Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.3 — Visualización y Topología Básica en el Plano: Comportamiento Global¶
Una gráfica no se mira: se lee, como se lee cualquier otro enunciado matemático.
La gráfica de una función quedó definida en el §2.1 §5 como un subconjunto preciso de \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\), no como un trazo intuitivo. Esta sección explota esa precisión: cada propiedad geométrica que se discute a continuación —verticalidad, ceros, signo, simetría, monotonía— es, en el fondo, una propiedad algebraica traducida al lenguaje del plano, y cada una admite una verificación exacta a partir de la fórmula, no solo una apreciación visual.
§1. El criterio de la recta vertical¶
Quedó pendiente, al cerrar el §2.1, una pregunta concreta: dado un subconjunto cualquiera de \(\mathbb{R}^2\), ¿cómo reconocer si es la gráfica de alguna función? La respuesta es una traducción directa, sin pasos intermedios, de la condición de unicidad fijada en el §2.1 §3.
Proposición (criterio de la recta vertical). Un subconjunto \(G\subseteq\mathbb{R}^2\) es la gráfica de una función \(f:A\to\mathbb{R}\) si y solo si toda recta vertical \(x=a\), con \(a\in A\), interseca a \(G\) en exactamente un punto.
Demostración. Una recta vertical \(x=a\) es, por definición, el conjunto \(\{(a,y)\mid y\in\mathbb{R}\}\). Que esta recta interseque a \(G=\text{Gr}(f)\) en un único punto significa, exactamente, que existe un único \(y\) tal que \((a,y)\in\text{Gr}(f)\), es decir, un único \(y=f(a)\). Pero esto es precisamente la condición de unicidad de la definición de función del §2.1 §3, aplicada al punto \(a\). Recíprocamente, si toda recta vertical con \(a\in A\) corta a \(G\) en un único punto, esa correspondencia \(a\mapsto y\) satisface existencia y unicidad, y por lo tanto define una función cuya gráfica es \(G\). \(\blacksquare\)
El criterio no introduce, entonces, ningún hecho nuevo: es la misma condición de unicidad del §2.1, vista ahora en el plano en lugar de vista en la definición conjuntista. Por eso la circunferencia completa del §1.8 §4, retomada como contraejemplo en el §2.1 §3, falla el criterio de la recta vertical exactamente en los mismos puntos donde falla la unicidad: cualquier vertical \(x=a\) con \(|a|<r\) corta a la circunferencia en dos puntos, uno con \(y>0\) y otro con \(y<0\).
Recordatorio. El criterio de la recta vertical no es una regla visual independiente: es la condición de unicidad del §2.1 leída geométricamente. Dos intersecciones con una misma vertical son, literalmente, dos valores de \(f\) para el mismo \(x\).
§2. Dominio e imagen leídos en la gráfica¶
Una vez garantizado que una gráfica corresponde a una función, dominio e imagen —definidos algebraicamente en el §2.1 §4 y calculados analíticamente en el §2.2— admiten una lectura geométrica directa como proyecciones de la gráfica sobre cada eje.
El dominio es la proyección de \(\text{Gr}(f)\) sobre el eje \(x\): el conjunto de abscisas \(a\) para las cuales alguna vertical \(x=a\) efectivamente toca la gráfica. La imagen es la proyección sobre el eje \(y\): el conjunto de ordenadas \(b\) para las cuales alguna horizontal \(y=b\) toca la gráfica en al menos un punto. Esta lectura es útil como verificación visual rápida —en la misma línea que el §1.9 ya advirtió sobre el papel de la gráfica—, pero no reemplaza el cálculo algebraico del §2.2: una ventana de visualización finita, como se señaló allí, puede ocultar tramos del dominio o de la imagen que se extienden más allá de lo que la pantalla muestra.
Antes de seguir, conviene repasar visualmente la notación con la que dominio e imagen se describen. El intervalo abierto y el cerrado ya se fijaron en el §1.1 §7; el entorno \(B_\delta(x_0)\), en cambio, proviene del §1.1 §8, y reaparecerá tal cual en el comportamiento asintótico del §2.4 y en los extremos relativos del §2.8.
Figura 2.2 — Intervalo abierto, intervalo cerrado, y entorno \(B_\delta(x_0)=(x_0-\delta,x_0+\delta)\).
§3. Ceros y signo¶
Un cero de \(f\) es un valor \(x\in\text{Dom}(f)\) tal que \(f(x)=0\); geométricamente, es un punto donde la gráfica toca o cruza el eje \(x\). Encontrar los ceros de una función es, en términos ya conocidos del §1.5, resolver la ecuación \(f(x)=0\) con las técnicas de esa sección —factorización, fórmula cuadrática, o los métodos correspondientes al tipo de expresión involucrada—.
Los ceros dividen al dominio en intervalos dentro de cada uno de los cuales el signo de \(f\) es constante, exactamente por la misma razón ya demostrada para polinomios en el §1.7 §2: una función continua —noción que se precisará en el cálculo, pero que aquí basta entender intuitivamente como "sin saltos"— solo puede cambiar de signo al atravesar un cero. El análisis de signos de una función es, entonces, el mismo procedimiento del §1.7, generalizado de polinomios a funciones arbitrarias: se ubican los ceros sobre el dominio y se evalúa el signo de \(f\) en un punto de prueba de cada intervalo resultante.
Recordatorio. Los ceros de \(f\) son las soluciones de \(f(x)=0\), calculadas con las técnicas del §1.5. Entre dos ceros consecutivos —y sin discontinuidades de por medio— el signo de \(f\) no cambia.
§4. Simetría: funciones pares e impares¶
Dos tipos de simetría de la gráfica de una función merecen nombre propio, porque simplifican notablemente su estudio: basta conocer el comportamiento de \(f\) para \(x\ge0\) para deducir automáticamente el resto.
Definición. Sea \(f\) una función con dominio simétrico respecto del origen —es decir, \(x\in\text{Dom}(f) \iff -x\in\text{Dom}(f)\)—. Se dice que \(f\) es par si \(f(-x)=f(x)\) para todo \(x\in\text{Dom}(f)\), e impar si \(f(-x)=-f(x)\) para todo \(x\in\text{Dom}(f)\).
La exigencia de que el dominio mismo sea simétrico no es accesoria: sin ella, \(f(-x)\) podría no estar definido incluso cuando \(f(x)\) sí lo está, y la comparación en la definición perdería sentido antes de empezar.
Estas dos condiciones algebraicas son, cada una, la traducción exacta de una simetría geométrica ya definida en el §1.8 §5. Si \(f\) es par, todo punto \((x,f(x))\) de su gráfica viene acompañado del punto \((-x,f(x))\) —el mismo valor de \(y\)—, que es precisamente la condición de simetría respecto del eje \(y\) fijada en el §1.8. Si \(f\) es impar, todo punto \((x,f(x))\) viene acompañado de \((-x,-f(x))\), que es la condición de simetría respecto del origen. La simetría respecto del eje \(x\), la tercera posibilidad contemplada en el §1.8, queda automáticamente descartada para cualquier función no nula: si \((x,y)\) y \((x,-y)\) pertenecieran ambos a la gráfica con \(y\neq0\), se tendrían dos valores distintos de \(f\) en el mismo \(x\), violando de nuevo la unicidad del §2.1 —la misma restricción que ya impidió que la circunferencia completa fuera una función—.
Ejemplo. \(f(x)=x^2\) es par: \(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\), usando la propiedad de signos \((-a)^2=a^2\) del §1.1 §6. \(f(x)=x^3\) es impar: \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\). La mayoría de las funciones, sin embargo, no son ni pares ni impares —\(f(x)=x^2+x\) es el ejemplo más simple—, y esto no es una falla del concepto: la paridad es una propiedad especial, no la condición por defecto.
Recordatorio. Par: \(f(-x)=f(x)\), simetría respecto al eje \(y\). Impar: \(f(-x)=-f(x)\), simetría respecto al origen. Ambas exigen dominio simétrico respecto de \(0\); ninguna función no nula puede ser simétrica respecto al eje \(x\), por la unicidad del §2.1.
§5. Monotonía: crecimiento y decrecimiento¶
La última propiedad global de esta sección describe, con precisión, algo que la intuición gráfica ya sugiere de manera informal: si una función "sube" o "baja" a medida que \(x\) crece.
Definición. Sea \(f\) una función e \(I\subseteq\text{Dom}(f)\) un intervalo. Se dice que \(f\) es creciente en \(I\) si para todo \(x_1,x_2\in I\),
y decreciente en \(I\) si, bajo la misma hipótesis, \(f(x_1)>f(x_2)\). Cuando la desigualdad se cumple de manera no estricta —\(f(x_1)\le f(x_2)\), o \(f(x_1)\ge f(x_2)\)—, se habla de monotonía no decreciente o no creciente, respectivamente; este libro reservará "creciente" y "decreciente", sin más calificativo, para el caso estricto.
Esta definición tiene una ventaja sobre la intuición visual que conviene remarcar: no depende de "mirar" la gráfica, sino de comparar valores de \(f\) en pares de puntos, lo cual la vuelve verificable algebraicamente incluso sin trazar nada. Determinar con precisión los intervalos de monotonía de funciones más elaboradas que las de este capítulo —y demostrar que efectivamente lo son, sin apelar a la gráfica— es, de hecho, uno de los problemas centrales que motivará el cálculo diferencial más adelante en el libro; por ahora, la verificación directa a partir de la definición basta para las funciones que se manejarán en lo que resta del capítulo.
Ejemplo. \(f(x)=x^2\) es decreciente en \((-\infty,0]\) y creciente en \([0,\infty)\). En efecto, si \(x_1<x_2\le0\), ambos son no positivos y \(|x_1|>|x_2|\), de modo que \(x_1^2>x_2^2\) —una comprobación que, en rigor, se apoya en las propiedades de las desigualdades del §1.7—; el caso \(0\le x_1<x_2\) es simétrico. El punto \(x=0\), donde la función deja de decrecer y empieza a crecer, no pertenece a ningún intervalo abierto de monotonía estricta, pero sí puede incluirse en ambos intervalos cerrados, como refleja la notación usada.
Recordatorio. Creciente en \(I\): \(x_1<x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)\), para todo par de puntos de \(I\), no solo "visualmente". La monotonía es una propiedad verificable por comparación directa de valores, no una impresión gráfica.
Las cuatro propiedades reunidas en esta sección —verticalidad, ceros y signo, simetría, monotonía— comparten un mismo patrón que vale la pena señalar antes de continuar: ninguna es, en el fondo, una observación sobre el dibujo, sino una afirmación algebraica sobre la fórmula que se traduce, de manera exacta, en un rasgo geométrico. La gráfica es útil precisamente porque esa traducción existe y es fiel; no porque sustituya al álgebra, sino porque la vuelve visible.
Con este vocabulario de comportamiento global ya disponible, corresponde aplicarlo sobre un conjunto concreto y reducido de funciones —los prototipos elementales de este capítulo— y extender, sobre uno de ellos, la noción de comportamiento no acotado. Ese es el tema de la sección siguiente.