Capítulo 3 — Polinomios y Funciones Racionales¶

Lo Imposible que Funcionaba: la Legitimación de los Números Complejos¶

Una cantidad no necesita ser comprendida para ser usada; a veces hace falta usarla primero, durante siglos, para empezar a comprenderla después.

Los números complejos no nacieron, como podría suponerse, de la pregunta \(x^2=-1\). Esa ecuación, cualquier álgebrista del siglo XVI podía simplemente declararla sin solución y seguir adelante sin mayor incomodidad —exactamente como lo hizo, implícitamente, el §1.2 de este libro—. Nacieron, en cambio, de un problema donde declarar "no tiene solución" no era una opción: la fórmula de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas, publicada en 1545. Para ciertas cúbicas con tres raíces reales, perfectamente calculables y verificables por sustitución directa, la fórmula de Cardano exigía pasar, en un paso intermedio, por la raíz cuadrada de un número negativo. El resultado final —una vez completado el cálculo— era real, correcto, verificable; el camino hacia él, sin embargo, atravesaba un territorio que nadie sabía cómo justificar. Este fenómeno, hoy llamado casus irreducibilis, no podía resolverse ignorando la cantidad imposible: había que operar con ella, aunque nadie supiera qué era.

Fue Rafael Bombelli quien, en 1572, se atrevió a tomar en serio ese territorio. En su Algebra, propuso reglas explícitas para sumar y multiplicar estas cantidades —a las que llamó più di meno y meno di meno, "más de menos" y "menos de menos"— y demostró, mediante cálculo directo, que al aplicarlas sistemáticamente a un caso concreto de la fórmula de Cardano, las partes imposibles se cancelaban entre sí, dejando exactamente la raíz real ya conocida por otros medios. Bombelli no ofreció ninguna justificación filosófica de qué eran esas cantidades; ofreció, en cambio, algo más persuasivo para un álgebrista: reglas de cálculo que, aplicadas con disciplina, producían siempre respuestas correctas. Era, en esencia, el mismo tipo de confianza operativa con que Bombelli y sus contemporáneos ya trataban los números negativos —también "imposibles" para buena parte de la tradición geométrica griega, y sin embargo indispensables para llevar la cuenta de una deuda—.

El nombre que terminó por imponerse no ayudó a disolver la sospecha. Fue Descartes quien, en 1637, llamó a estas cantidades imaginarias —en oposición a las reales—, y lo hizo, según el contexto de su Géométrie, con una connotación cercana al desdén: una raíz imaginaria era, para él, una raíz que el álgebra producía sin que ninguna construcción geométrica pudiera exhibirla como longitud. El nombre quedó fijado en el idioma matemático durante siglos, incluso después de que la sospecha que lo motivó dejara de tener fundamento —una situación no muy distinta de la que persigue, todavía hoy, a la palabra "irracional" del §1.1, cargada de un juicio de valor que la demostración de irracionalidad nunca pretendió emitir—.

La primera legitimación genuina no vino del álgebra, sino de la geometría, y tardó más de siglo y medio en llegar. John Wallis, hacia 1673, ensayó una primera representación gráfica sin lograr una formulación satisfactoria; fue el agrimensor noruego-danés Caspar Wessel, en 1799, y de manera independiente el contable parisino Jean-Robert Argand, en 1806, quienes propusieron la idea que finalmente prendió: representar \(a+bi\) como el punto de coordenadas \((a,b)\) en un plano, con el eje horizontal para la parte real y el vertical para la parte "imaginaria". Bajo esta mirada, multiplicar por \(i\) dejaba de ser una operación misteriosa y se convertía en una rotación de noventa grados alrededor del origen —una transformación tan geométricamente concreta como cualquier reflexión o traslación—. Carl Friedrich Gauss, cuya autoridad terminó por consolidar la idea ante la comunidad matemática hacia 1831, fue quien además propuso el nombre que reemplazaría gradualmente al de Descartes: números complejos, sin la carga peyorativa de "imaginario", precisamente para señalar que no había en ellos nada menos real que en cualquier otro objeto geométrico del plano.

Pero la representación geométrica, por persuasiva que fuera, seguía dejando una pregunta sin responder: ¿por qué habría de aceptarse que un punto del plano es, genuinamente, un número, con derecho a sumarse y multiplicarse como tal? Fue William Rowan Hamilton quien, en 1837, dio el paso que este mismo capítulo repitió en el §3.3: en lugar de apelar a una intuición geométrica o a una "unidad imaginaria" de naturaleza incierta, Hamilton definió los números complejos, sin adornos, como pares ordenados de números reales, con una suma y un producto especificados por reglas explícitas —\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\) y \((a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\), exactamente las del §3.3 §1—. Bajo esta construcción, \(i\) no es una cantidad misteriosa que alguien decidió "inventar" para resolver \(x^2+1=0\); es, sencillamente, el par \((0,1)\), un objeto tan concreto como cualquier otro elemento de \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\), cuyo cuadrado resulta ser, por cálculo directo y verificable, el par \((-1,0)\). La pregunta "¿qué es \(i\), realmente?" —que había atormentado a generaciones de matemáticos desde Bombelli— se disuelve en la construcción de Hamilton, no porque se responda, sino porque deja de ser necesaria: \(i\) es exactamente lo que sus axiomas dicen que es, ni más ni menos, de la misma manera en que \(-1\) es exactamente lo que los axiomas de cuerpo del §1.1 dicen que es, sin que haga falta preguntarse si "existe" en algún sentido más profundo.

Esa construcción, sin embargo, no llegó sin un costo, y ese costo revela algo estructural sobre qué se gana y qué se pierde al extender un sistema numérico. El §1.7 de este libro construyó \(\mathbb{R}\) como un cuerpo ordenado: para todo par de reales distintos, uno es mayor que el otro, de manera compatible con la suma y el producto. \(\mathbb{C}\) no admite ningún orden con esa compatibilidad —si lo admitiera, \(i^2=-1\) forzaría una contradicción, ya que en cualquier cuerpo ordenado el cuadrado de cualquier elemento no nulo es positivo—. Ganar una raíz para \(x^2+1\) costó, exactamente, la posibilidad de decir si un número complejo es "mayor" o "menor" que otro. Y el patrón no se detuvo en \(\mathbb{C}\): Hamilton mismo, buscando extender la construcción una vez más para representar rotaciones en tres dimensiones, descubrió en 1843 los cuaterniones, un sistema numérico de dimensión cuatro que gana aún más estructura a costa de sacrificar, esta vez, la conmutatividad del producto. Cada extensión parece obedecer la misma lógica de intercambio: ningún sistema numérico lo tiene todo, y cada uno se define, tanto por lo que agrega, como por lo que decide dejar atrás.

Queda, para cerrar el capítulo, la misma pregunta que ya insinuó el cierre del capítulo anterior, ahora en su versión más aguda. Si \(\mathbb{C}\) se construye, sin residuo místico, como \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) con dos operaciones bien definidas —ningún acto de fe, ninguna "unidad imaginaria" que haya que aceptar por decreto—, ¿en qué sentido, entonces, puede decirse que Bombelli descubrió algo en 1572, si el objeto que manipulaba no quedaría propiamente construido hasta casi tres siglos después? ¿Es la historia de \(\mathbb{C}\) la historia de un objeto que esperaba, ya completo, a ser hallado, o la historia de una herramienta que funcionó durante generaciones antes de que nadie supiera —ni necesitara saber— exactamente qué era lo que estaba usando?