Capítulo 8 - Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades¶

Hasta aquí, casi toda ecuación del libro tenía una incógnita, y resolverla era encontrar el número, o los números, que la satisfacen. Los problemas que las ciencias plantean rara vez son así: una magnitud depende de varias, varias condiciones deben cumplirse a la vez, y la pregunta es qué valores de todas las incógnitas las satisfacen simultáneamente. Ese es el objeto del capítulo: los sistemas. Y la pregunta que cambia con ellos no es solo cómo resolverlos, sino cuántas soluciones puede tener uno, y cómo saberlo sin calcularlas.

La respuesta que el capítulo construye tiene dos caras. Una es un algoritmo, la eliminación de Gauss, que reduce cualquier sistema lineal a otro equivalente que se lee a simple vista, y que además prueba que la cantidad de soluciones es siempre cero, una o infinitas. La otra es una herramienta, las matrices, que empaquetan la información de un sistema en una tabla y muestran que el producto de tablas es la composición de transformaciones del plano: la trigonometría del capítulo anterior, con las rotaciones \(R_\varphi R_\psi=R_{\varphi+\psi}\), reaparece aquí como el primer ejemplo. Alrededor de esas dos caras se organizan los determinantes, que deciden en un solo número si un sistema cuadrado tiene solución única, y los sistemas de desigualdades, donde las soluciones ya no son puntos sino regiones y el problema pasa de resolver a optimizar.

Contenido del capítulo¶

8.1 Sistemas de Ecuaciones: Conjunto solución de un sistema; equivalencia de sistemas y las operaciones que la preservan; sustitución y eliminación justificadas; sistemas no lineales.
8.2 Pares de Rectas: Las tres posiciones relativas de dos rectas, deducidas del sistema de dos ecuaciones lineales, y su lectura con pendientes y vectores normales.
8.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales: Eliminación de Gauss, forma escalonada, la tricotomía de solución única, ninguna o infinitas, y los sistemas de tres variables con su interpretación geométrica con planos.
8.4 Álgebra de Matrices: Suma, producto por escalar y producto matricial; asociatividad; no conmutatividad; el producto como composición de transformaciones lineales del plano, con las matrices de rotación.
8.5 Inversas de Matrices y Ecuaciones Matriciales: Inversa y su unicidad; criterio de invertibilidad; cálculo en órdenes 2 y 3; resolución de \(AX=B\).
8.6 Determinantes y Regla de Cramer: Determinantes de órdenes 2 y 3, invertibilidad, regla de Cramer, multiplicatividad en orden 2, y el determinante como área orientada.
8.7 Sistemas de Desigualdades: Semiplanos, convexidad, regiones factibles, vértices y el teorema fundamental de la programación lineal en el plano.
8.8 Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas: De los Nueve capítulos chinos y Gauss a Cayley y Heisenberg; el paso de resolver ecuaciones a estudiar estructuras; y Kantorovich y Dantzig.

"Resolver un sistema es preguntar qué queda en pie cuando varias condiciones deben cumplirse a la vez; y la respuesta, casi siempre, es un punto, una recta, un plano, o nada."