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Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas

Problemas de Revisión

Los problemas que siguen no repiten los ejemplos ya resueltos en el capítulo: cada uno exige, en algún punto, una decisión que el lector debe tomar por sí mismo —qué técnica aplicar, en qué orden, o por qué una herramienta no alcanza—. Están organizados en los tres niveles ya declarados en el checklist de competencias: procedimental, conceptual-demostrativo, y de frontera. La referencia entre corchetes indica la sección donde se originan las herramientas necesarias; varios problemas exigen combinar más de una.


Nivel 1 — Mecánico y técnico

1. [§2.2] Determinar el dominio implícito de \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+5}}{x^2-9}\).

2. [§2.1, §2.3] Sea \(f(x)=3x-1\), con dominio explícito \([0,4]\). Usando que \(f\) es creciente, hallar \(\text{Img}(f)\).

3. [§2.3] Determinar si \(f(x)=x^4-3x^2\) es par, impar, o ninguna de las dos cosas.

4. [§2.4] Sin recalcular desde cero, indicar dominio, imagen y monotonía de \(f(x)=|x|\), apoyándose en el catálogo.

5. [§2.5] Describir en palabras la transformación que lleva de \(y=x^2\) a \(y=-3(x+2)^2-1\), identificando explícitamente \(a,h,c,k\).

6. [§2.6] Dadas \(f(x)=x+2\) y \(g(x)=\sqrt{x}\), hallar \((f+g)(x)\), \((f\cdot g)(x)\) y el dominio de cada una.

7. [§2.6] Con las mismas \(f\) y \(g\) del problema anterior, hallar \((g\circ f)(x)\) y su dominio.

8. [§2.7] Determinar si \(f(x)=x^2+1\), con dominio \([0,\infty)\), es inyectiva, y en caso afirmativo hallar \(f^{-1}\).

9. [§2.8] Hallar el vértice de \(f(x)=-2x^2+8x-3\) y clasificarlo como máximo o mínimo absoluto.


Nivel 2 — Integración y demostración

1. [§2.2, §2.6] Sea \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}\). Calcule \(\text{Dom}(h)\) directamente, y verifique el resultado expresando \(h\) como cociente de dos funciones ya conocidas y aplicando la fórmula de dominio del §2.6 §1.

2. [§2.3] Demuestre, a partir de la definición formal de monotonía —sin apelar a la gráfica—, que \(f(x)=1/x\) es decreciente en \((0,\infty)\).

3. [§2.5] Sea \(f(x)=x^2-4\). Verifique explícitamente, calculando ambos lados, que \(\text{Gr}(f(-x))=\text{Gr}(f)\), y explique qué proposición del §2.5 garantiza este resultado de antemano.

4. [§2.6] Sean \(f(x)=2x\) y \(g(x)=\sqrt{x-3}\). Calcule \(\text{Dom}(g\circ f)\) y explique, citando la definición del §2.6 §2, por qué no basta con considerar únicamente \(\text{Dom}(f)\).

5. [§2.7] Demuestre que \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}\) es inyectiva en su dominio, halle \(f^{-1}\), y verifique la identidad \(f^{-1}(f(x))=x\).

6. [§2.8] Entre todos los pares de reales positivos cuyo producto es \(36\), halle el par que minimiza su suma, usando la desigualdad AM-GM. Verifique el resultado evaluando la suma en al menos dos pares distintos que también cumplan la restricción.

7. [§2.1, §2.3] Sea \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \mid y^2=x,\ x\ge0\}\). Determine si \(R\) es una función. Si no lo es, proponga una restricción de \(R\) que sí lo sea, y halle su dominio e imagen.


Nivel 3 — Desafío, aplicación y frontera

1. [§2.4] Formalice y demuestre, con el mismo aparato \(M\)-\(\delta\) del §2.4 §2, que \(f(x)=\dfrac{2}{x-3}\) crece sin cota cuando \(x\to3^+\).

2. [§2.8] La función \(f(x)=x^3-3x\) es, según la nota de frontera metodológica del §2.8 §5, un caso que ninguna de las tres herramientas de esa sección puede resolver por completo. Evaluando \(f\) en una malla de puntos de prueba dentro de \([-2,2]\), determine tan precisamente como sea posible en qué subintervalos crece y en cuáles decrece. Discuta por qué este método, aunque informativo, no puede garantizar la ubicación exacta de ningún extremo relativo.

3. [§2.6, §2.7] Sean \(f\) y \(g\) funciones biyectivas, con codominio de \(f\) igual al dominio de \(g\). Demuestre que \(g\circ f\) es biyectiva, y que \((g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}\).

4. [§1.6, §2.8] Un granjero dispone de \(200\) metros de alambre para cercar un corral rectangular, aprovechando un muro recto ya existente como uno de los cuatro lados —de modo que el alambre solo cubre los otros tres—. Plantee el área como función de un solo lado, siguiendo el método en cuatro pasos del §1.6 §1; halle las dimensiones que maximizan esa área con las herramientas del §2.8; y verifique el resultado en el contexto del problema.

5. [§2.1, §2.2] Demuestre que la igualdad de funciones definida en el §2.2 §3 es una relación de equivalencia sobre cualquier conjunto de funciones con codominio común: es decir, demuestre que es reflexiva, simétrica y transitiva.


Clave de respuestas

Las respuestas del Nivel 1 y el Nivel 2 se dan de forma completa cuando el resultado es un valor o una expresión cerrada; cuando el problema pide una demostración, se indica solo el resultado central que debe obtenerse, no el desarrollo completo. Las respuestas del Nivel 3 se dejan deliberadamente como indicaciones, no como soluciones, para no vaciar de contenido el desafío que cada una propone.

Nivel 1

  1. \(\text{Dom}(f) = [-5,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)\).
  2. \(\text{Img}(f) = [-1,11]\).
  3. Par: \(f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)\).
  4. \(\text{Dom}=\mathbb{R}\), \(\text{Img}=[0,\infty)\), decreciente en \((-\infty,0]\), creciente en \([0,\infty)\).
  5. Reflexión respecto del eje \(x\), estiramiento vertical por factor \(3\), traslación horizontal \(2\) unidades a la izquierda, traslación vertical \(1\) unidad hacia abajo.
  6. \((f+g)(x) = x+2+\sqrt{x}\), \((f\cdot g)(x) = (x+2)\sqrt{x}\); ambas con dominio \([0,\infty)\).
  7. \((g\circ f)(x) = \sqrt{x+2}\), con dominio \([-2,\infty)\).
  8. Inyectiva (creciente en \([0,\infty)\)); \(f^{-1}(x) = \sqrt{x-1}\), con dominio \([1,\infty)\).
  9. Vértice en \(x=2\), valor \(f(2)=5\); máximo absoluto, pues \(a=-2<0\).

Nivel 2

  1. \(\text{Dom}(h) = [2,5)\cup(5,\infty)\), coincidiendo con \(\text{Dom}(\sqrt{x-2})\cap\text{Dom}(x-5)\) menos el cero del denominador.
  2. Para \(0<x_1<x_2\): \(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0\), pues numerador y denominador son positivos; luego \(f(x_1)>f(x_2)\).
  3. Ambos lados dan \(x^2-4\); la proposición del §2.5 §3 lo garantiza de antemano porque \(f\) es par.
  4. \(\text{Dom}(g\circ f) = [3/2,\infty)\), estrictamente menor que \(\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\), porque se exige además \(f(x)\ge3\).
  5. \(f^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}\), con dominio \(x\neq2\).
  6. Mínimo en \(a=b=6\), con suma \(12\); cualquier otro par, como \(a=4,b=9\) o \(a=9,b=4\), da suma \(13>12\).
  7. \(R\) no es función (\(x=4\) da \(y=\pm2\)); la restricción \(y=\sqrt{x}\) (o, alternativamente, \(y=-\sqrt{x}\)) sí lo es, con dominio \([0,\infty)\) e imagen \([0,\infty)\) (respectivamente \((-\infty,0]\)).

Nivel 3 — indicaciones

  1. Elija \(\delta=2/M\) y verifique que \(0<x-3<\delta\) implica \(2/(x-3)>M\), siguiendo exactamente los pasos de la proposición del §2.4 §2.
  2. Evalúe \(f\) en \(x=-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2\); los valores sugieren crecimiento hasta cerca de \(x=-1\), decrecimiento hasta cerca de \(x=1\), y crecimiento después. Ninguna evaluación puntual localiza el extremo con precisión arbitraria, solo lo acota.
  3. Para la biyectividad, demuestre inyectividad y sobreyectividad de \(g\circ f\) por separado a partir de las de \(f\) y \(g\). Para la fórmula de la inversa, verifique que \((f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f)\) es la identidad, usando la definición de composición del §2.6 §2.
  4. Con \(x\) el lado perpendicular al muro: \(y=200-2x\), área \(A(x)=x(200-2x)\). El vértice da la dimensión óptima; verifique que ambos lados resultan positivos.
  5. La reflexividad y la simetría son casi inmediatas de la definición; la transitividad exige encadenar dos igualdades de dominio y dos igualdades puntuales para obtener las correspondientes a la tercera función.


Con estos problemas resueltos —o al menos intentados con seriedad, incluidos los del Nivel 3 que no siempre ceden al primer intento—, el lector está en condiciones de encarar el examen del capítulo, que evalúa, en condiciones de tiempo acotado, una muestra representativa de estos mismos tres niveles.