Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
4.7 - Cierre: Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas¶
§1. Tres siglos de anticipación¶
A lo largo de este capítulo aparecieron, uno por sección y cada vez como nota aislada, tres nombres: Euler en el cierre del §4.1, Newton en el cierre del §4.2, Napier en el cierre del §4.4. Tomados por separado, cada uno ilustraba un punto puntual —Euler escribía \(a^x\) para \(x\) irracional sin fundamentarlo; Newton razonaba sobre aproximaciones sin la palabra "límite"; Napier construía tablas de logaritmos sin ninguna de las dos cosas—. Tomados juntos, los tres nombres trazan una sola línea, y vale la pena recorrerla de punta a punta antes de cerrar el capítulo.
Napier publica sus tablas en 1614. No parte de ninguna función exponencial —el concepto de función, en el sentido conjuntista del §2.1, tardaría más de dos siglos en formalizarse— sino de dos progresiones, una aritmética y otra geométrica, comparadas término a término; su motivación es enteramente instrumental, reducir la multiplicación de números grandes a una suma. Setenta y tres años después, Newton, en los Principia de 1687, necesita razonar sobre magnitudes geométricas que se aproximan entre sí —áreas, arcos, tangentes— y lo hace con razones primera y última, una intuición geométrica del límite sin la maquinaria algebraica para expresarlo. Y sesenta y un años después de eso, Euler, en la Introductio in analysin infinitorum de 1748 —el mismo libro que contiene, entre muchas otras cosas, la fórmula que se retomará en el §3—, ya opera con \(e^x\), con logaritmos naturales y con series infinitas, en un tratado que sistematiza el análisis del siglo XVIII con una audacia de cálculo que su propio siglo todavía no podía justificar por completo.
Entre Napier y Euler pasan ciento treinta y cuatro años; entre Euler y el momento en que la matemática dispone, por fin, del instrumento que este capítulo usó desde su primera página —el axioma de completitud de \(\mathbb{R}\), formulado con precisión por Dedekind y por Cantor recién en la década de 1870—, pasa más de un siglo adicional. Cauchy, en la década de 1820, es quien primero exige definiciones de límite y de continuidad con el rigor \(\varepsilon\)-\(\delta\) que el §2.4 de este libro ya nombró; Weierstrass, en las décadas siguientes, completa esa exigencia y la vuelve estándar. Para cuando Dedekind publica su construcción de los números reales mediante cortaduras, en 1872 —casi exactamente coetánea con la de Cantor mediante sucesiones—, la exponencial lleva ya doscientos cincuenta años de uso fecundo, sin que nadie hubiera podido demostrar, con el rigor que hoy se exige, que \(a^x\) para \(x\) irracional era un número bien definido y único.
Este capítulo comprimió esos dos siglos y medio en doce secciones. La construcción del §6 y el §7 de la sección 4.1 —supremo, ínfimo, Bernoulli, densidad— es, en esencia, la respuesta que Dedekind y Cantor hicieron posible; que ese trabajo ocupe unas pocas páginas en vez de dos siglos no habla de una dificultad menor, sino de que la pregunta correcta —¿qué le falta a \(\mathbb{Q}\) para ser \(\mathbb{R}\)?, formulada ya en el §1.1— estaba, esta vez, resuelta de antemano.
§2. Por qué la herramienta antecede al fundamento¶
Que la exponencial se usara con soltura durante dos siglos y medio antes de fundamentarse no es un accidente de esta función en particular. El §3.6 de este mismo libro, al cerrar la construcción de \(\mathbb{C}\), encontró exactamente el mismo patrón: Cardano y Bombelli manipulaban raíces cuadradas de números negativos desde el siglo XVI, con resultados que funcionaban en los cálculos aun cuando nadie podía decir, con precisión, qué eran esos objetos —hasta que Hamilton, en el siglo XIX, dio la construcción axiomática que el §3.3 de este libro repitió—. La exponencial y los números complejos son, en este sentido, la misma historia contada dos veces, con protagonistas distintos y sobre objetos matemáticos completamente diferentes.
Vale la pena preguntarse por qué el patrón se repite con tanta regularidad, en vez de tratarlo como una coincidencia entre dos capítulos de un mismo libro. Una respuesta posible —no la única, pero sí la más económica— es que la intuición operativa y la demostración rigurosa resuelven problemas distintos, y no siempre en el mismo orden. La intuición operativa responde a la pregunta "¿este objeto se comporta de manera consistente en los cálculos que ya sé hacer?" —y esa pregunta puede responderse, muchas veces, mediante analogía, patrón, o simplemente prueba y error, sin necesidad de saber qué es el objeto en un sentido último—. La demostración rigurosa responde a una pregunta distinta y más exigente: "¿por qué este objeto tiene que existir, y por qué tiene que ser único?" —la pregunta que este capítulo pasó doce secciones respondiendo para \(a^x\)—. No hay ninguna necesidad lógica de que ambas preguntas se respondan en el mismo siglo, y la historia de la matemática, una y otra vez, muestra que no lo hacen.
Esto no rebaja el valor de la intuición operativa a un mero atajo provisional. Euler no calculaba peor por carecer de \(\varepsilon\)-\(\delta\); sus resultados, en su inmensa mayoría, resultaron correctos cuando el siglo siguiente los sometió al escrutinio riguroso. Lo que la fundamentación aporta no es, entonces, principalmente corrección —el objeto ya funcionaba— sino algo distinto: la garantía de que esa corrección no fue casualidad, y un terreno sólido sobre el cual construir con seguridad la siguiente generación de resultados, que la sola intuición ya no alcanza a sostener sin ambigüedad.
§3. La exponencial y el logaritmo en la ciencia contemporánea¶
El §4.6 ya mostró tres aplicaciones —interés compuesto, decaimiento, escalas de medición— en las que la exponencial y el logaritmo resuelven un problema concreto y acotado. Hay, más allá de esas tres, dos lugares en la ciencia del siglo XIX y del XX donde el logaritmo no es una herramienta de cálculo conveniente, sino la manera en que una magnitud física fundamental se define.
La entropía de Boltzmann. En 1877, Ludwig Boltzmann propone una relación entre la entropía \(S\) de un sistema termodinámico y el número \(W\) de microestados —configuraciones microscópicas posibles— compatibles con su estado macroscópico observado:
donde \(k\) es la constante que hoy lleva su nombre. La elección del logaritmo no es estética: si dos sistemas independientes se combinan, el número de microestados del sistema combinado es el producto \(W_1\cdot W_2\) —cada configuración de uno puede combinarse con cada configuración del otro—, mientras que la entropía, magnitud física que se espera sea aditiva al combinar sistemas independientes, debe satisfacer \(S=S_1+S_2\). La única manera de que una función de \(W\) traduzca un producto en una suma es, exactamente, la ley del producto del §4.4 §1: \(\ln(W_1W_2)=\ln W_1+\ln W_2\). El logaritmo no se eligió por conveniencia de cálculo: es la única función, salvo un factor de escala, compatible con la exigencia física de que la entropía sea aditiva.
La entropía de Shannon. Setenta y un años después, en 1948, Claude Shannon publica A Mathematical Theory of Communication y define, para una fuente de información con posibles resultados de probabilidades \(p_1,\ldots,p_n\), la cantidad
como medida de la incertidumbre —o, en la terminología que Shannon terminaría popularizando, de la información— asociada a esa fuente. La base \(2\) no es arbitraria: mide la información en bits, la unidad mínima de una elección entre dos alternativas igualmente probables —consecuencia directa de que \(\log_2 2=1\), según el §5 de la sección 4.3—. Y la misma razón estructural que llevó a Boltzmann al logaritmo lleva aquí a Shannon: la probabilidad de dos eventos independientes se multiplica, mientras que la información que aportan debe sumarse —recibir dos mensajes independientes debiera dar tanta información como la suma de lo que da cada uno por separado, nunca más ni menos—. Que la fórmula de Shannon y la de Boltzmann compartan la misma forma —un logaritmo de una probabilidad, sumado con cierto peso— no es coincidencia histórica: es la misma exigencia de aditividad, resuelta por la misma herramienta, en dos ramas de la ciencia que en 1948 apenas se hablaban entre sí.
Una mención acotada: la identidad de Euler. El mismo libro de Euler que este capítulo citó en el cierre del §4.1 —la Introductio de 1748— contiene también la fórmula que relaciona la exponencial con las funciones trigonométricas mediante un exponente imaginario: \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), de la cual se sigue, con \(\theta=\pi\), la identidad
que suele citarse como la más bella de la matemática, por reunir en una sola ecuación cinco constantes fundamentales —\(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\) y \(0\)— y las tres operaciones básicas —suma, producto, potenciación—. Este libro no puede demostrarla, y es importante decir con precisión por qué no: \(e^{i\theta}\) exige extender la función exponencial a exponentes complejos, y este capítulo, de principio a fin, construyó \(a^x\) únicamente para \(x\in\mathbb{R}\) —la extensión a \(x\in\mathbb{C}\) es un objeto distinto, que requeriría retomar la construcción axiomática de \(\mathbb{C}\) del §3.3 y combinarla con esta, algo que ningún capítulo de este libro emprendió—. Queda, entonces, como este capítulo dejó la pregunta de la derivada en el §4.2: nombrada con precisión, situada en el lugar exacto donde este libro se detiene, y sin la concesión de una demostración que no le corresponde todavía.
§4. Cierre: la pregunta que sigue abierta¶
El §4.1 abrió este capítulo con una pregunta que nunca se resolvió del todo: si existe una base para la cual la rapidez de cambio de la función exponencial coincide, en cada punto, con el valor de la función misma. El §4.2 construyó el candidato —\(e\), determinado sin ambigüedad por dos sucesiones que se aprietan— y dejó la pregunta formulada con precisión, pero irresuelta. Ninguna de las secciones siguientes —logaritmo, leyes, ecuaciones, aplicaciones, y este mismo cierre— la resolvió tampoco, porque ninguna tenía el instrumento para hacerlo: la derivada.
No es una omisión de la que este capítulo deba disculparse. Es, en cambio, la marca más honesta que un libro puede dejar de su propio alcance: construir todo lo que puede construirse con los cimientos disponibles, y señalar con precisión el punto exacto donde esos cimientos se agotan, en vez de fingir una continuidad que no existe o de apelar, aunque sea por una línea, a una herramienta que el lector todavía no tiene. La pregunta queda, entonces, formulada con la mayor precisión que el precálculo permite: \(e\) existe, es único, está acotado entre \(2\) y \(3\), y satisface \(e^{x+y}=e^xe^y\) para todo par de reales —todo esto, demostrado—; lo único que falta decir es en qué sentido preciso su tasa de cambio es igual a sí misma, y esa respuesta, con toda la razón, pertenece al primer capítulo de Cálculo I.