Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶

7.1 - Identidades Trigonométricas¶

Una identidad no es una ecuación que se resuelve: es una igualdad que ya se sabe cierta para todos los valores en que tiene sentido.

Hasta aquí, las funciones trigonométricas se han definido, graficado y usado para medir. Falta estudiarlas como se estudia cualquier familia de funciones: preguntando qué relaciones de igualdad las ligan entre sí, de modo que una expresión pueda sustituirse por otra sin cambiar su valor. Esta sección precisa qué significa exactamente que dos expresiones trigonométricas sean iguales, recoge las relaciones básicas ya demostradas, prueba las que faltaban para todo número real, y fija el método correcto para demostrar nuevas.

§1. Identidad y ecuación¶

Dos expresiones pueden tener valores iguales de dos maneras muy distintas: en algunos números, o en todos los que tienen sentido. La diferencia es la que separa una ecuación de una identidad.

Definición. Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos expresiones. Una igualdad $f(x)=g(x)$ es una identidad si se cumple para todo $x$ perteneciente a $\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$, es decir, para todo $x$ en que ambos miembros están definidos. Se llama ecuación condicional, o simplemente ecuación, si se cumple solo para algunos de esos $x$.

La definición pide que las dos expresiones estén definidas en el mismo $x$ para que la igualdad tenga sentido, y es coherente con la noción de igualdad de funciones del §2.2: una identidad afirma que $f$ y $g$, restringidas al conjunto común $\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$, son la misma función. Puede ocurrir que los dominios sean distintos, y entonces la identidad no dice que $f$ y $g$ sean la misma función, sino que coinciden allí donde ambas están definidas.

Para probar que una igualdad no es una identidad basta un valor: un contraejemplo. La igualdad $\sin x+\cos x=1$ vale en $x=0$ y en $x=\pi/2$, pero no en $x=\pi$, donde el primer miembro es $-1$; por lo tanto es una ecuación y no una identidad. Para probar que es una identidad no basta ninguna cantidad de valores particulares: hace falta un argumento que valga para todo $x$ del dominio común.

Recordatorio. Identidad: $f(x)=g(x)$ para todo $x\in\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$. Ecuación: solo para algunos. Un contraejemplo refuta una identidad; ningún número finito de ejemplos la prueba.

§2. Las identidades fundamentales¶

Las identidades básicas de la trigonometría ya están demostradas, y conviene reunirlas. Del §5.3 provienen las de cociente y recíproco, $$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}\quad\cot t=\frac{\cos t}{\sin t}\quad\csc t=\frac{1}{\sin t}\quad\sec t=\frac{1}{\cos t}$$ válidas donde el denominador no se anula, la identidad pitagórica $\sin^2t+\cos^2t=1$, válida para todo $t\in\mathbb{R}$ por ser $W(t)$ un punto de la circunferencia unitaria, la periodicidad de $2\pi$, y la paridad: $\sin$ es impar y $\cos$ es par, de modo que $\tan$, $\cot$ y $\csc$ son impares y $\sec$ es par, por ser cocientes.

De la identidad pitagórica se obtienen otras dos, que ligan la tangente con la secante y la cotangente con la cosecante.

Proposición. $1+\tan^2t=\sec^2t$ para todo $t$ con $\cos t\neq0$, y $1+\cot^2t=\csc^2t$ para todo $t$ con $\sin t\neq0$.

Demostración. Dividiendo $\sin^2t+\cos^2t=1$ por $\cos^2t\neq0$ resulta $\tan^2t+1=\sec^2t$; dividiéndola por $\sin^2t\neq0$ resulta $1+\cot^2t=\csc^2t$. $\blacksquare$

§3. Medio giro y cuarto de giro¶

El §6.3 dejó demostrado, para $0<t<\pi/2$, cómo se comporta $W$ al reflejar un punto respecto de los ejes, y anunció que esos resultados valen para todo $t$ real. Se prueba aquí, y es el paso que sustenta todas las identidades de reducción.

Antes de enunciar, una observación sobre longitudes. La demostración de la proposición del §6.1 §3 no usó de la homotecia $H_r$ más que dos hechos: que es biyectiva y que multiplica por $r$ las distancias. Con $r=1$ resulta que toda biyección del plano que conserva las distancias conserva también la longitud de los arcos. Dos aplicaciones de ese tipo intervienen en lo que sigue: el medio giro $\rho_1(x,y)=(-x,-y)$ y el cuarto de giro $\rho_2(x,y)=(-y,x)$. Ambas son biyectivas y conservan distancias, como se verifica de inmediato con la fórmula del §1.8; por ejemplo, para $\rho_2$, $|\rho_2(P)-\rho_2(Q)|^2=(y_2-y_1)^2+(x_1-x_2)^2=|P-Q|^2$. Y ambas transforman la circunferencia unitaria en sí misma, porque no alteran $x^2+y^2$.

Lema (medio giro). Para todo $t\in\mathbb{R}$, $$W(t+\pi)=-W(t)\qquad\text{es decir}\qquad\cos(t+\pi)=-\cos t,\quad\sin(t+\pi)=-\sin t$$

Demostración. Como ambos miembros son periódicos de período $2\pi$ en $t$, basta probarlo para $t\in[0,2\pi)$. Para $t=0$ y $t=\pi$ se verifica directamente: $W(\pi)=(-1,0)=-W(0)$ y $W(2\pi)=(1,0)=-W(\pi)$. Sea $t\in(0,\pi)$ y $Q=W(t)$, que tiene ordenada positiva por el §6.3. El arco de $W(0)=(1,0)$ a $Q$ tiene longitud $t$, y $\rho_1$ lo transforma en un arco de la misma longitud que une $\rho_1(1,0)=(-1,0)=W(\pi)$ con $\rho_1(Q)=-Q$. Los únicos puntos que distan $t$ de $W(\pi)$ a lo largo de un arco, con $0<t<\pi$, son $W(\pi+t)$ y $W(\pi-t)$ (§5.2). Como $\pi-t\in(0,\pi)$, el punto $W(\pi-t)$ tiene ordenada positiva, mientras que $-Q$ la tiene negativa; luego $-Q=W(\pi+t)$. Finalmente, si $t\in(\pi,2\pi)$, se escribe $t=\pi+u$ con $u\in(0,\pi)$: por el caso anterior $W(t)=W(\pi+u)=-W(u)$, y por la periodicidad $W(t+\pi)=W(2\pi+u)=W(u)=-W(t)$. $\blacksquare$

Lema (cuarto de giro). Para todo $t\in\mathbb{R}$, $$W\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=(-\sin t,\ \cos t)\qquad\text{es decir}\qquad\cos\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin t,\quad\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos t$$

Demostración. De nuevo basta $t\in[0,2\pi)$, porque ambos miembros tienen período $2\pi$. Para $t=0$, $W(\pi/2)=(0,1)$ es el punto pedido, y para $t=\pi$, $W(3\pi/2)=(0,-1)=(-\sin\pi,\cos\pi)$. Sea $t\in(0,\pi)$ y $Q=W(t)=(\cos t,\sin t)$. El arco de $W(0)$ a $Q$ tiene longitud $t$, y $\rho_2$ lo transforma en un arco de la misma longitud que une $\rho_2(1,0)=(0,1)=W(\pi/2)$ con $\rho_2(Q)=(-\sin t,\cos t)$. Los únicos puntos que distan $t$ de $W(\pi/2)$ son $W(\pi/2+t)$ y $W(\pi/2-t)$. Como $\pi/2-t$ pertenece a $(-\pi/2,\pi/2)$, el punto $W(\pi/2-t)$ tiene abscisa positiva, por la paridad del coseno y el §6.3, y en cambio $\rho_2(Q)$ tiene abscisa $-\sin t<0$; luego $\rho_2(Q)=W(\pi/2+t)$. Si $t\in(\pi,2\pi)$, se escribe $t=\pi+u$ con $u\in(0,\pi)$ y se aplica el lema del medio giro: $W(t+\pi/2)=W\big((u+\pi/2)+\pi\big)=-W(u+\pi/2)=(\sin u,-\cos u)$, que coincide con $(-\sin t,\cos t)=(-\sin(\pi+u),\cos(\pi+u))=(\sin u,-\cos u)$. $\blacksquare$

Un punto W(t) de la circunferencia unitaria y sus imágenes por un cuarto de giro, W(t + π/2), y por un medio giro, W(t + π) Figura 7.1 — El cuarto de giro lleva $(\cos t,\sin t)$ a $(-\sin t,\cos t)$, y el medio giro a $(-\cos t,-\sin t)$.

De los dos lemas y de la paridad se obtienen, para todo $t\in\mathbb{R}$, las identidades de reducción que el §6.3 había probado solo para $0<t<\pi/2$.

Corolario. Para todo $t\in\mathbb{R}$, $$\sin(\pi-t)=\sin t\qquad\cos(\pi-t)=-\cos t\qquad\sin(\pi+t)=-\sin t\qquad\cos(\pi+t)=-\cos t$$ $$\sin(2\pi-t)=-\sin t\qquad\cos(2\pi-t)=\cos t\qquad\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\cos t\qquad\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t$$ y, donde las tangentes están definidas, $\tan(\pi-t)=-\tan t$ y $\tan(t+\pi)=\tan t$.

Demostración. La segunda fila se obtiene de la primera y de la paridad, escribiendo $\pi-t=\pi+(-t)$: por el medio giro, $\sin(\pi-t)=-\sin(-t)=\sin t$ y $\cos(\pi-t)=-\cos(-t)=-\cos t$. Análogamente, $2\pi-t=-t$ módulo $2\pi$ da $\sin(2\pi-t)=\sin(-t)=-\sin t$ y $\cos(2\pi-t)=\cos t$. Para las cofunciones se usa el cuarto de giro con $-t$ en lugar de $t$: $\sin(\pi/2-t)=\cos(-t)=\cos t$ y $\cos(\pi/2-t)=-\sin(-t)=\sin t$. Las de la tangente son cocientes de las anteriores: $\tan(t+\pi)=\dfrac{-\sin t}{-\cos t}=\tan t$ y $\tan(\pi-t)=\dfrac{\sin t}{-\cos t}=-\tan t$. $\blacksquare$

Con esto queda cumplida la tarea que el §6.3 dejó señalada: el lema de reducción vale para todo real, y en particular la tangente tiene período $\pi$, no $2\pi$, y que se sigue directamente del lema del medio giro.

Recordatorio. Medio giro: $W(t+\pi)=-W(t)$. Cuarto de giro: $W(t+\pi/2)=(-\sin t,\cos t)$. De ellos y de la paridad salen, para todo $t$, $\sin(\pi-t)=\sin t$, $\cos(\pi-t)=-\cos t$, $\sin(\pi/2-t)=\cos t$, $\cos(\pi/2-t)=\sin t$, y el período $\pi$ de la tangente.

§4. Cómo se demuestra una identidad¶

Para demostrar una identidad hay un método legítimo y una falacia que conviene nombrar. El método consiste en partir de un miembro y transformarlo, mediante identidades ya conocidas y operaciones algebraicas válidas en el dominio, hasta obtener el otro. Las herramientas habituales son reducirlo todo a $\sin$ y $\cos$, factorizar, sumar fracciones con denominador común, o multiplicar numerador y denominador por un conjugado. Si se prefiere, se transforman ambos miembros por separado hasta obtener una misma expresión.

La falacia consiste en partir de la igualdad que se quiere demostrar y operar sobre ella hasta llegar a algo evidente, como si eso probara la igualdad original. No la prueba, porque una cadena de implicaciones $A\Rightarrow B$ con $B$ cierta no permite concluir $A$: de $1=-1$, elevando al cuadrado, se deduce $1=1$, que es verdadera, y sin embargo $1=-1$ es falsa. El argumento se vuelve legítimo únicamente si cada paso es reversible, es decir, si es una equivalencia y no solo una implicación. En caso de duda, se transforma un miembro hasta llegar al otro y no se opera «cruzando» el signo igual.

Ejemplo 1. $\sec t-\cos t=\sin t\tan t$, para $\cos t\neq0$. Se reduce el primer miembro a senos y cosenos: $$\sec t-\cos t=\frac{1}{\cos t}-\cos t=\frac{1-\cos^2t}{\cos t}=\frac{\sin^2t}{\cos t}=\sin t\cdot\frac{\sin t}{\cos t}=\sin t\tan t$$

Ejemplo 2. $\dfrac{1-\cos t}{\sin t}=\dfrac{\sin t}{1+\cos t}$, para $\sin t\neq0$. El dominio común es $\sin t\neq0$, y allí $1+\cos t\neq0$ automáticamente, porque $\cos t=-1$ implicaría $\sin t=0$. Multiplicando numerador y denominador del primer miembro por $1+\cos t$: $$\frac{1-\cos t}{\sin t}\cdot\frac{1+\cos t}{1+\cos t}=\frac{1-\cos^2t}{\sin t (1+\cos t)}=\frac{\sin^2t}{\sin t (1+\cos t)}=\frac{\sin t}{1+\cos t}$$

Ejemplo 3. $\tan t+\cot t=\sec t\csc t$, para $\sin t\neq0$ y $\cos t\neq0$. Llevando todo a senos y cosenos, $$\tan t+\cot t=\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{\sin^2t+\cos^2t}{\sin t\cos t}=\frac{1}{\sin t\cos t}=\sec t\csc t$$

Ejemplo 4. $\dfrac{1+\sin t}{\cos t}=\dfrac{\cos t}{1-\sin t}$, para $\cos t\neq0$. Multiplicando cada miembro en cruz, la igualdad equivale a $(1+\sin t)(1-\sin t)=\cos^2t$, y como $(1+\sin t)(1-\sin t)=1-\sin^2t=\cos^2t$, se cumple. Aquí el paso «multiplicar en cruz» es reversible porque ambos denominadores no se anulan ($\cos t\neq0$ implica $\sin t\neq\pm1$), y es legítimo.

Recordatorio. Se demuestra una identidad transformando un miembro hasta obtener el otro, con pasos válidos en el dominio común. Partir de la igualdad pedida y llegar a algo cierto solo sirve si cada paso es una equivalencia.

Las identidades de esta sección no son un catálogo de hechos independientes: todas son, en el fondo, la misma afirmación, que $W(t)$ pertenece a la circunferencia unitaria y que la circunferencia es simétrica respecto de los ejes y de las rectas por el origen. Esa unidad explica que ninguna identidad se agote en su fórmula: cada una es una manera de decir que cierta simetría del círculo se conserva al evaluar. Queda abierta la pregunta de qué simetría corresponde a sumar dos ángulos cualesquiera, y no solo un medio o un cuarto de vuelta.

Esa es la cuestión que resuelven las fórmulas de suma y resta de ángulos, tema de la sección siguiente, donde además se paga una deuda que los capítulos anteriores dejaron señalada: probar que trasladar y rotar una figura no altera las distancias.