3.3 Números Complejos
3.3 — Números Complejos¶
Un sistema numérico no se descubre completo; se construye, axioma por axioma, hasta que responde la pregunta que el anterior no podía.
El §3.2 cerró con una pregunta sin resolver: ¿qué son las raíces que \(x^2+1\) no tiene en \(\mathbb{R}\)? El §1.3 ya había señalado el mismo fenómeno, desde otro ángulo, al declarar \(a^2+b^2\) irreducible sobre \(\mathbb{R}\), y el §1.2 lo había explicado desde su causa más profunda: ningún real elevado al cuadrado produce un resultado negativo. Tres secciones distintas, tres apariciones del mismo obstáculo. Resolverlo no consiste en forzar una excepción dentro de \(\mathbb{R}\), sino en construir, con el mismo rigor axiomático que erigió a \(\mathbb{R}\) en el §1.1, un sistema numérico estrictamente más grande donde el obstáculo desaparezca.
§1. Construcción: pares ordenados sobre \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\)¶
La construcción parte de un conjunto ya conocido —\(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\), los pares ordenados de reales— y lo dota de dos operaciones nuevas, elegidas no arbitrariamente sino para lograr un objetivo preciso, que se revelará en el §3.
Definición. El conjunto \(\mathbb{C}\) de los números complejos es \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) dotado de las operaciones
para todo \((a,b),(c,d)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\).
La suma es la suma coordenada a coordenada, tan natural que no exige comentario. El producto, en cambio, no es el producto coordenada a coordenada que un primer instinto sugeriría —\((ac,bd)\)—, sino esta combinación más elaborada. La razón de esa elección se pospone deliberadamente hasta el §3: por ahora, la definición se toma como dato, y el resto de esta sección verifica que, con ella, \(\mathbb{C}\) se comporta con toda la regularidad algebraica que \(\mathbb{R}\) ya exhibía.
Recordatorio. \(\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) como conjunto; lo que lo distingue es la operación de producto, \((a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\), deliberadamente distinta del producto coordenada a coordenada.
§2. La estructura de cuerpo¶
El §1.1 enunció, para \(\mathbb{R}\), cuatro leyes —conmutativa, asociativa, distributiva, y la existencia de neutros e inversos— sin darles, en su momento, un nombre colectivo. Ese nombre corresponde ahora: un conjunto dotado de dos operaciones que satisfacen esas cuatro leyes se llama un cuerpo. \(\mathbb{R}\) es, bajo esta definición, un cuerpo; el propósito de esta sección es demostrar que \(\mathbb{C}\) también lo es.
Definición. Un cuerpo es un conjunto \(F\) con dos operaciones \(+,\cdot\) tales que, para todo \(a,b,c\in F\):
- Clausura: \(a+b\in F\) y \(a\cdot b\in F\).
- Conmutatividad: \(a+b=b+a\) y \(a\cdot b=b\cdot a\).
- Asociatividad: \((a+b)+c=a+(b+c)\) y \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\).
- Distributividad: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\).
- Neutros: existen \(0,1\in F\), con \(0\neq1\), tales que \(a+0=a\) y \(a\cdot1=a\).
- Inversos: para todo \(a\in F\) existe \(-a\in F\) con \(a+(-a)=0\); para todo \(a\in F\) con \(a\neq0\) existe \(a^{-1}\in F\) con \(a\cdot a^{-1}=1\).
Teorema. \(\mathbb{C}\), con las operaciones del §1, es un cuerpo.
Demostración. La clausura es inmediata: ambas operaciones, aplicadas a pares de reales, devuelven pares de reales, porque suma, resta y producto son operaciones cerradas en \(\mathbb{R}\) —axioma ya establecido en el §1.1—.
La conmutatividad de \(+\) y la asociatividad de \(+\) se heredan directamente, coordenada a coordenada, de las mismas propiedades en \(\mathbb{R}\). Para el producto, la conmutatividad se verifica por cálculo directo:
donde el paso central usa únicamente la conmutatividad del producto y la suma en \(\mathbb{R}\).
Los neutros son \(0_{\mathbb{C}}=(0,0)\) y \(1_{\mathbb{C}}=(1,0)\): en efecto, \((a,b)+(0,0)=(a,b)\), y \((a,b)(1,0)=(a\cdot1-b\cdot0,\ a\cdot0+b\cdot1)=(a,b)\). El inverso aditivo de \((a,b)\) es \((-a,-b)\), por verificación inmediata coordenada a coordenada.
Queda el inverso multiplicativo, el único caso no trivial. Sea \((a,b)\neq(0,0)\), de modo que \(a^2+b^2>0\) —suma de un cuadrado no nulo con uno no negativo—. Propóngase
que está bien definido precisamente porque \(a^2+b^2\neq0\). Verificando:
donde la segunda coordenada se anula por un cálculo simétrico (\(\frac{-ab}{a^2+b^2}+\frac{ab}{a^2+b^2}=0\)) que se omite por ser análogo.
La asociatividad del producto y la distributividad se verifican por el mismo tipo de cálculo directo, expandiendo ambos lados de la igualdad en términos de las cuatro coordenadas involucradas y comprobando que coinciden término a término, vía las propiedades ya establecidas de \(\mathbb{R}\); se omiten aquí por ser mecánicos y no aportar ninguna idea nueva a las ya usadas en la verificación de la conmutatividad. \(\blacksquare\)
Es este teorema, y no una convención de notación, lo que legitima tratar a \(\mathbb{C}\) con las mismas reglas algebraicas —despejar, distribuir, cancelar— que ya rigen a \(\mathbb{R}\): ambos son cuerpos, y toda consecuencia de los axiomas de cuerpo demostrada de manera abstracta —como las propiedades de los signos del §1.1— vale, sin necesidad de una prueba nueva, en cualquier cuerpo, \(\mathbb{C}\) incluido.
Recordatorio. Un cuerpo es un conjunto con \(+,\cdot\) satisfaciendo clausura, conmutatividad, asociatividad, distributividad, neutros e inversos. \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\) son ambos cuerpos; \(\mathbb{C}\) no hereda sus propiedades algebraicas de \(\mathbb{R}\) por analogía, sino porque las satisface, una por una, de manera independiente.
§3. La unidad imaginaria y la notación \(a+bi\)¶
El teorema del §2 legitima la aritmética de \(\mathbb{C}\); falta todavía mostrar que esa aritmética logra lo que el §3.2 dejó pendiente, y explicar la notación \(a+bi\) que finalmente reemplazará a los pares ordenados.
Proposición. La aplicación \(\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\) dada por \(\varphi(a)=(a,0)\) es inyectiva y satisface \(\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)\) y \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\) para todo \(a,b\in\mathbb{R}\).
Demostración. La inyectividad es inmediata: \((a,0)=(a',0)\) exige \(a=a'\), por igualdad de pares ordenados. Para la suma, \(\varphi(a)+\varphi(b)=(a,0)+(b,0)=(a+b,0)=\varphi(a+b)\). Para el producto, \(\varphi(a)\varphi(b)=(a,0)(b,0)=(ab-0,\ 0+0)=(ab,0)=\varphi(ab)\). \(\blacksquare\)
Esta proposición permite identificar cada real \(a\) con el complejo \((a,0)\) sin ambigüedad ni pérdida de estructura: la suma y el producto de reales, vistos a través de \(\varphi\), son exactamente la suma y el producto en \(\mathbb{C}\) restringidos a la primera coordenada. En ese sentido preciso, \(\mathbb{R}\) es un subconjunto de \(\mathbb{C}\), no solo una copia parecida.
Definición. La unidad imaginaria es \(i:=(0,1)\in\mathbb{C}\).
Proposición. \(i^2=(-1,0)\).
Demostración. Por la definición del producto, \(i^2=(0,1)(0,1)=(0\cdot0-1\cdot1,\ 0\cdot1+1\cdot0)=(-1,0)\). \(\blacksquare\)
Identificando \((-1,0)\) con el real \(-1\) vía \(\varphi\), esta proposición dice exactamente \(i^2=-1\): la raíz que \(x^2+1=0\) no tenía en \(\mathbb{R}\) existe en \(\mathbb{C}\), y es \(i\) —junto con \(-i\), ya que \((-i)^2=i^2=-1\) también—. El obstáculo señalado en el §1.2, el §1.3 y el §3.2 queda, con esta única construcción, resuelto de una vez y para siempre.
Queda por justificar la notación estándar. Para \((a,b)\in\mathbb{C}\) arbitrario,
que, identificando \(\varphi(a)\) con \(a\) y \(\varphi(b)\) con \(b\), es precisamente \(a+bi\). De aquí en adelante, esta sección —y el resto del libro— escribe \(a+bi\) en lugar de \((a,b)\), con la garantía de que ambas notaciones designan exactamente el mismo objeto y obedecen exactamente la misma aritmética del §2.
Recordatorio. \(i=(0,1)\) satisface \(i^2=-1\). Todo complejo se escribe \(a+bi\) con \(a,b\in\mathbb{R}\), y esa escritura no es una conveniencia notacional sino una consecuencia demostrada de la construcción por pares.
§4. Conjugado y módulo¶
La fórmula del inverso multiplicativo, hallada en el §2 mediante cálculo directo sobre pares, tiene una lectura más transparente una vez disponible la notación \(a+bi\), y esa lectura introduce dos herramientas que el resto del capítulo usará con frecuencia.
Definición. El conjugado de \(z=a+bi\) es \(\bar{z}:=a-bi\). El módulo de \(z=a+bi\) es \(|z|:=\sqrt{a^2+b^2}\).
Proposición. Para todo \(z=a+bi\in\mathbb{C}\), \(z\bar{z}=|z|^2\).
Demostración. \(z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2=|z|^2\), usando \(i^2=-1\) del §3 y que \(-abi+abi=0\) por cancelación directa. \(\blacksquare\)
Esta identidad explica, retrospectivamente, la fórmula del inverso hallada en el §2: si \(z\neq0\), entonces \(z\bar{z}=|z|^2\neq0\) es un real positivo, y por lo tanto
exactamente la expresión ya demostrada, ahora obtenida sin manipular pares ordenados directamente, sino multiplicando y dividiendo por el conjugado —el mismo procedimiento que, aplicado sistemáticamente, permite dividir dos complejos cualesquiera: \(\dfrac{w}{z}=\dfrac{w\bar{z}}{z\bar{z}}=\dfrac{w\bar{z}}{|z|^2}\), reduciendo toda división a una multiplicación seguida de una división por un real.
Recordatorio. \(\bar{z}=a-bi\) y \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). La identidad \(z\bar{z}=|z|^2\) convierte cualquier división entre complejos en una multiplicación por el conjugado seguida de una división real.
\(\mathbb{C}\) queda construido, demostrado como cuerpo, y equipado con la aritmética —conjugado, módulo, división— que hará operable el resto del capítulo. Pero la pregunta que motivó esta sección se resolvió solo para un caso particular: \(x^2+1\) tiene raíces en \(\mathbb{C}\). ¿Ocurre lo mismo para todo polinomio, de cualquier grado? Esa es la pregunta, mucho más general, que abre la sección siguiente.