Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.3 — Visualización y Topología Básica en el Plano: Comportamiento Global¶
Una gráfica no se mira: se lee, como se lee cualquier otro enunciado matemático.
En el §2.1 la gráfica de una función quedó definida como un subconjunto preciso de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), no como un trazo intuitivo. Esta sección aprovecha esa precisión. Cada propiedad geométrica que vamos a discutir, como cortar una recta vertical, tocar el eje \(x\), ser simétrica o subir y bajar, es una propiedad algebraica traducida al lenguaje del plano, y cada una se puede comprobar con exactitud a partir de la fórmula, sin depender de una apreciación visual.
§1. El criterio de la recta vertical¶
Al cerrar el §2.1 quedó pendiente una pregunta: dado un subconjunto cualquiera del plano, ¿cómo reconocer si es la gráfica de alguna función? La respuesta es una traducción directa de las condiciones de existencia y unicidad del §2.1.
Proposición (criterio de la recta vertical). Sean \(A \subseteq \mathbb{R}\) y \(G \subseteq A \times \mathbb{R}\). Entonces \(G\) es la gráfica de una función \(f : A \to \mathbb{R}\) si y solo si cada recta vertical \(x = a\), con \(a \in A\), corta a \(G\) en exactamente un punto.
Demostración. La recta vertical \(x = a\) es el conjunto \(\{(a, y) \mid y \in \mathbb{R}\}\), y un punto de \(G\) está en ella exactamente cuando su primera coordenada es \(a\). Supongamos que \(G = \operatorname{Gr}(f)\) para una función \(f : A \to \mathbb{R}\). Para cada \(a \in A\), los puntos de \(G\) con primera coordenada \(a\) son los pares \((a, y) \in f\); por la existencia hay al menos uno, y por la unicidad hay a lo sumo uno. La recta \(x = a\) corta a \(G\), entonces, en exactamente un punto, \((a, f(a))\). Recíprocamente, supongamos que cada recta \(x = a\) con \(a \in A\) corta a \(G\) en exactamente un punto. Como \(G \subseteq A \times \mathbb{R}\), \(G\) es una relación de \(A\) en \(\mathbb{R}\); que haya al menos un punto en cada recta es la existencia, y que haya a lo sumo uno es la unicidad. Por lo tanto \(G\) es una función de \(A\) en \(\mathbb{R}\), y es su propia gráfica. \(\blacksquare\)
El criterio no agrega un hecho nuevo: es la definición de función del §2.1 vista en el plano. Por eso la circunferencia del §2.1 falla el criterio justo donde fallaba la definición: cada recta vertical \(x = a\) con \(|a| < r\) la corta en dos puntos, uno con \(y > 0\) y otro con \(y < 0\).
Recordatorio. El criterio de la recta vertical no es una regla visual aparte: es la definición de función leída en el plano. Dos cortes con una misma vertical son dos valores de \(f\) para un mismo \(x\).
§2. Dominio e imagen leídos en la gráfica¶
El dominio y la imagen, definidos en el §2.1 y calculados en el §2.2, tienen una lectura geométrica directa como proyecciones de la gráfica sobre los ejes. El dominio es el conjunto de abscisas \(a\) para las que la recta vertical \(x = a\) toca la gráfica. La imagen es el conjunto de ordenadas \(b\) para las que la recta horizontal \(y = b\) toca la gráfica en al menos un punto. Esta lectura sirve como control rápido, en la línea del §1.9, pero no reemplaza el cálculo del §2.2: una ventana finita puede ocultar partes del dominio o de la imagen que se extienden más allá de lo que muestra la pantalla.
Conviene repasar visualmente la notación con la que se describen dominios e imágenes: los intervalos abiertos y cerrados del §1.1 y el entorno \(B_\delta(x_0) = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\), también del §1.1, que reaparecerá en el §2.4 y en los extremos relativos del §2.8.
Figura 2.1 — Intervalo abierto, intervalo cerrado, y entorno \(B_\delta(x_0)=(x_0-\delta,x_0+\delta)\).
Recordatorio. El dominio es la proyección de la gráfica sobre el eje \(x\), y la imagen, su proyección sobre el eje \(y\). La lectura gráfica controla el cálculo, pero no lo reemplaza.
§3. Ceros y signo¶
Un cero de \(f\) es un valor \(x \in \operatorname{Dom}(f)\) tal que \(f(x) = 0\); geométricamente, un punto donde la gráfica toca o cruza el eje \(x\). Encontrar los ceros de una función es resolver la ecuación \(f(x) = 0\) con las técnicas del §1.5.
Para conocer el signo de una función entre sus ceros, el método es el análisis de signos del §1.7. Cuando \(f(x)\) es un polinomio o un cociente de polinomios, se factorizan el numerador y el denominador, y las raíces de todos los factores dividen el dominio en intervalos en los que ningún factor cambia de signo; por lo tanto, \(f\) tampoco. Conviene notar que las raíces del denominador importan aunque no sean ceros de \(f\): \(\frac{1}{x}\) no tiene ningún cero y, sin embargo, es negativa para \(x < 0\) y positiva para \(x > 0\). El signo de una función puede cambiar en un punto excluido del dominio.
¿Vale lo mismo para cualquier función? No sin más. Una función definida a trozos puede saltar de un valor negativo a uno positivo sin pasar por cero; por ejemplo, la que vale \(-1\) para \(x < 0\) y \(1\) para \(x \ge 0\). Para que el signo solo pueda cambiar en un cero hace falta que la función no tenga saltos, una propiedad llamada continuidad, y probar que entonces el signo solo cambia en los ceros requiere un teorema del Cálculo, el del valor intermedio. En este libro aplicamos el análisis de signos a las funciones cuya expresión se puede factorizar, donde el argumento del §1.7 es completo.
Ejemplo. Sea \(f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}\). Su único cero es \(x = 1\), y su dominio excluye \(x = -2\). Por el §1.7, \(f\) es positiva en \((-\infty, -2)\), negativa en \((-2, 1)\) y positiva en \((1, \infty)\): cambia de signo en el cero \(x = 1\) y también en el punto excluido \(x = -2\).
Recordatorio. Los ceros de \(f\) son las soluciones de \(f(x) = 0\). En una función dada por un cociente de polinomios, el signo puede cambiar en los ceros y en los puntos donde se anula el denominador, y en ningún otro lugar.
§4. Simetría: funciones pares e impares¶
Dos tipos de simetría de la gráfica merecen nombre propio, porque simplifican el estudio de una función: basta conocer su comportamiento para \(x \ge 0\) para deducir el resto.
Definición. Sea \(f\) una función cuyo dominio es simétrico respecto del origen, es decir, \(x \in \operatorname{Dom}(f) \iff -x \in \operatorname{Dom}(f)\). Decimos que \(f\) es par si \(f(-x) = f(x)\) para todo \(x \in \operatorname{Dom}(f)\), e impar si \(f(-x) = -f(x)\) para todo \(x \in \operatorname{Dom}(f)\).
La exigencia sobre el dominio no es accesoria: sin ella, \(f(-x)\) podría no estar definido aunque \(f(x)\) sí lo esté, y la comparación perdería sentido antes de empezar.
Cada una de estas condiciones es la traducción de una simetría del §1.8. Si \(f\) es par, cada punto \((x, f(x))\) de la gráfica viene acompañado de \((-x, f(x))\), que es la simetría respecto del eje \(y\). Si \(f\) es impar, cada punto \((x, f(x))\) viene acompañado de \((-x, -f(x))\), que es la simetría respecto del origen. La tercera simetría del §1.8, respecto del eje \(x\), es imposible para una función que no sea idénticamente nula: si \(f(x) = y \neq 0\), la simetría exigiría que también \((x, -y)\) estuviera en la gráfica, y \(f\) tendría dos valores distintos en el mismo \(x\), contra la unicidad del §2.1.
Ejemplos. La función \(f(x) = x^2\) es par, porque \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\). La función \(f(x) = x^3\) es impar, porque \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\). La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares. Para \(f(x) = x^2 + x\), por ejemplo, \(f(1) = 2\) y \(f(-1) = 0\): como \(f(-1) \neq f(1)\), no es par, y como \(f(-1) \neq -f(1)\), no es impar. Un solo par de valores alcanza para descartar las dos simetrías. La paridad es una propiedad especial, no la situación habitual.
Recordatorio. Par: \(f(-x) = f(x)\), simetría respecto del eje \(y\). Impar: \(f(-x) = -f(x)\), simetría respecto del origen. Ambas exigen un dominio simétrico. Ninguna función que no sea idénticamente nula es simétrica respecto del eje \(x\).
§5. Monotonía: crecimiento y decrecimiento¶
La última propiedad de esta sección describe con precisión algo que la gráfica sugiere informalmente: si una función sube o baja a medida que \(x\) avanza.
Definición. Sean \(f\) una función e \(I \subseteq \operatorname{Dom}(f)\) un intervalo. Decimos que \(f\) es creciente en \(I\) si para todo \(x_1, x_2 \in I\)
y decreciente en \(I\) si, con la misma hipótesis, \(f(x_1) > f(x_2)\). Si la desigualdad de la conclusión es no estricta, \(f(x_1) \le f(x_2)\) o \(f(x_1) \ge f(x_2)\), hablamos de función no decreciente o no creciente, respectivamente. En este libro, "creciente" y "decreciente" sin más se refieren al caso estricto.
La definición no depende de mirar la gráfica, sino de comparar valores de \(f\) en pares de puntos, y por eso se puede verificar algebraicamente sin dibujar nada. Determinar los intervalos de monotonía de funciones más complicadas que las de este capítulo es uno de los problemas que motivan el Cálculo diferencial; aquí, la comparación directa a partir de la definición alcanza.
Ejemplo. La función \(f(x) = x^2\) es decreciente en \((-\infty, 0]\) y creciente en \([0, \infty)\). Usamos el lema del §1.2: si \(0 \le u < v\), entonces \(u^2 < v^2\). Si \(0 \le x_1 < x_2\), el lema da directamente \(x_1^2 < x_2^2\). Si \(x_1 < x_2 \le 0\), multiplicando por \(-1\) se obtiene \(0 \le -x_2 < -x_1\), y el lema da \((-x_2)^2 < (-x_1)^2\), es decir, \(x_2^2 < x_1^2\). El punto \(x = 0\) pertenece a los dos intervalos: en él la función termina de decrecer y empieza a crecer.
Recordatorio. Creciente en \(I\): \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\) para todo par de puntos de \(I\). La monotonía se comprueba comparando valores, no mirando el dibujo.
Las propiedades reunidas en esta sección, el criterio de la recta vertical, los ceros y el signo, la simetría y la monotonía, comparten un patrón: ninguna es una observación sobre el dibujo, sino una afirmación algebraica que se traduce de manera exacta en un rasgo geométrico. La gráfica es útil precisamente porque esa traducción existe y es fiel; no porque sustituya al álgebra, sino porque la vuelve visible.
Con este vocabulario disponible, corresponde aplicarlo a un conjunto concreto y reducido de funciones, los prototipos elementales del capítulo, y estudiar en uno de ellos el comportamiento cerca de los bordes de su dominio. Ese es el tema de la sección siguiente.