Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶

1.9 — Calculadoras Graficadoras y Computadoras¶

Una gráfica no demuestra nada; sugiere qué demostrar.

Esta sección es distinta de las anteriores. No introduce una técnica algebraica nueva, sino que reflexiona sobre el lugar que ocupa, y el que no ocupa, la tecnología en el trabajo hecho hasta aquí. Todo lo desarrollado en este capítulo, de la factorización del §1.3 a la circunferencia del §1.8, puede visualizarse con una calculadora graficadora o con software matemático, y esa visualización es útil de verdad. Pero lo es como complemento del razonamiento, no como reemplazo. Conviene explicar esa diferencia ahora, antes de que el libro empiece a apoyarse en gráficas con la frecuencia con que lo hará en los capítulos siguientes.

§1. Qué puede hacer una gráfica por el álgebra¶

Una gráfica da dos cosas que el álgebra sola no da con la misma inmediatez: una imagen de conjunto del comportamiento de una expresión y una manera rápida de controlar un cálculo ya hecho. Graficar la ecuación \(y = x^2 - x - 6\) es dibujar la curva del §1.8 formada por los puntos \((x, y)\) que la satisfacen. Si con el análisis de signos del §1.7 obtuvimos que \(x^2 - x - 6 > 0\) exactamente en \((-\infty, -2) \cup (3, \infty)\), la gráfica tiene que quedar por encima del eje \(x\) justo en esos intervalos. Mirar si eso ocurre es un control casi inmediato, y si no coincide con lo calculado, es una señal clara de que hay que revisar las cuentas.

La relación funciona en los dos sentidos. Así como el álgebra predice la forma de la gráfica, la gráfica puede sugerir qué buscar con el álgebra: por ejemplo, cuántas soluciones reales parece tener una ecuación y cerca de dónde están, antes de hallarlas con exactitud con los métodos del §1.5.

§2. Qué no puede hacer¶

Una gráfica muestra una ventana finita del plano, y lo que queda fuera de la ventana no aparece, aunque exista. Una parte de la curva que se aleja hacia valores muy grandes, una solución situada lejos del origen o dos trazos que la escala elegida hace ver como uno solo son errores de interpretación frecuentes. La máquina no los comete; los induce su uso apresurado.

Más importante: una gráfica no es una demostración. Comparemos \(y = x^2 - 2x + 1\) con \(y = x^2 - 2x + 1{,}0001\). En casi cualquier pantalla las dos curvas se ven iguales, y las dos parecen tocar el eje \(x\) en \(x = 1\). Pero el discriminante de la primera es \(4 - 4 = 0\) y el de la segunda es \(4 - 4 \cdot 1{,}0001 = -0{,}0004\). Por el §1.5, la primera ecuación \(x^2 - 2x + 1 = 0\) tiene exactamente una solución, y la segunda ninguna: la segunda curva no toca el eje en ningún punto. La diferencia es real y la decide el álgebra; la pantalla no tiene resolución suficiente para mostrarla. Del mismo modo, que dos curvas parezcan no cruzarse no descarta que se crucen en puntos demasiado cercanos para distinguirlos.

A esto se suma un límite de los números mismos. Una calculadora trabaja con una cantidad finita de cifras, de modo que un número irracional como \(\sqrt{2}\), que por el §1.1 tiene una expansión decimal infinita y no periódica, solo puede aparecer redondeado. Si un cálculo numérico da \(0{,}0000000001\), la máquina no puede decidir si el resultado exacto es ese número o es \(0\) y la diferencia viene del redondeo. Esa pregunta, de nuevo, la contesta el álgebra.

Recordatorio. Una gráfica sugiere y controla; el álgebra demuestra. Ningún resultado de este libro se da por establecido porque "se ve" en una gráfica o porque una calculadora devuelve cierto número, sino porque se deduce de los axiomas y las definiciones ya fijados.

§3. Uso razonado de la tecnología¶

Cuando el libro sugiera visualizar una expresión o una ecuación, esa sugerencia debe leerse como un complemento de la resolución algebraica. Elegir la ventana de la gráfica de modo que muestre lo importante, como las soluciones, los valores más altos o más bajos, o lo que ocurre cuando la variable crece o decrece sin cota, es en sí un ejercicio que exige haber anticipado con el álgebra, aunque sea de manera aproximada, qué se espera encontrar. Una calculadora no elige sola la ventana correcta.

También existe software que manipula expresiones de manera exacta y no con decimales redondeados: factoriza, simplifica y resuelve ecuaciones con símbolos. Es una ayuda valiosa, pero su respuesta también hay que leerla con los criterios de este capítulo. Un programa así puede simplificar \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\) a \(x + 1\) sin avisar que la igualdad solo vale para \(x \neq 1\), que es exactamente la advertencia del §1.4. La máquina ejecuta las reglas; las condiciones bajo las cuales esas reglas valen siguen siendo responsabilidad de quien la usa.

Recordatorio. La ventana de una gráfica se elige sabiendo qué se busca, y una simplificación hecha por software se revisa con las condiciones de dominio del §1.4.

Con esta salvedad metodológica hecha, el capítulo retoma el desarrollo algebraico con el objeto geométrico más simple del plano después del punto: la recta, tema de la sección siguiente.