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Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas

2.11 — Problemas de Revisión

Los problemas que siguen no repiten los ejemplos resueltos en el capítulo: cada uno exige, en algún punto, una decisión que el lector debe tomar por sí mismo, sea qué técnica aplicar, en qué orden, o por qué una herramienta no alcanza. Están organizados en los tres niveles del checklist de competencias del §2.10. La referencia entre corchetes indica la sección donde se encuentran las herramientas necesarias; varios problemas exigen combinar más de una.

Usamos la notación del capítulo: \(\operatorname{Dom}(f)\) es el dominio de \(f\), \(\operatorname{Img}(f)\) su imagen y \(\operatorname{Gr}(f)\) su gráfica. Cuando una función se da solo por su fórmula, su dominio es el implícito y su codominio es \(\mathbb{R}\), según la convención del §2.2.


Nivel 1 — Mecánico y técnico

1. [§2.2] Determinar el dominio implícito de \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x+5}}{x^2-9}\).

2. [§2.1, §2.3] Sea \(f(x)=3x-1\), con dominio explícito \([0,4]\). Usando que \(f\) es creciente, hallar \(\operatorname{Img}(f)\).

3. [§2.3] Determinar si \(f(x)=x^4-3x^2\) es par, impar, o ninguna de las dos cosas.

4. [§2.4] Sin recalcular desde cero, indicar dominio, imagen y monotonía de \(f(x)=|x|\), apoyándose en el catálogo.

5. [§2.5] Describir en palabras la transformación que lleva de \(y=x^2\) a \(y=-3(x+2)^2-1\), identificando \(a\), \(h\), \(c\) y \(k\).

6. [§2.6] Dadas \(f(x)=x+2\) y \(g(x)=\sqrt{x}\), hallar \((f+g)(x)\), \((f\cdot g)(x)\) y el dominio de cada una.

7. [§2.6] Con las mismas \(f\) y \(g\) del problema anterior, hallar \((g\circ f)(x)\) y su dominio.

8. [§2.7] Determinar si \(f(x)=x^2+1\), con dominio \([0,\infty)\), es inyectiva, y en caso afirmativo hallar \(f^{-1}\).

9. [§2.8] Hallar el vértice de \(f(x)=-2x^2+8x-3\) y clasificarlo como máximo o mínimo absoluto.


Nivel 2 — Integración y demostración

1. [§2.2, §2.6] Sea \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-5}\). Calcular \(\operatorname{Dom}(h)\) directamente, y verificar el resultado escribiendo \(h\) como cociente de dos funciones conocidas y aplicando la regla del §2.6 para el dominio de un cociente.

2. [§2.3] Demostrar, con la definición de monotonía y sin apelar a la gráfica, que \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) es decreciente en \((0,\infty)\).

3. [§2.3, §2.5] Sea \(f(x)=x^2-4\) y sea \(g(x)=f(-x)\). Verificar, calculando \(g(x)\), que \(g = f\), y por lo tanto \(\operatorname{Gr}(g)=\operatorname{Gr}(f)\). Explicar qué resultado del §2.5 garantiza esto de antemano.

4. [§2.6] Sean \(f(x)=2x\) y \(g(x)=\sqrt{x-3}\). Calcular \(\operatorname{Dom}(g\circ f)\) y explicar, con la definición de composición del §2.6, por qué no basta con considerar \(\operatorname{Dom}(f)\).

5. [§2.7] Demostrar que \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}\) es inyectiva en su dominio, hallar su imagen, hallar \(f^{-1}\) y verificar la identidad \(f^{-1}(f(x))=x\).

6. [§2.8] Entre todos los pares de reales positivos cuyo producto es \(36\), hallar el par que minimiza la suma, usando la desigualdad AM-GM. Verificar el resultado evaluando la suma en al menos dos pares distintos que cumplan la restricción.

7. [§2.1, §2.3] Sea \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \mid y^2=x\}\). Determinar si \(R\) es una función de \([0,\infty)\) en \(\mathbb{R}\). Si no lo es, proponer un subconjunto de \(R\) que sí sea una función de \([0,\infty)\) en \(\mathbb{R}\), y hallar su imagen.


Nivel 3 — Desafío, aplicación y frontera

1. [§2.4] Formalizar y demostrar, con el mismo esquema de \(M\) y \(\delta\) del §2.4, que \(f(x)=\dfrac{2}{x-3}\) crece sin cota cuando \(x\to3^+\).

2. [§2.8] La función \(f(x)=x^3-3x\) es, según la nota de frontera del §2.8, un caso que ninguna de las herramientas de esa sección resuelve por completo. Evaluando \(f\) en una malla de puntos de \([-2,2]\), determinar con la mayor precisión posible en qué subintervalos parece crecer y en cuáles parece decrecer. Discutir por qué este método, aunque informativo, no puede garantizar la ubicación exacta de ningún extremo relativo.

3. [§2.6, §2.7] Sean \(f:A\to B\) y \(g:B\to C\) funciones biyectivas. Demostrar que \(g\circ f:A\to C\) es biyectiva y que \((g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}\).

4. [§1.6, §2.8] Un granjero dispone de \(200\) metros de alambre para cercar un corral rectangular, aprovechando un muro recto como uno de los cuatro lados, de modo que el alambre cubre solo los otros tres. Plantear el área como función de un solo lado, siguiendo el método de resolución de problemas del §1.6; hallar las dimensiones que maximizan el área con las herramientas del §2.8, y verificar el resultado en el contexto del problema.

5. [§2.1, §2.2] Una relación de equivalencia sobre un conjunto \(X\) es una relación \(\sim\) entre elementos de \(X\) que es reflexiva (\(u\sim u\) para todo \(u\)), simétrica (si \(u\sim v\), entonces \(v\sim u\)) y transitiva (si \(u\sim v\) y \(v\sim w\), entonces \(u\sim w\)). Demostrar que la igualdad de funciones definida en el §2.2, según la cual \(f:A\to B\) y \(g:C\to D\) son iguales cuando \(A=C\), \(B=D\) y \(f(x)=g(x)\) para todo \(x\in A\), es una relación de equivalencia sobre cualquier conjunto de funciones.


Clave de respuestas

Las respuestas de los niveles 1 y 2 se dan completas cuando el resultado es un valor o una expresión cerrada; cuando el problema pide una demostración, se indica el paso central. Las respuestas del nivel 3 son indicaciones y no soluciones, para no vaciar el desafío que cada problema propone.

Nivel 1

  1. Se necesita \(x+5\ge0\) y \(x^2-9\neq0\), es decir, \(x\ge-5\) y \(x\neq\pm3\): \(\operatorname{Dom}(f) = [-5,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)\).
  2. Como \(f\) es creciente, \(f(0)=-1\le f(x)\le f(4)=11\) para \(x\in[0,4]\); y todo \(y\in[-1,11]\) se alcanza en \(x=\frac{y+1}{3}\in[0,4]\). Luego \(\operatorname{Img}(f) = [-1,11]\).
  3. Par: \(f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)\) para todo \(x\in\mathbb{R}\).
  4. \(\operatorname{Dom}=\mathbb{R}\), \(\operatorname{Img}=[0,\infty)\); decreciente en \((-\infty,0]\) y creciente en \([0,\infty)\).
  5. \(a=1\), \(h=-2\), \(c=-3\), \(k=-1\): estiramiento vertical de factor \(3\) con reflexión respecto del eje \(x\), traslación de \(2\) unidades a la izquierda y de \(1\) unidad hacia abajo.
  6. \((f+g)(x) = x+2+\sqrt{x}\) y \((f\cdot g)(x) = (x+2)\sqrt{x}\), ambas con dominio \(\mathbb{R}\cap[0,\infty)=[0,\infty)\).
  7. \((g\circ f)(x) = \sqrt{x+2}\), con dominio \(\{x \mid x+2\ge0\}=[-2,\infty)\).
  8. Inyectiva, por ser creciente en \([0,\infty)\); su imagen es \([1,\infty)\) y \(f^{-1}(x) = \sqrt{x-1}\), con dominio \([1,\infty)\).
  9. Vértice en \(x=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2\), con \(f(2)=5\); máximo absoluto, pues \(-2<0\).

Nivel 2

  1. \(\operatorname{Dom}(h) = [2,5)\cup(5,\infty)\). Con \(u(x)=\sqrt{x-2}\) y \(v(x)=x-5\), la regla da \(\operatorname{Dom}(u)\cap\operatorname{Dom}(v)\) menos los ceros de \(v\): \([2,\infty)\setminus\{5\}\).
  2. Para \(0<x_1<x_2\): \(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0\), porque numerador y denominador son positivos; luego \(f(x_1)>f(x_2)\).
  3. \(g(x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)\), con el mismo dominio \(\mathbb{R}\). El §2.5 muestra que \(\operatorname{Gr}(g)\) es la reflexión de \(\operatorname{Gr}(f)\) respecto del eje \(y\), y una función par coincide con su reflejo.
  4. \((g\circ f)(x)=\sqrt{2x-3}\), y \(\operatorname{Dom}(g\circ f) = \{x\in\mathbb{R} \mid 2x\ge3\}=\left[\frac{3}{2},\infty\right)\), estrictamente contenido en \(\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\): la definición exige también \(f(x)\in\operatorname{Dom}(g)\).
  5. Si \(f(x_1)=f(x_2)\), multiplicar en cruz da \((2x_1+1)(x_2-3)=(2x_2+1)(x_1-3)\), que se reduce a \(7x_1=7x_2\). Despejando \(y=\frac{2x+1}{x-3}\) se obtiene \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), posible si y solo si \(y\neq2\); luego \(\operatorname{Img}(f)=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) y, como función de \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) en \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), \(f^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}\).
  6. Por AM-GM, \(a+b\ge2\sqrt{ab}=12\), con igualdad si y solo si \(a=b=6\). Por ejemplo, \(4+9=13>12\) y \(3+12=15>12\).
  7. No: \((4,2)\) y \((4,-2)\) están en \(R\), y falla la unicidad. El subconjunto \(\{(x,\sqrt{x}) \mid x\ge0\}\) es función, con imagen \([0,\infty)\); también lo es \(\{(x,-\sqrt{x}) \mid x\ge0\}\), con imagen \((-\infty,0]\).

Nivel 3 — indicaciones

  1. Dado \(M>0\), elegir \(\delta=\frac{2}{M}\): si \(0<x-3<\delta\), entonces \(\frac{2}{x-3}>\frac{2}{\delta}=M\).
  2. En \(x=-2;\ -1{,}5;\ -1;\ -0{,}5;\ 0;\ 0{,}5;\ 1;\ 1{,}5;\ 2\) se obtiene \(-2;\ 1{,}125;\ 2;\ 1{,}375;\ 0;\ -1{,}375;\ -2;\ -1{,}125;\ 2\). Los valores sugieren crecimiento hasta cerca de \(x=-1\), decrecimiento hasta cerca de \(x=1\) y crecimiento después. Una cantidad finita de evaluaciones no dice nada sobre lo que ocurre entre dos puntos de la malla: solo permite acotar dónde puede estar el extremo.
  3. Inyectividad: si \(g(f(x_1))=g(f(x_2))\), la inyectividad de \(g\) da \(f(x_1)=f(x_2)\), y la de \(f\) da \(x_1=x_2\). Sobreyectividad: dado \(z\in C\), existe \(y\in B\) con \(g(y)=z\) y existe \(x\in A\) con \(f(x)=y\). Para la inversa, usar la asociatividad del §2.6 y verificar que \((f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_A\) y \((g\circ f)\circ(f^{-1}\circ g^{-1})=\mathrm{id}_C\); la caracterización del §2.7 concluye.
  4. Con \(x\) el lado perpendicular al muro, el lado paralelo es \(200-2x\) y el área es \(A(x)=x(200-2x)=-2x^2+200x\), con \(0<x<100\). El vértice está en \(x=50\): el lado paralelo mide \(100\) m y el área máxima es \(5000\) m². Ambos lados son positivos y se usan exactamente \(50+50+100=200\) m de alambre.
  5. Reflexividad y simetría salen directamente de las propiedades de la igualdad de conjuntos y de números. Para la transitividad, si \(f=g\) y \(g=k\), encadenar las igualdades de dominios, las de codominios y, para cada \(x\) del dominio común, \(f(x)=g(x)=k(x)\).


Con estos problemas resueltos, o al menos intentados con seriedad, incluidos los del nivel 3 que no siempre ceden al primer intento, el lector está en condiciones de encarar el examen del capítulo, que evalúa, con tiempo acotado, una muestra de estos mismos tres niveles.