Capítulo 9 — Las Cónicas como Lugares Geométricos¶
9.3 — Suma y Diferencia de Distancias¶
Dos puntos fijos y un número: si se suman las distancias, la curva se cierra; si se restan, se abre en dos ramas que nunca se tocan.
El §9.1 §3 igualó las distancias de un punto a dos puntos fijos y obtuvo una recta. Esta sección conserva los dos puntos pero cambia la condición: en lugar de igualar las distancias, fija su suma o su diferencia. Las dos curvas que resultan, la elipse y la hipérbola, se estudian juntas porque sus deducciones son la misma cuenta con un signo cambiado. Las dos tienen un centro de simetría, que la parábola no tiene. En ambas, además, la deducción produce como subproducto las distancias de cada punto a los focos, y en esas fórmulas aparece un cociente, \(c/a\), que el §9.4 convertirá en la clave de la unidad de las tres cónicas.
§1. Los dos lugares y cuándo existen¶
Definición. Sean \(F_1\) y \(F_2\) dos puntos distintos del plano, a distancia \(2c\) uno del otro, y sea \(a>0\). La elipse de focos \(F_1\) y \(F_2\) y semieje \(a\) es el lugar
y la hipérbola de focos \(F_1\) y \(F_2\) y semieje \(a\) es el lugar
El punto medio del segmento \(F_1F_2\) se llama centro, y la recta que pasa por los focos, eje focal.
No todo valor de \(a\) produce una curva. La desigualdad triangular de la geometría euclidiana, que el libro toma como conocida desde el §1.10, afirma que para todo punto \(P\)
y que cada igualdad se da solo cuando \(P\) está alineado con los focos. Del lado derecho se sigue que la suma nunca es menor que \(2c\). Si \(a<c\), la elipse es vacía, y si \(a=c\), se reduce al segmento \(F_1F_2\). Del lado izquierdo se sigue que la diferencia nunca es mayor que \(2c\). Si \(a>c\), la hipérbola es vacía, y si \(a=c\), se reduce a las dos semirrectas del eje focal exteriores al segmento. El caso \(a=0\) tampoco es nuevo, porque \(|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=0\) es la condición de la mediatriz del §9.1 §3. Estos casos se llaman degenerados, y en lo que sigue se los excluye: la elipse se estudia con \(a>c\) y la hipérbola con \(0<a<c\).
En los dos casos no degenerados se define un tercer número, siempre positivo:
Como en el §9.2, se coloca el sistema de coordenadas del modo más favorable. El centro va al origen y el eje focal al eje \(x\), con los focos en \(F_1=(-c,0)\) y \(F_2=(c,0)\). Por el §9.1 §4 y el §9.2 §3, la traslación y el intercambio de coordenadas cubren después todos los casos con eje focal paralelo a un eje de coordenadas.
§2. La ecuación de la elipse¶
Para abreviar, se escribe \(r_1=d(P,F_1)\) y \(r_2=d(P,F_2)\), los radios focales del punto \(P=(x,y)\). Por el §1.8 §2,
y restando, los términos \(x^2\), \(y^2\) y \(c^2\) se cancelan:
Esta identidad, válida para todo punto del plano, es la herramienta de las dos deducciones. Permite eliminar las raíces cuadradas sin elevar dos veces al cuadrado, que es el camino habitual y el más propenso a introducir soluciones extrañas.
Proposición (ecuación canónica de la elipse). Con los focos en \((\pm c,0)\) y \(a>c\), la ecuación de la elipse es
Además, los radios focales de cada punto \((x,y)\) de la elipse son
Demostración. Supóngase primero que \(P=(x,y)\) pertenece a la elipse, es decir, que \(r_1+r_2=2a\). Dividiendo la identidad \(r_1^2-r_2^2=4cx\) por \(r_1+r_2=2a\) se obtiene \(r_1-r_2=\tfrac{2c}{a}x\). Sumando y restando esta igualdad con \(r_1+r_2=2a\) resultan las dos fórmulas de los radios focales. Elevando al cuadrado la primera,
y al desarrollar, el término \(2cx\) aparece en ambos miembros y se cancela, lo que deja \(x^2\left(1-\tfrac{c^2}{a^2}\right)+y^2=a^2-c^2\). Como \(a^2-c^2=b^2\), esto es \(\tfrac{b^2}{a^2}x^2+y^2=b^2\), y dividiendo por \(b^2>0\) se llega a la ecuación del enunciado.
Recíprocamente, supóngase que \((x,y)\) satisface la ecuación. Entonces \(y^2=b^2\left(1-\tfrac{x^2}{a^2}\right)\), y como \(y^2\geq 0\), necesariamente \(|x|\leq a\). Sustituyendo \(y^2\) y \(b^2=a^2-c^2\) en la expresión de \(r_1^2\),
y del mismo modo \(r_2^2=\left(a-\tfrac{c}{a}x\right)^2\). Aquí interviene la verificación de signo del §9.1 §2. Como \(|x|\leq a\) y \(0<c<a\), se tiene \(\left|\tfrac{c}{a}x\right|\leq c<a\), de modo que \(a+\tfrac{c}{a}x\) y \(a-\tfrac{c}{a}x\) son positivos. Por lo tanto \(r_1=a+\tfrac{c}{a}x\) y \(r_2=a-\tfrac{c}{a}x\), y su suma es \(2a\): el punto pertenece a la elipse. \(\blacksquare\)
La prueba recíproca no es un trámite. La ecuación \(r_1^2=\left(a+\tfrac{c}{a}x\right)^2\) admite en principio la solución \(r_1=-\left(a+\tfrac{c}{a}x\right)\), y es la acotación \(|x|\leq a\), leída en la propia ecuación, la que la descarta. Las fórmulas de los radios focales son, además, lineales en \(x\): la distancia a cada foco crece o decrece a razón constante \(c/a\) al desplazarse horizontalmente. El §9.4 mostrará que esa razón no es un accidente de la cuenta.
§3. Los elementos de la elipse¶
La ecuación canónica solo contiene \(x^2\) e \(y^2\), así que la elipse es simétrica respecto de ambos ejes y respecto del origen (§1.8 §5). El centro es su centro de simetría. Corta al eje \(x\) en \((\pm a,0)\) y al eje \(y\) en \((0,\pm b)\), cuatro puntos que se llaman vértices. El segmento entre \((-a,0)\) y \((a,0)\) es el eje mayor, de longitud \(2a\), y el segmento entre \((0,-b)\) y \((0,b)\) es el eje menor, de longitud \(2b\). Que el primero sea efectivamente mayor se sigue de \(b^2=a^2-c^2<a^2\). Como la ecuación exige \(|x|\leq a\) e \(|y|\leq b\), la elipse está contenida en el rectángulo que esos ejes determinan: es la única cónica acotada.
Los tres números \(a\), \(b\) y \(c\) admiten una lectura geométrica simultánea. En el vértice \(B=(0,b)\) los dos radios focales son iguales por simetría, y como suman \(2a\), cada uno vale \(a\). El triángulo de vértices \(B\), el centro y un foco es rectángulo, con catetos \(b\) y \(c\) e hipotenusa \(a\), y la relación \(a^2=b^2+c^2\) no es más que el teorema de Pitágoras en él. Esta lectura da también el procedimiento para dibujar la elipse que usan jardineros y carpinteros: se fija un hilo de longitud \(2a\) por sus extremos en los focos y se recorre con un lápiz manteniéndolo tenso. El lápiz traza exactamente la condición \(r_1+r_2=2a\).
Cuando \(c\) tiende a \(0\), los focos se acercan al centro, \(b\) se acerca a \(a\) y la elipse se parece cada vez más a una circunferencia. Con \(c=0\) la definición del §1 ya no se aplica, porque exige focos distintos, pero la ecuación \(\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{a^2}=1\) es la de la circunferencia de radio \(a\). La circunferencia es el caso límite de la elipse en que los dos focos se funden en el centro, y el §9.4 le asignará un lugar preciso dentro de la familia. Hay todavía otra relación entre ambas curvas. La correspondencia \((x,y)\mapsto\left(x,\tfrac{b}{a}y\right)\) transforma la circunferencia \(x^2+y^2=a^2\) en la elipse, porque si \((x,y)\) satisface la primera ecuación, entonces \((X,Y)=\left(x,\tfrac{b}{a}y\right)\) satisface \(\tfrac{X^2}{a^2}+\tfrac{Y^2}{b^2}=\tfrac{x^2+y^2}{a^2}=1\). La elipse es una circunferencia comprimida verticalmente, en el sentido exacto del escalamiento del §2.5.
Recordatorio. Elipse: \(\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1\), focos \((\pm c,0)\), \(a^2=b^2+c^2\), con \(a>b\) y \(a>c\). Radios focales: \(r_{1,2}=a\pm\tfrac{c}{a}x\).
§4. La ecuación de la hipérbola¶
Proposición (ecuación canónica de la hipérbola). Con los focos en \((\pm c,0)\) y \(0<a<c\), la ecuación de la hipérbola es
La hipérbola tiene dos ramas: la rama \(x\geq a\), formada por los puntos con \(r_1-r_2=2a\), y la rama \(x\leq -a\), formada por los puntos con \(r_1-r_2=-2a\).
Demostración. Supóngase que \(P=(x,y)\) pertenece a la hipérbola, es decir, \(r_1-r_2=2\varepsilon a\), con \(\varepsilon=1\) o \(\varepsilon=-1\). Dividiendo la identidad \(r_1^2-r_2^2=4cx\) por \(r_1-r_2=2\varepsilon a\) se obtiene \(r_1+r_2=\tfrac{2\varepsilon c}{a}x\). Sumando ambas igualdades, \(r_1=\varepsilon\left(a+\tfrac{c}{a}x\right)\), y por lo tanto, en cualquiera de los dos casos,
Es la misma igualdad que en la elipse, y la misma cuenta da \(x^2\left(1-\tfrac{c^2}{a^2}\right)+y^2=a^2-c^2\). Ahora \(a^2-c^2=-b^2\), de modo que \(-\tfrac{b^2}{a^2}x^2+y^2=-b^2\), y dividiendo por \(-b^2\) se obtiene la ecuación del enunciado.
Recíprocamente, si \((x,y)\) satisface la ecuación, entonces \(y^2=b^2\left(\tfrac{x^2}{a^2}-1\right)\), lo que exige \(|x|\geq a\). La misma sustitución que en el §2, ahora con \(b^2=c^2-a^2\), da
Como \(|x|\geq a\) y \(c>a\), se tiene \(\left|\tfrac{c}{a}x\right|\geq c>a\), así que los números \(\tfrac{c}{a}x+a\) y \(\tfrac{c}{a}x-a\) tienen ambos el signo de \(x\). Si \(x\geq a\), los dos son positivos, \(r_1=\tfrac{c}{a}x+a\), \(r_2=\tfrac{c}{a}x-a\), y \(r_1-r_2=2a\). Si \(x\leq-a\), los dos son negativos, \(r_1=-\tfrac{c}{a}x-a\), \(r_2=-\tfrac{c}{a}x+a\), y \(r_1-r_2=-2a\). En ambos casos \(|r_1-r_2|=2a\), y la prueba identifica además cada rama con el signo de la diferencia. \(\blacksquare\)
La hipérbola es, como la elipse, simétrica respecto de ambos ejes y del origen. Sus vértices son los dos puntos \((\pm a,0)\) en que corta al eje focal, y el segmento entre ellos, de longitud \(2a\), es el eje transverso. La hipérbola no corta al eje \(y\), ni tiene punto alguno en la franja \(|x|<a\). Las dos ramas están separadas por esa franja, y cada rama es el conjunto de puntos más cercanos a uno de los focos que al otro, por la diferencia fija \(2a\). Esta caracterización por diferencias de distancias tiene un uso técnico directo. Si dos emisoras sincronizadas envían una señal al mismo tiempo, la diferencia entre los instantes de llegada fija la diferencia de distancias del receptor a ambas, y ubica al receptor sobre una hipérbola. Dos pares de emisoras dan dos hipérbolas, y su intersección da la posición. Ese fue el principio de los sistemas de radionavegación anteriores al GPS.
§5. Las asíntotas de la hipérbola¶
Lejos del centro, cada rama de la hipérbola se aproxima a una recta. Para precisarlo se usa el formalismo \(\varepsilon\)–\(N\) del §2.4, que allí se aplicó a asíntotas horizontales y que se extiende sin cambios a una recta oblicua. Una recta \(y=mx+n\) es asíntota de la gráfica de \(f\) cuando \(x\to+\infty\) si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\) tal que \(|f(x)-(mx+n)|<\varepsilon\) para todo \(x>N\), es decir, si
Proposición. Las rectas \(y=\tfrac{b}{a}x\) e \(y=-\tfrac{b}{a}x\) son asíntotas de la hipérbola \(\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1\). Más precisamente, la porción de la hipérbola en el primer cuadrante es la gráfica de \(f(x)=\tfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\), \(x\geq a\), y para todo \(x>a\) se cumple
Demostración. Despejando \(y\geq 0\) en la ecuación canónica se obtiene \(y=\tfrac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\), lo que prueba la primera afirmación. Multiplicando y dividiendo por el conjugado, como en el §1.4,
El numerador es positivo, y el denominador es mayor o igual que \(x\), con igualdad solo en \(x=a\). Por lo tanto la diferencia es positiva y no supera \(\tfrac{ab}{x}\). En \(x=a\) el denominador vale \(a\) y la diferencia alcanza la cota, \(b\); para \(x>a\) la desigualdad es estricta. Dado \(\varepsilon>0\), basta tomar \(N=\max\left\{a,\tfrac{ab}{\varepsilon}\right\}\): para \(x>N\) se tiene \(0<\tfrac{b}{a}x-f(x)<\tfrac{ab}{x}<\varepsilon\). Las otras tres porciones de la hipérbola se obtienen de esta por las simetrías respecto de los ejes, que transforman la recta \(y=\tfrac{b}{a}x\) en sí misma o en \(y=-\tfrac{b}{a}x\). \(\blacksquare\)
La desigualdad dice más que el límite. La rama queda siempre por debajo de su asíntota en el primer cuadrante, sin tocarla nunca, y la separación vertical decrece al menos como \(\tfrac{ab}{x}\). Como la distancia de un punto a una recta no supera su distancia vertical a ella, la curva y la asíntota también se acercan en el sentido de la distancia del §9.2 §1.
Las asíntotas se dibujan sin cálculo como las diagonales del rectángulo \(|x|\leq a\), \(|y|\leq b\), que se llama rectángulo fundamental. La mitad de su diagonal mide \(\sqrt{a^2+b^2}=c\), de modo que los focos están sobre la circunferencia que pasa por los vértices del rectángulo. Esa es la lectura geométrica de \(c^2=a^2+b^2\), la relación que en la hipérbola reemplaza a la \(a^2=b^2+c^2\) de la elipse. Cuando \(a=b\), las asíntotas son las rectas \(y=\pm x\), perpendiculares entre sí, y la hipérbola se llama equilátera. La gráfica de \(y=\tfrac{1}{x}\), que figura en el catálogo del §2.4 con las asíntotas \(x=0\) e \(y=0\), tiene también dos ramas y dos asíntotas perpendiculares. El §9.6 probará que es una hipérbola equilátera, girada un ángulo de \(\tfrac{\pi}{4}\) respecto de la posición canónica.
Recordatorio. Hipérbola: \(\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1\), focos \((\pm c,0)\), \(c^2=a^2+b^2\), asíntotas \(y=\pm\tfrac{b}{a}x\), diagonales del rectángulo fundamental. En la elipse el mayor es \(a\); en la hipérbola, \(c\).
§6. Orientación, traslación y ejemplos¶
El intercambio de coordenadas del §9.2 §3 conserva las distancias y lleva los focos \((\pm c,0)\) a \((0,\pm c)\). Por lo tanto, las cónicas con eje focal vertical tienen las ecuaciones
donde \(a\) sigue siendo el semieje sobre el eje focal. En la elipse, el eje mayor se reconoce porque lleva el denominador más grande. En la hipérbola, el eje transverso se reconoce porque lleva el término positivo, independientemente del tamaño de los denominadores. Si el centro está en \((h,k)\), la proposición del §9.1 §4 reemplaza \(x\) por \(x-h\) e \(y\) por \(y-k\), y desplaza focos, vértices y asíntotas en la misma medida.
Ejemplo. El lugar de los puntos cuya suma de distancias a \((-4,0)\) y \((4,0)\) vale \(10\) es una elipse con \(c=4\) y \(a=5\). Entonces \(b=\sqrt{25-16}=3\), y su ecuación es \(\tfrac{x^2}{25}+\tfrac{y^2}{9}=1\). El punto \((3,\tfrac{12}{5})\) la satisface, y sus radios focales son \(5\pm\tfrac{4}{5}\cdot 3\), es decir, \(\tfrac{37}{5}\) y \(\tfrac{13}{5}\), que suman \(10\).
Ejemplo. Una elipse tiene focos en \((1,-2)\) y \((1,4)\) y eje mayor de longitud \(10\). El eje focal es vertical, el centro es el punto medio \((1,1)\), \(c=3\) y \(a=5\), de modo que \(b=4\). En el sistema trasladado al centro, su ecuación es \(\tfrac{x'^2}{16}+\tfrac{y'^2}{25}=1\), y en el original,
Ejemplo. El lugar de los puntos cuyas distancias a \((-5,0)\) y \((5,0)\) difieren en \(6\) es una hipérbola con \(c=5\) y \(a=3\). Entonces \(b=\sqrt{25-9}=4\), su ecuación es \(\tfrac{x^2}{9}-\tfrac{y^2}{16}=1\) y sus asíntotas son \(y=\pm\tfrac{4}{3}x\). El vértice \((3,0)\) dista \(8\) de \((-5,0)\) y \(2\) de \((5,0)\), y la diferencia es, en efecto, \(6\).
Las tres cónicas se definieron por tres condiciones distintas: una distancia a un punto igual a una distancia a una recta, y la suma o la diferencia de dos distancias a puntos. Los radios focales, lineales en \(x\) con la misma razón \(c/a\), sugieren que detrás de esa diversidad hay una sola condición. La sección siguiente la encuentra.