Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.2 — Dominio Explícito e Implícito: las Restricciones Estructurales¶
Antes de preguntar qué hace una función, hay que preguntar dónde puede hacerlo.
La definición del §2.1 exige que \(f:A\to B\) declare su dominio \(A\) como parte misma de la función: sin ese dato, "\(f(x)\)" no está completamente especificado. Pero en la práctica —y de aquí en más será la norma en este libro, salvo advertencia explícita en contrario— una función real se presenta únicamente mediante su fórmula, sin mencionar \(A\). En ese caso rige una convención precisa, no una omisión descuidada: el dominio se entiende como el mayor subconjunto de \(\mathbb{R}\) para el cual la fórmula produce un valor real bien definido. Ese dominio se llama implícito, en oposición al dominio explícito, que es aquel declarado directamente como parte de la función —por ejemplo, cuando un problema restringe \(x\) a un intervalo concreto por razones ajenas a la fórmula misma, como un tiempo que no puede ser negativo—. Esta sección se ocupa casi por completo del primero.
§1. Las dos restricciones estructurales de \(\mathbb{R}\)¶
Calcular un dominio implícito no es una tarea abierta: consiste en identificar, dentro de una fórmula, las operaciones que no están definidas para todo real, y excluir precisamente los valores de \(x\) que activarían esa indefinición. Con las herramientas construidas hasta este punto del libro, solo hay dos fuentes posibles de restricción.
División por cero. Fijada como imposibilidad en el §1.1 §3 al definir \(\mathbb{Q}\), y heredada sin cambios por \(\mathbb{R}\): si \(f(x)\) contiene un cociente \(P(x)/Q(x)\), todo valor de \(x\) que anule \(Q(x)\) queda excluido del dominio. Esta es exactamente la misma condición que ya rigió el dominio de una expresión racional en el §1.4 §1; lo único nuevo aquí es el nombre que se le da al objeto completo, función, en lugar de expresión.
Raíces de índice par de un negativo. Fijada en el §1.2 §3: si \(n\) es par, \(\sqrt[n]{a}\) solo está definida en \(\mathbb{R}\) para \(a\ge0\). Si \(f(x)\) contiene \(\sqrt[n]{g(x)}\) con \(n\) par, el dominio exige \(g(x)\ge0\), una condición que en general se resuelve con las técnicas de desigualdades del §1.7.
Ninguna otra operación entre las ya disponibles —suma, producto, potencia entera, raíz de índice impar— impone restricción alguna: están definidas para todo real. Por eso el cálculo de un dominio implícito es, en el fondo, un ejercicio de localizar dentro de la fórmula únicamente estos dos patrones, y traducir cada uno a una condición algebraica sobre \(x\).
Ejemplo. Sea \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+3}}{x-1}\). Hay dos restricciones simultáneas: el radical exige \(x+3\ge0\), es decir \(x\ge-3\); el cociente exige \(x-1\neq0\), es decir \(x\neq1\). El dominio es la intersección de ambas condiciones —ambas deben cumplirse a la vez, porque ambas operaciones ocurren en la misma expresión—:
usando la notación de intervalos y de diferencia de conjuntos ya fijada en el §1.1.
Recordatorio. Solo dos restricciones estructurales, por ahora: denominador distinto de cero, y radicando no negativo bajo índice par. Cuando ambas aparecen en la misma fórmula, el dominio es la intersección de las condiciones que cada una impone, nunca la unión.
§2. Una advertencia sobre el alcance de esta lista¶
Conviene ser explícito sobre algo que esta lista de dos restricciones no dice, para no sugerir por omisión algo falso: que estas sean todas las restricciones que pueda imponer alguna vez una fórmula. No lo son. Son, exactamente, todas las que pueden surgir de las operaciones que este libro ha definido hasta este punto. El catálogo de funciones se ampliará más adelante —con logaritmos, con funciones trigonométricas inversas, entre otras— y cada ampliación traerá consigo su propia condición de existencia, tan estructural para esa función como la división por cero lo es para un cociente. El dominio, entonces, no es una propiedad fija de "la función real" en abstracto, sino una consecuencia directa de qué operaciones estén, en cada momento del libro, disponibles y definidas. Esta sección fija el estado de esa lista tal como se conoce hoy; se ampliará, no se corregirá, cuando el vocabulario del libro lo haga necesario.
§3. Igualdad de funciones¶
La definición del §2.1 permite ahora precisar cuándo dos funciones, presentadas quizás de manera distinta, son en realidad la misma. Dado que una función es, en su definición conjuntista, un subconjunto particular de \(A\times B\), dos funciones son iguales exactamente cuando lo son como conjuntos: cuando contienen los mismos pares ordenados. Traducido a un criterio operativo:
Definición. Dos funciones \(f:A\to B\) y \(g:C\to D\) son iguales, y se escribe \(f=g\), si y solo si se cumplen a la vez:
Ambas condiciones son necesarias, y ninguna implica la otra. Dos fórmulas que coinciden en su expresión algebraica pueden, sin embargo, definir funciones distintas si sus dominios difieren —y este es, con frecuencia, el error más común al comparar funciones—.
Ejemplo. Sean \(f(x) = x\) y \(g(x) = \dfrac{x^2}{x}\). Antes de simplificar, es tentador declarar \(f=g\), porque parece la misma regla. Pero \(g\) contiene un cociente, y por el §1 de esta sección, \(\text{Dom}(g) = \mathbb{R}\setminus\{0\}\), mientras que \(\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\). La simplificación algebraica \(x^2/x=x\), válida según el §1.4 §2 únicamente dentro del dominio original, no traslada consigo la restricción \(x\neq0\) a la expresión simplificada —la nueva expresión "no tiene memoria de dónde vino", en las mismas palabras que ya se usaron en el §1.4—. Por lo tanto \(f\neq g\): son dos funciones distintas, aunque coincidan en todo punto salvo \(x=0\). Lo correcto es decir que \(g\) es igual a \(f\) restringida a \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), no que \(f\) y \(g\) son la misma función.
Recordatorio. \(f=g\) exige dos cosas a la vez: mismo dominio, y misma regla en todo ese dominio. Coincidir en la fórmula, después de simplificar, no basta si la simplificación alteró el dominio.
El dominio, entonces, no es un trámite previo a "lo importante" de una función, del mismo modo en que el §1.4 ya advirtió que no lo era para una expresión racional. Es, en un sentido preciso, parte de la identidad misma del objeto: cambiar el dominio, aun conservando idéntica la fórmula, produce una función distinta. Determinar el dominio implícito de una fórmula es, por eso, el primer acto matemático que exige cualquier función, no un paso administrativo que se despacha antes de empezar el análisis real.
Con el dominio ya fijado como frontera de existencia y como parte de la identidad de una función, corresponde examinar su contraparte visual: qué propiedades del comportamiento de una función —sus ceros, su signo, sus simetrías, su crecimiento— se leen directamente en su gráfica. Ese es el tema de la sección siguiente.