Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.2 — Dominio Explícito e Implícito: las Restricciones Estructurales¶
Antes de preguntar qué hace una función, hay que preguntar dónde puede hacerlo.
La definición del §2.1 exige que una función \(f : A \to B\) declare su dominio y su codominio como parte de la función misma. En la práctica, sin embargo, una función real suele presentarse solo mediante su fórmula, sin mencionar ni \(A\) ni \(B\), y de aquí en adelante esa será la norma en este libro, salvo aviso en contrario. Para que eso no sea una omisión sino una convención precisa, establecemos lo siguiente. Cuando una función se da solo por su fórmula, su codominio es \(\mathbb{R}\), y su dominio es el mayor subconjunto de \(\mathbb{R}\) en el que la fórmula produce un número real bien definido. Ese dominio se llama implícito. Se opone al dominio explícito, que es el que se declara expresamente, por ejemplo cuando un problema restringe \(x\) a un intervalo por razones ajenas a la fórmula, como un tiempo que no puede ser negativo. Esta sección se ocupa casi por completo del primero.
§1. Las restricciones estructurales de \(\mathbb{R}\)¶
Calcular un dominio implícito no es una tarea abierta. Consiste en identificar, dentro de la fórmula, las operaciones que no están definidas para todo real y excluir los valores de \(x\) que las dejarían sin sentido. Con las operaciones definidas hasta aquí, esas restricciones son pocas, y todas provienen de los §1.1 y §1.2.
Denominadores que se anulan. Dividir por cero no está definido, y esto viene de los axiomas del §1.1: el cero no tiene inverso multiplicativo. Si \(f(x)\) contiene un cociente \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), todo valor de \(x\) que anule \(Q(x)\) queda excluido del dominio. Es la misma condición que rige el dominio de una expresión racional en el §1.4; lo único nuevo es el nombre del objeto completo, que ahora es una función. Las potencias de exponente entero negativo caen en este caso, porque \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) es un cociente: exigen \(x \neq 0\).
Raíces de índice par de números negativos. Por el §1.2, si \(n\) es par, \(\sqrt[n]{a}\) solo está definida en \(\mathbb{R}\) para \(a \ge 0\). Si \(f(x)\) contiene \(\sqrt[n]{g(x)}\) con \(n\) par, el dominio exige \(g(x) \ge 0\), una condición que en general se resuelve con las desigualdades del §1.7. Las raíces de índice impar, en cambio, están definidas para todo real.
Exponentes fraccionarios. En el §1.2, la potencia \(a^{m/n}\) con exponente fraccionario se definió solo para bases \(a > 0\), porque con bases negativas el valor dependería de cómo se escriba la fracción. Por lo tanto, una expresión como \(x^{1/3}\) exige \(x > 0\), aunque \(\sqrt[3]{x}\) esté definida para todo \(x\). Del mismo modo, \(a^0 = 1\) se definió para \(a \neq 0\), y \(0^0\) quedó sin definir.
Las demás operaciones disponibles, la suma, la resta, el producto y las potencias de exponente natural, están definidas para todo real y no imponen restricciones. Calcular un dominio implícito es, entonces, localizar estos patrones dentro de la fórmula y traducir cada uno a una condición sobre \(x\).
Ejemplo. Sea \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x - 1}\). Hay dos restricciones. El radical exige \(x + 3 \ge 0\), es decir, \(x \ge -3\). El cociente exige \(x - 1 \neq 0\), es decir, \(x \neq 1\). Como las dos operaciones aparecen en la misma fórmula, ambas condiciones deben cumplirse a la vez, y el dominio es la intersección de los conjuntos que cada una determina:
con la notación de intervalos del §1.1 y el símbolo \(\setminus\) del §1.4, que quita a un conjunto los elementos de otro.
Recordatorio. Con las operaciones disponibles hasta aquí, el dominio implícito excluye los valores que anulan un denominador, los que hacen negativo un radicando de índice par y los que no cumplen la condición de base positiva de un exponente fraccionario. Cuando hay varias restricciones, el dominio es la intersección de las condiciones, nunca la unión.
§2. El alcance de esta lista¶
Conviene decir explícitamente algo que la lista anterior no dice, para no sugerirlo por omisión: no es la lista de todas las restricciones que una fórmula pueda imponer alguna vez. Es la lista completa de las que surgen de las operaciones definidas hasta este punto del libro. El catálogo de funciones se ampliará más adelante, con los logaritmos y las funciones trigonométricas inversas, entre otras, y cada ampliación traerá su propia condición de existencia, tan estructural para esa función como la división por cero para un cociente. El dominio implícito no es, entonces, una propiedad fija de "la función real" en abstracto, sino una consecuencia de qué operaciones estén definidas en cada momento. Esta sección fija el estado de la lista hoy; cuando el vocabulario del libro crezca, la lista se ampliará, pero no habrá que corregirla.
§3. Restricción e igualdad de funciones¶
Con la definición del §2.1 podemos precisar cuándo dos funciones, quizás presentadas de manera distinta, son la misma. Una función queda determinada por su dominio, su codominio y su conjunto de pares, y dos funciones son iguales cuando coinciden en los tres datos.
Definición. Dos funciones \(f : A \to B\) y \(g : C \to D\) son iguales, y escribimos \(f = g\), si y solo si
Con la convención de esta sección, las funciones reales dadas por fórmulas tienen todas codominio \(\mathbb{R}\), de modo que la segunda condición se cumple siempre y la comparación se reduce a los dominios y a los valores. Esas dos condiciones son independientes: dos fórmulas que parecen la misma regla pueden definir funciones distintas si sus dominios difieren, y es el error más común al comparar funciones.
Para describir la relación entre dos funciones así, sirve un concepto más. Si \(f : A \to B\) y \(S \subseteq A\), la restricción de \(f\) a \(S\) es la función \(f|_S : S \to B\) definida por \(f|_S(x) = f(x)\) para todo \(x \in S\). La barra vertical con el subíndice indica que se conserva la regla de \(f\) pero solo se la aplica a los elementos de \(S\).
Ejemplo. Sean \(f(x) = x\) y \(g(x) = \dfrac{x^2}{x}\). Es tentador declarar \(f = g\), porque parecen la misma regla. Pero \(g\) contiene un cociente, y por el §1, \(\operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), mientras que \(\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}\). La simplificación \(\frac{x^2}{x} = x\) vale, por el §1.4, solo donde la expresión original está definida, y la expresión simplificada no conserva la restricción \(x \neq 0\). Por lo tanto \(f \neq g\): son funciones distintas, aunque coincidan en todo punto salvo \(x = 0\). Lo correcto es decir que \(g = f|_{\mathbb{R} \setminus \{0\}}\): \(g\) es la restricción de \(f\) a los reales no nulos.
Recordatorio. Dos funciones reales dadas por fórmulas son iguales si tienen el mismo dominio y la misma regla en todo ese dominio. Coincidir en la fórmula después de simplificar no basta si la simplificación alteró el dominio.
El dominio no es un trámite previo a lo importante de una función, del mismo modo en que el §1.4 advirtió que no lo era para una expresión racional. Es parte de la identidad misma del objeto: cambiar el dominio, aun con la misma fórmula, produce una función distinta. Por eso determinar el dominio implícito es el primer acto matemático que exige cualquier función, y no un paso administrativo que se despacha antes de empezar.
Con el dominio fijado como frontera de existencia y como parte de la identidad de una función, corresponde examinar su contraparte visual: qué propiedades de una función, como sus ceros, su signo, sus simetrías o su crecimiento, se leen directamente en su gráfica. Ese es el tema de la sección siguiente.