Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

De la Cantidad al Cambio: la Función como Objeto del Pensamiento Dinámico¶

Un concepto no nace definido: se define, siglos después, para poder seguir hablando de lo que ya se venía usando sin nombre.

Mucho antes de que existiera una definición de función, existía la necesidad de predecir. Las tablillas cuneiformes de los escribas babilónicos, más de mil años antes de nuestra era, registraban posiciones planetarias, fases lunares y eclipses en columnas de números organizadas según un patrón que se repetía con la regularidad del cielo mismo: a cada fecha, una posición; a cada posición, la siguiente, calculada por diferencias sucesivas sin que mediara ecuación alguna. No había allí ni variable ni fórmula en el sentido moderno —esos instrumentos tardarían todavía más de dos mil años en existir—, y sin embargo había, sin lugar a dudas, una correspondencia: a cada momento del tiempo, un único estado del cielo. La función, en su forma más primitiva, no fue una definición sino una práctica: la de tabular, con paciencia astronómica, qué le sigue a qué. Cabe preguntarse si esa correspondencia tabulada, sin símbolo ni regla explícita que la sostuviera, merece ya llamarse función, o si hace falta algo más —una regla, no solo una lista— para que el nombre se justifique.

Ese "algo más" tardó en llegar, y llegó primero no del álgebra sino de la física. En el siglo XIV, Nicolás Oresme propuso representar gráficamente cómo varía una cualidad —la velocidad de un cuerpo en movimiento, por ejemplo— a lo largo del tiempo, mediante lo que llamó la latitud de las formas: un segmento horizontal representaba el tiempo transcurrido, y sobre cada punto de ese segmento se erigía un segmento vertical cuya altura representaba la intensidad de la cualidad en ese instante. El conjunto de los extremos superiores de esos segmentos verticales trazaba una figura —una curva, en el caso de un movimiento uniformemente acelerado, resultaba ser un triángulo—, y de esa figura podía extraerse información, como el área bajo ella, que Oresme identificó, sin poseer todavía el vocabulario para decirlo con precisión algebraica, con la distancia total recorrida. Es, en esencia, la misma idea que sostiene la gráfica de una función tal como se la definió en este capítulo —un conjunto de pares, uno por cada instante—, apenas dos siglos antes de que existiera el plano cartesiano que le daría, finalmente, coordenadas numéricas. Oresme no tenía ecuaciones; tenía, en cambio, algo quizás más fundamental: la convicción de que el cambio mismo, no solo la cantidad estática, podía representarse y medirse. ¿Es la gráfica, entonces, anterior a la función que representa, o es la función la que —como se argumentó al definirla en este capítulo— siempre estuvo lógicamente primero, y la gráfica solo la hizo visible?

La síntesis algebraica llegaría con Descartes, cuya geometría analítica —ya estudiada en el §1.8 de este libro— disolvió la distinción entre curva geométrica y ecuación algebraica: una circunferencia y \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) pasaron a ser, literalmente, la misma cosa vista desde dos lenguajes distintos. Pero fue Leibniz, a fines del siglo XVII, quien introdujo la palabra misma —functio— para referirse a una cantidad que depende de otra a través de una curva; y fue Euler, en el siglo XVIII, quien le dio a esa palabra su primera definición operativa y duradera: una función era, para Euler, una expresión analítica —una fórmula, construida a partir de variables y constantes mediante las operaciones del álgebra y del cálculo entonces disponible—. Bajo esta mirada, \(f(x)=x^2\) era una función porque existía una fórmula que la producía; lo que no admitiera fórmula, sencillamente, quedaba fuera de la categoría. Fue una definición fecunda —bajo ella se desarrolló buena parte del cálculo diferencial e integral de los siglos XVIII y XIX— y, a la vez, restrictiva de un modo que sus propios practicantes tardarían en advertir del todo.

La grieta apareció con el estudio de las series trigonométricas, y en particular con el trabajo de Fourier sobre la propagación del calor, a comienzos del siglo XIX. Fourier demostró —o al menos convenció a buena parte de sus contemporáneos— que funciones de aspecto muy irregular, incluso definidas por tramos completamente distintos entre sí, podían representarse mediante una suma infinita de senos y cosenos. La pregunta que esto planteaba no era menor: ¿qué es, entonces, una función, si un objeto tan poco parecido a una "expresión analítica" en el sentido de Euler podía, sin embargo, comportarse como una? Fue Dirichlet, hacia 1837, quien resolvió la tensión no defendiendo la definición de Euler sino abandonándola: propuso que una función es, simplemente, cualquier correspondencia que asigne a cada valor de una variable un único valor de otra, sin importar si esa correspondencia admite o no una fórmula que la exprese. Para probar que la generalidad de su definición no era un exceso retórico, propuso un ejemplo deliberadamente patológico —una función que vale \(1\) en todo número racional y \(0\) en todo irracional—, un objeto que no puede dibujarse, que no admite ninguna fórmula algebraica razonable, y que sin embargo satisface, punto por punto, la condición de existencia y unicidad que este capítulo tomó como definitoria. La función de Dirichlet no fue un capricho: fue un experimento mental diseñado, con precisión quirúrgica, para separar la esencia del concepto —la correspondencia unívoca— de todo lo que hasta entonces se había considerado inseparable de ella —la fórmula, la continuidad, la posibilidad de graficarla con un trazo continuo—.

Quedaba, sin embargo, un último paso, y le correspondió darlo a Cantor y, más tarde, a la escuela formalista reunida bajo el seudónimo colectivo de Bourbaki en el siglo XX. Si una función es cualquier correspondencia unívoca, y una correspondencia no es otra cosa que un conjunto de pares relacionados, entonces la función misma podía —y, para la escuela formalista, debía— definirse enteramente en el lenguaje de la teoría de conjuntos: como un subconjunto particular del producto cartesiano de dos conjuntos, sujeto a la condición de existencia y unicidad. Es, exactamente, la definición con la que abrió este capítulo. Lo notable de este cierre histórico no es solo su rigor, sino su economía: no hizo falta inventar ningún objeto nuevo para fundamentar la función. Bastó con lo que ya existía —conjuntos, pares ordenados, pertenencia— y con una condición precisa sobre cómo debían combinarse. La función, que había comenzado como una tabla astronómica sin nombre, terminó siendo, dos mil quinientos años después, un caso particular de la noción más elemental de toda la matemática moderna: el conjunto.

Este recorrido —de la tabla a la curva, de la curva a la fórmula, de la fórmula a la correspondencia arbitraria, y de la correspondencia arbitraria al conjunto— no es una simple sucesión de refinamientos técnicos, cada uno corrigiendo un descuido del anterior. Es, más bien, la historia de una idea que se resistió, en cada etapa, a quedar completamente capturada por el lenguaje disponible en su momento: los babilonios tenían la correspondencia sin la regla; Euler tenía la regla sin la generalidad; Dirichlet tenía la generalidad sin todavía el lenguaje conjuntista que la fundamentara con precisión. Cabe preguntarse, entonces, si la definición conjuntista con la que este capítulo comenzó es realmente el punto final de esa historia, o si es, como cada una de las anteriores en su momento, simplemente la más precisa disponible hasta que una nueva clase de objeto —tal como ocurrió con las series de Fourier en su momento— vuelva a exigir que el concepto se estire una vez más.

Queda, para cerrar, una pregunta que ya rozó el final del §2.1 y que este recorrido histórico no hace más que profundizar. La exigencia de unicidad —que a cada causa corresponda un único efecto— es la condición que separa, en este capítulo, a una función de una relación cualquiera. Pero esa exigencia, ¿describe algo que la naturaleza ya poseía, y que Dirichlet y Cantor simplemente lograron nombrar con precisión después de veinticinco siglos de intentos parciales? ¿O es, en cambio, una decisión —tan artificial y tan fértil como cualquier otro axioma de este libro— que la matemática impone sobre el mundo para poder, precisamente, empezar a calcular sobre él?