1 §3, la condición de equidistar de dos puntos produjo una recta, porque al elevar al cuadrado los términos \(x^2\) e \(y^2\) aparecían en ambos miembros y se cancelaban. Esta sección estudia la condición métrica más próxima que impide esa cancelación: equidistar de un punto y de una recta. El lugar resultante es la parábola. El nombre ya se usó en el capítulo 2 y en el capítulo 3 para las gráficas de las funciones cuadráticas, pero allí nunca se justificó. Se probará aquí que ambas nociones coinciden. Después se estudia la recta que toca la parábola en un solo punto, sin recurrir a derivadas, y se demuestra la propiedad de reflexión que explica el uso técnico de la curva.
§1. La distancia de un punto a una recta¶
La definición de parábola compara la distancia de un punto a otro punto, ya conocida desde el §1.8 §2, con la distancia de un punto a una recta, que hasta ahora no se definió. La definición natural es la de la menor de las distancias a los puntos de la recta.
Definición. La distancia de un punto \(P\) a una recta \(\ell\) es
siempre que ese mínimo exista.
La definición exige probar que el mínimo existe. Para las rectas paralelas a los ejes, que son las únicas que se necesitan en esta sección, la prueba es directa.
Proposición. Si \(\ell\) es la recta horizontal \(y=c\), entonces \(d(P,\ell)=|y-c|\) para todo \(P=(x,y)\). Si \(\ell\) es la recta vertical \(x=c\), entonces \(d(P,\ell)=|x-c|\). En ambos casos el mínimo se alcanza en un único punto de \(\ell\), el pie de la perpendicular trazada desde \(P\).
Demostración. Sea \(\ell\) la recta \(y=c\). Sus puntos son de la forma \(Q=(t,c)\), con \(t\) real, y por el §1.8 §2
con igualdad si y solo si \(t=x\). Como la raíz cuadrada es creciente, \(d(P,Q)\geq |y-c|\) para todo \(Q\in\ell\), y la igualdad se da únicamente en \(Q=(x,c)\). El mínimo existe, vale \(|y-c|\) y se alcanza en un solo punto. El caso vertical se obtiene intercambiando los papeles de las coordenadas. \(\blacksquare\)
La distancia a una recta oblicua también existe, y su fórmula general no ofrece dificultad. No se la necesita aquí por una razón que se explica en el §2 y que tiene consecuencias para el capítulo entero.
§2. La parábola y su ecuación canónica¶
Definición. Sean \(F\) un punto y \(\ell\) una recta del plano, con \(F\notin\ell\). La parábola de foco \(F\) y directriz \(\ell\) es el lugar
El número \(p=d(F,\ell)>0\) se llama parámetro de la parábola; la recta perpendicular a \(\ell\) que pasa por \(F\) se llama eje, y el punto del eje que equidista de \(F\) y de \(\ell\) se llama vértice.
Por el §9.1 §4, las distancias no cambian al trasladar el origen, de modo que la ecuación puede deducirse en el sistema más favorable y trasladarse después. Pero la traslación no gira los ejes. Si la directriz es horizontal o vertical, una traslación basta para llevar el vértice al origen con la directriz paralela a un eje de coordenadas. Si la directriz es oblicua, ninguna traslación la vuelve paralela a un eje, y la parábola tiene una ecuación con término \(xy\). Ese caso requiere saber que las rotaciones también conservan las distancias, y se trata en el §9.6. Hasta entonces, todas las cónicas de este capítulo tienen sus ejes paralelos a los de coordenadas.
Se coloca, entonces, el vértice en el origen y el eje sobre el eje \(y\), con el foco arriba. El foco es \(F=\left(0,\tfrac{p}{2}\right)\) y la directriz es la recta \(y=-\tfrac{p}{2}\), pues la distancia entre ambos es \(p\) y el origen equidista de los dos.
Proposición (ecuación canónica). En el sistema descrito, la ecuación de la parábola es
Demostración. Un punto \(P=(x,y)\) pertenece a \(\mathcal{C}\) si y solo si \(d(P,F)=d(P,\ell)\). Por el §1.8 §2 y por la proposición del §1, esta condición se escribe
Ambos miembros son no negativos, y por el §9.1 §2 elevar al cuadrado es una equivalencia:
Al desarrollar los cuadrados, los términos \(y^2\) y \(\tfrac{p^2}{4}\) aparecen en ambos miembros y se cancelan, y la igualdad resultante, \(x^2-py=py\), equivale a \(x^2=2py\). Toda la cadena consistió en equivalencias, de modo que la ecuación no pierde ni agrega puntos. \(\blacksquare\)
Esta vez la cancelación es parcial. El término \(y^2\) desaparece, pero \(x^2\) sobrevive, porque la distancia a la recta horizontal no depende de \(x\). Esa asimetría entre las dos distancias es la que hace aparecer la curva.
De la ecuación se leen de inmediato tres propiedades. La parábola es simétrica respecto de su eje, porque \(x^2=(-x)^2\), en el sentido del §1.8 §5. Como \(x^2\geq 0\) y \(p>0\), todo punto de la curva cumple \(y\geq 0\): la parábola queda del lado del foco respecto del vértice, y el vértice es su único punto sobre la recta \(y=0\). Por último, la recta horizontal que pasa por el foco corta la curva donde \(x^2=2p\cdot\tfrac{p}{2}=p^2\), es decir, en \(x=\pm p\), de modo que la cuerda focal perpendicular al eje mide \(2p\). Esa cuerda, llamada lado recto, da una lectura geométrica del parámetro: mide el doble de la distancia entre el foco y la directriz.
Recordatorio. Vértice en el origen, foco \(\left(0,\tfrac{p}{2}\right)\) y directriz \(y=-\tfrac{p}{2}\): la ecuación es \(x^2=2py\). El parámetro \(p\) es la distancia del foco a la directriz; el vértice está a \(\tfrac{p}{2}\) de cada uno.
§3. Las cuatro orientaciones y la traslación del vértice¶
La parábola puede abrirse hacia abajo o tener su eje horizontal. No hace falta repetir la deducción para cada caso, porque los cuatro se obtienen del primero mediante cambios de coordenadas que conservan las distancias.
Proposición. Las correspondencias \((x,y)\mapsto(x,-y)\) y \((x,y)\mapsto(y,x)\) conservan las distancias entre puntos y las distancias de puntos a rectas.
Demostración. En la fórmula del §1.8 §2 las diferencias de coordenadas aparecen elevadas al cuadrado. Cambiar el signo de ambas ordenadas no altera \((y_2-y_1)^2\), e intercambiar las coordenadas solo permuta los dos sumandos; en ambos casos la distancia no cambia. Las dos correspondencias son biyectivas y llevan rectas en rectas, de modo que el conjunto de distancias de \(P\) a los puntos de \(\ell\) coincide con el conjunto de distancias de la imagen de \(P\) a los puntos de la imagen de \(\ell\), y lo mismo ocurre con su mínimo. \(\blacksquare\)
La primera correspondencia es la reflexión en el eje \(x\), y lleva el foco \(\left(0,\tfrac{p}{2}\right)\) y la directriz \(y=-\tfrac{p}{2}\) al foco \(\left(0,-\tfrac{p}{2}\right)\) y la directriz \(y=\tfrac{p}{2}\). La segunda es la reflexión en la recta \(y=x\) del §2.7, e intercambia los papeles de los ejes. Como conservan la condición métrica, cada una transforma la parábola en la parábola de los elementos transformados, y su ecuación se obtiene haciendo en \(x^2=2py\) la misma sustitución. Con vértice en el origen, las cuatro ecuaciones posibles son
con los focos \(\left(0,\tfrac{p}{2}\right)\), \(\left(0,-\tfrac{p}{2}\right)\), \(\left(\tfrac{p}{2},0\right)\) y \(\left(-\tfrac{p}{2},0\right)\), y las directrices \(y=-\tfrac{p}{2}\), \(y=\tfrac{p}{2}\), \(x=-\tfrac{p}{2}\) y \(x=\tfrac{p}{2}\), respectivamente. En cada caso la curva se abre hacia el foco y se aleja de la directriz. Si el vértice está en \((h,k)\), la proposición de traslación del §9.1 §4 reemplaza \(x\) por \(x-h\) e \(y\) por \(y-k\) en las cuatro ecuaciones, y desplaza foco y directriz en la misma medida.
Ejemplo. Se busca el lugar de los puntos que equidistan de \(F=(3,1)\) y de la recta \(x=-1\). La directriz es vertical, así que el eje es la horizontal \(y=1\) que pasa por el foco. El parámetro es la distancia del foco a la directriz, \(p=|3-(-1)|=4\). El vértice es el punto del eje que equidista de ambos, \((1,1)\). Como el foco queda a la derecha de la directriz, la parábola se abre hacia la derecha, y su ecuación es la trasladada de \(y^2=2px\) con \(p=4\):
§4. Toda gráfica cuadrática es una parábola¶
En el capítulo 2 se llamó parábola a la gráfica de \(y=ax^2+bx+c\) con \(a\neq 0\), y el capítulo 3 conservó el nombre. Era una anticipación. Nada garantizaba que esas gráficas tuvieran un foco y una directriz. La proposición siguiente salda esa deuda.
Proposición. Sea \(a\neq 0\). La gráfica de \(y=ax^2+bx+c\) es la parábola de vértice \((h,k)\), foco \(\left(h,\,k+\tfrac{1}{4a}\right)\) y directriz \(y=k-\tfrac{1}{4a}\), donde \(h=-\tfrac{b}{2a}\) y \(k=c-\tfrac{b^2}{4a}\).
Demostración. Completando el cuadrado como en el §1.3, \(ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k\), con \(h\) y \(k\) como en el enunciado. La ecuación de la gráfica equivale, entonces, a \((x-h)^2=\tfrac{1}{a}(y-k)\). Si \(a>0\), con \(p=\tfrac{1}{2a}>0\) esta es la ecuación \((x-h)^2=2p(y-k)\) del §3: la parábola de vértice \((h,k)\) abierta hacia arriba, con foco \(\left(h,k+\tfrac{p}{2}\right)=\left(h,k+\tfrac{1}{4a}\right)\) y directriz \(y=k-\tfrac{1}{4a}\). Si \(a<0\), con \(p=-\tfrac{1}{2a}>0\) es la ecuación \((x-h)^2=-2p(y-k)\): la parábola abierta hacia abajo, con foco \(\left(h,k-\tfrac{p}{2}\right)\), y como \(-\tfrac{p}{2}=\tfrac{1}{4a}\), este foco es de nuevo \(\left(h,k+\tfrac{1}{4a}\right)\); la directriz es \(y=k+\tfrac{p}{2}=k-\tfrac{1}{4a}\). \(\blacksquare\)
Los dos casos se reúnen en una sola fórmula porque el signo de \(a\) viaja dentro del término \(\tfrac{1}{4a}\). Si \(a\) es grande en valor absoluto, el foco está muy cerca del vértice y la curva se cierra; si \(a\) es pequeño, el foco se aleja y la curva se abre. El coeficiente que en el §2.5 se interpretó como un escalamiento vertical resulta ser, visto desde la definición métrica, la inversa del doble del parámetro. La recíproca también vale, y resulta de la misma cuenta leída al revés. Toda parábola de eje vertical es la gráfica de una función cuadrática. Las parábolas de eje horizontal, en cambio, no pasan el criterio de la recta vertical del §2.3 §1 y no son gráficas de funciones de \(x\).
§5. La recta que toca la parábola¶
La geometría elemental llama tangente a una recta que toca una curva en un solo punto. Para la parábola esa condición no basta: la recta vertical \(x=c\) corta a \(x^2=2py\) en el único punto \(\left(c,\tfrac{c^2}{2p}\right)\), y nadie la llamaría tangente, porque atraviesa la curva siguiendo la dirección de su eje. La definición debe excluir esas rectas.
Definición. Una recta que pasa por un punto \(P_0\) de una parábola y no es paralela a su eje es tangente a la parábola en \(P_0\) si su intersección con la parábola es exactamente \(\{P_0\}\).
Proposición. Sea \(P_0=(x_0,y_0)\) un punto de la parábola \(x^2=2py\). Existe una única recta tangente a la parábola en \(P_0\), y su ecuación es
Además, la parábola queda enteramente de un mismo lado de esa recta: ningún punto de la curva está por debajo de ella.
Demostración. El eje de la parábola es vertical, así que las rectas por \(P_0\) no paralelas a él son exactamente las no verticales, \(y=y_0+m(x-x_0)\) con \(m\) real. Como cada una es gráfica de una función de \(x\), sus puntos de corte con la parábola se corresponden uno a uno con las soluciones de \(x^2=2p\big(y_0+m(x-x_0)\big)\). Usando que \(2py_0=x_0^2\), esa ecuación se escribe
y como el producto \(x_0(2pm-x_0)\) y la suma \(x_0+(2pm-x_0)\) coinciden con los coeficientes, se factoriza como
Las soluciones son \(x_0\) y \(2pm-x_0\). La intersección se reduce a \(\{P_0\}\) si y solo si ambas coinciden, es decir, si y solo si \(2pm-x_0=x_0\), o sea \(m=\tfrac{x_0}{p}\). Hay, por lo tanto, exactamente una recta tangente. Su ecuación, \(y=y_0+\tfrac{x_0}{p}(x-x_0)\), se multiplica por \(p\) y se reemplaza \(x_0^2\) por \(2py_0\), lo que da \(py=x_0x-py_0\), es decir, \(x_0x=p(y+y_0)\). Por último, sobre la vertical de abscisa \(x\) la parábola tiene ordenada \(\tfrac{x^2}{2p}\) y la tangente \(\tfrac{x_0x}{p}-y_0=\tfrac{2x_0x-x_0^2}{2p}\). La diferencia entre ambas es
y se anula solo en \(x=x_0\). \(\blacksquare\)
La demostración da más de lo que pide la definición. La tangente no solo toca la curva en un punto: la deja entera de un lado, y la separación entre ambas crece como el cuadrado de la distancia horizontal al punto de contacto. Esa es la idea de "tocar sin atravesar" que la geometría elemental intuía. El Cálculo la convertirá en la noción de derivada, pero para la parábola la cuenta algebraica basta.
Recordatorio. La tangente a \(x^2=2py\) en \((x_0,y_0)\) es \(x_0x=p(y+y_0)\) y tiene pendiente \(\tfrac{x_0}{p}\). Se obtiene exigiendo que la segunda intersección coincida con la primera.
§6. La propiedad de reflexión¶
Una superficie pulida refleja la luz de modo que el rayo incidente y el reflejado forman ángulos iguales con la superficie; si esta es curva, los ángulos se miden respecto de la recta tangente. Esa es una ley de la física. La proposición que sigue es un teorema de geometría, y explica por qué los faros, las antenas y los hornos solares tienen perfil parabólico.
Teorema (propiedad de reflexión). Sea \(P_0\) un punto de una parábola distinto del vértice, \(F\) su foco y \(L\) la semirrecta que parte de \(P_0\) paralela al eje, en el sentido en que la curva se abre. Entonces la tangente en \(P_0\) forma ángulos iguales con el segmento \(P_0F\) y con \(L\).
Demostración. Por el §3 basta tratar la parábola \(x^2=2py\). Sea \(P_0=(x_0,y_0)\) con \(x_0\neq 0\), que es la condición de no ser el vértice. La tangente \(x_0x=p(y+y_0)\) corta al eje, la recta \(x=0\), en el punto \(Q=(0,-y_0)\), y ese punto es distinto de \(P_0\) porque tiene otra abscisa. La distancia de \(Q\) al foco \(F=\left(0,\tfrac{p}{2}\right)\) es \(\left|\tfrac{p}{2}+y_0\right|=\tfrac{p}{2}+y_0\), donde se usó que \(y_0\geq 0\) (§2). Por otra parte, \(P_0\) está en la parábola, así que su distancia al foco es igual a su distancia a la directriz, que por el §1 vale \(\left|y_0+\tfrac{p}{2}\right|=y_0+\tfrac{p}{2}\). Por lo tanto \(d(F,Q)=d(F,P_0)\), y los puntos \(F\), \(Q\) y \(P_0\) no están alineados, porque \(F\) y \(Q\) están sobre el eje y \(P_0\) no. El triángulo \(FQP_0\) es isósceles de base \(QP_0\), y sus ángulos en la base son iguales:
Sea \(T\) un punto de la tangente situado más allá de \(P_0\) respecto de \(Q\). El eje y la semirrecta \(L\) son paralelos y están cortados por la tangente. El ángulo en \(Q\) entre la semirrecta \(QF\), que apunta hacia donde se abre la curva, y la semirrecta \(QP_0\) es correspondiente del ángulo en \(P_0\) entre \(L\) y la semirrecta \(P_0T\), y por lo tanto son iguales. Resulta así que el ángulo entre \(P_0F\) y la tangente, medido del lado de \(Q\), es igual al ángulo entre \(L\) y la tangente, medido del lado de \(T\). \(\blacksquare\)
Las dos igualdades de ángulos que usa la prueba, la de los ángulos en la base de un triángulo isósceles y la de los ángulos correspondientes entre paralelas, pertenecen a la geometría euclidiana que el libro toma como conocida desde el §1.10. El vértice queda excluido del enunciado porque allí el triángulo degenera, pero la conclusión sigue valiendo de manera trivial. La tangente en el vértice es la recta \(y=0\), y tanto el segmento hacia el foco como la semirrecta paralela al eje son verticales, de modo que ambos forman con ella ángulos rectos.
Ejemplo. En la parábola \(x^2=8y\) se tiene \(p=4\) y el foco es \(F=(0,2)\). El punto \(P_0=(4,2)\) pertenece a la curva, pues \(16=8\cdot 2\), y la tangente en él es \(4x=4(y+2)\), es decir, \(y=x-2\). Esta recta corta al eje en \(Q=(0,-2)\), y en efecto \(d(F,Q)=4=\sqrt{4^2+0^2}=d(F,P_0)\).
Leído en términos físicos, el teorema dice que un rayo que sale del foco y se refleja en la parábola sale paralelo al eje. Y como la ley de reflexión es simétrica, un haz paralelo al eje, como la luz de una estrella lejana, se concentra después de reflejarse en un único punto, el foco. El nombre de ese punto, del latín focus, "hogar", se debe a Kepler y recuerda este fenómeno: es donde el espejo parabólico reúne el calor del sol.
Recordatorio. La tangente en \(P_0\) corta al eje en \(Q=(0,-y_0)\), y \(d(F,Q)=d(F,P_0)\). El triángulo isósceles \(FQP_0\) y el paralelismo entre el eje y \(L\) dan la igualdad de ángulos.
La parábola resultó de comparar la distancia a un punto con la distancia a una recta. La sección siguiente vuelve a los dos puntos del §9.1 §3, pero en lugar de igualar sus distancias fija su suma o su diferencia, y obtiene así las dos cónicas restantes.