Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

2.9 — De la Cantidad al Cambio: la Función como Objeto del Pensamiento Dinámico¶

Un concepto no nace definido: se define, siglos después, para poder seguir hablando de lo que ya se venía usando sin nombre.

Mucho antes de que existiera una definición de función, existía la necesidad de predecir. En los últimos siglos antes de nuestra era, los astrónomos babilonios calculaban tablas de posiciones de la Luna y de los planetas en columnas de números que seguían patrones regulares: a cada fecha, una posición; de cada posición, la siguiente, obtenida sumando diferencias que crecían y decrecían según reglas aritméticas fijas. No había allí ni variable ni fórmula en el sentido moderno, que tardarían todavía muchos siglos en aparecer, y sin embargo había una correspondencia: a cada momento, un único estado del cielo. La función, en su forma más antigua, no fue una definición sino una práctica: la de tabular, con paciencia astronómica, qué le sigue a qué. Cabe preguntarse si esa correspondencia tabulada merece ya llamarse función, o si hace falta algo más, una regla y no solo una lista, para que el nombre se justifique.

Ese algo más llegó primero de la física y no del álgebra. Hacia 1350, Nicolás Oresme propuso representar cómo varía una cualidad, como la velocidad de un cuerpo en movimiento, a lo largo del tiempo. Lo llamó la latitud de las formas: un segmento horizontal representaba el tiempo, y sobre cada punto de ese segmento se levantaba un segmento vertical cuya altura era la intensidad de la cualidad en ese instante. Los extremos superiores de esos segmentos trazaban una figura; para un movimiento uniformemente acelerado, la figura era un triángulo. Y de la figura podía extraerse información: Oresme identificó su área con la distancia recorrida, sin el vocabulario algebraico para decirlo con precisión. Es, en esencia, la idea que sostiene la gráfica de una función tal como la definimos en este capítulo, un conjunto de pares, uno por cada instante, casi tres siglos antes de que el plano cartesiano le diera coordenadas numéricas. Oresme no tenía ecuaciones; tenía algo quizás más fundamental: la convicción de que el cambio mismo, y no solo la cantidad, podía representarse y medirse. ¿Es la gráfica anterior a la función que representa, o es la función, como sostuvimos al definirla, la que siempre estuvo lógicamente primero, y la gráfica solo la hizo visible?

La síntesis algebraica llegó con Descartes y Fermat en el siglo XVII, cuya geometría analítica, estudiada en el §1.8, disolvió la distinción entre curva y ecuación: una circunferencia y la ecuación \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) pasaron a ser la misma cosa vista desde dos lenguajes. A fines de ese siglo, Leibniz introdujo la palabra misma, functio, para cantidades que dependen de un punto que recorre una curva. Y en el siglo XVIII, Euler le dio su primera definición duradera: una función era una expresión analítica, una fórmula construida con variables y constantes mediante las operaciones del álgebra y del cálculo de su tiempo. Desde esta mirada, \(x^2\) era una función porque había una fórmula que la producía, y lo que no admitiera fórmula quedaba fuera de la categoría. Fue una definición fecunda, sobre la que se desarrolló buena parte del cálculo de los siglos XVIII y XIX, y a la vez restrictiva de un modo que sus propios practicantes tardaron en advertir.

La grieta apareció con las series trigonométricas, en particular con el trabajo de Fourier sobre la propagación del calor a comienzos del siglo XIX. Fourier sostuvo que funciones de aspecto muy irregular, incluso definidas por tramos completamente distintos, podían representarse como sumas infinitas de senos y cosenos, y convenció de ello a buena parte de sus contemporáneos. La pregunta era inevitable: ¿qué es una función, si un objeto tan poco parecido a una expresión analítica en el sentido de Euler podía comportarse como una? La respuesta de Dirichlet no fue defender la definición de Euler sino abandonarla. En 1837 propuso que una función es cualquier correspondencia que asigne a cada valor de una variable un único valor de otra, sin importar si admite o no una fórmula. Ya en 1829 había dado un ejemplo que mostraba hasta dónde llegaba esa generalidad: la función que vale \(1\) en cada número racional y \(0\) en cada irracional. No se puede dibujar, no se parece a ninguna fórmula algebraica razonable, y sin embargo cumple, punto por punto, la existencia y la unicidad que este capítulo tomó como definición. La función de Dirichlet no fue un capricho: fue un experimento mental diseñado para separar la esencia del concepto, la correspondencia unívoca, de todo lo que hasta entonces parecía inseparable de ella, la fórmula, la ausencia de saltos, la posibilidad de trazarla con un movimiento continuo de la mano.

Quedaba un último paso, que se dio entre fines del siglo XIX y mediados del XX, con la teoría de conjuntos de Cantor y la obra de Peano, de Hausdorff y, más tarde, del grupo de matemáticos que firmaba con el seudónimo colectivo de Bourbaki. Si una función es cualquier correspondencia unívoca, y una correspondencia no es otra cosa que un conjunto de pares, entonces la función podía, y para la escuela formalista debía, definirse enteramente en el lenguaje de los conjuntos: como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos, sujeto a la existencia y la unicidad, y acompañado de los conjuntos de partida y de llegada. Es la definición con la que abrió este capítulo, incluida la convención del §2.1 de que el codominio forma parte de la función. Lo notable de este paso no es solo su rigor sino su economía: no hizo falta inventar ningún objeto nuevo. Bastó con lo que ya existía, conjuntos, pares ordenados y pertenencia, y con una condición precisa sobre cómo combinarlos. La función, que había empezado como una tabla astronómica sin nombre, terminó siendo, más de dos mil años después, un caso particular de la noción más elemental de la matemática moderna: el conjunto.

Este recorrido, de la tabla a la curva, de la curva a la fórmula, de la fórmula a la correspondencia arbitraria y de la correspondencia al conjunto, no es una sucesión de refinamientos técnicos en la que cada etapa corrige un descuido de la anterior. Es la historia de una idea que se resistió, en cada etapa, a quedar capturada por el lenguaje disponible: los babilonios tenían la correspondencia sin la regla; Euler tenía la regla sin la generalidad; Dirichlet tenía la generalidad sin el lenguaje de los conjuntos que la fundamentara. Cabe preguntarse si la definición conjuntista con la que empezó este capítulo es realmente el punto final de esa historia, o si es, como cada una de las anteriores en su momento, la más precisa disponible hasta que una nueva clase de objetos, como las series de Fourier en su tiempo, obligue a estirar el concepto una vez más.

Queda, para cerrar, una pregunta que ya apareció al final del §2.1 y que este recorrido no hace más que profundizar. La exigencia de unicidad, que a cada causa le corresponda un único efecto, es la condición que separa a una función de una relación cualquiera. Pero esa exigencia, ¿describe algo que la naturaleza ya poseía, y que Dirichlet y sus sucesores lograron nombrar con precisión después de más de veinte siglos de intentos parciales? ¿O es una decisión, tan artificial y tan fértil como cualquier otro axioma de este libro, que la matemática impone sobre el mundo para poder empezar a calcular sobre él?