Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶

El capítulo anterior extendió el universo de valores sobre el que operan las funciones: de \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{C}\), para que todo polinomio tuviera tantas raíces como su grado indica. Este capítulo extiende, en cambio, el universo de exponentes de una operación ya conocida: la potenciación \(a^r\), construida en el §1.2 solo para \(r\in\mathbb{Q}\), se extiende ahora a todo \(x\in\mathbb{R}\). El instrumento que permite ese paso no es, esta vez, un nuevo conjunto de números, sino una propiedad que \(\mathbb{R}\) ya poseía desde el §1.1: la completitud, expresada mediante el axioma del supremo.

De esa extensión nace la función exponencial, y de su inversión —una vez establecida su inyectividad, como se hizo con las funciones del §2.7— nace la función logarítmica. Ambas resultan indispensables para modelar fenómenos en los que la tasa de cambio es proporcional a la cantidad misma: poblaciones, desintegración radiactiva, interés compuesto, intensidad sonora. Ningún polinomio, por alto que sea su grado, puede capturar ese comportamiento; hace falta una función genuinamente distinta.

Contenido del capítulo¶

4.1 Funciones Exponenciales: Restricción de la base a \(a>0,\ a\neq 1\), y construcción rigurosa de \(f(x)=a^x\) para \(x\in\mathbb{R}\) mediante el axioma del supremo, con demostración de existencia y unicidad para ambos regímenes, \(a>1\) y \(0<a<1\).
4.2 La Función Exponencial Natural: El número \(e\) como cota superior mínima de una sucesión creciente y acotada de racionales, y la función \(f(x)=e^x\) como caso distinguido de la familia exponencial.
4.3 Funciones Logarítmicas: La inyectividad de \(a^x\) como garantía de invertibilidad, definición de \(\log_a x\) como su inversa, dominio, recorrido y gráfica.
4.4 Leyes de los Logaritmos: Traducción de las propiedades algebraicas de la potenciación —producto, cociente, potencia de potencia— al lenguaje logarítmico, y la fórmula de cambio de base.
4.5 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas: Resolución mediante inyectividad y mediante las leyes del §4.4, con atención a las restricciones de dominio que cada método introduce.
4.6 Aplicaciones de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Modelos de crecimiento y decaimiento, interés compuesto, escalas logarítmicas, y el papel de \(e\) en el crecimiento continuo.
4.7 Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas: Tres siglos de uso informal de la exponencial antes de su fundamentación, la herramienta que antecede al fundamento como patrón recurrente, la entropía de Boltzmann y de Shannon, y el cierre definitivo de la pregunta sobre la tasa de cambio.

"Donde el polinomio describe lo que se acumula por adición, la exponencial describe lo que se acumula por proporción — y esa diferencia, aparentemente menor, separa dos regímenes completos del cambio."