Capítulo 5 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶
5.4 - Gráficas Trigonométricas¶
Toda propiedad visible en la gráfica de una función trigonométrica —dónde sube, dónde baja, dónde se dispara al infinito— ya está demostrada en el §5.3, o se demuestra en dos pasos más a partir de ahí. Esta sección no agrega comportamiento nuevo: lo traduce en imagen.
§1. Un lema de acotación¶
Antes de poder demostrar que \(\tan t\) se dispara sin cota cerca de \(\pi/2\), hace falta una herramienta que el §5.3 no necesitó: una cota cuantitativa de cuánto pueden cambiar \(\sin t\) y \(\cos t\) cuando \(t\) cambia poco. La construcción del §5.2 la provee de manera directa.
Lema. Para \(s,t\in[0,2\pi)\) con \(s\le t\), \(|\cos t-\cos s|\le t-s\) y \(|\sin t-\sin s|\le t-s\).
Demostración. La diferencia entre dos coordenadas de dos puntos del plano nunca supera la distancia euclídea entre esos puntos: \(|\cos t-\cos s|\le\sqrt{(\cos t-\cos s)^2+(\sin t-\sin s)^2}=|W(t)-W(s)|\) —distancia entre \(W(t)\) y \(W(s)\)—. Esa distancia, a su vez, es la longitud de la cuerda que une \(W(s)\) con \(W(t)\), y una cuerda nunca supera al arco que subtiende —§5.1 §2, la cuerda es, ella misma, una aproximación inscrita de un solo segmento—. Ese arco, por la aditividad de la longitud de arco a lo largo de la construcción del §5.2 §1–§3, mide exactamente \(t-s\). Encadenando las tres desigualdades, \(|\cos t-\cos s|\le t-s\). El mismo argumento, intercambiando qué coordenada se aísla, da \(|\sin t-\sin s|\le t-s\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. Esta cota no es un resultado de continuidad general —el libro no tiene, ni necesita, esa teoría—: es una desigualdad concreta, heredada directamente de que cuerda \(\le\) arco, la misma comparación que sostuvo toda la construcción de \(\pi\) en el §5.1.
Falta una simetría más: qué relación guarda \(W(t+\pi)\) con \(W(t)\). De ella se sigue, entre otras cosas, que tangente y cotangente tienen período \(\pi\), la mitad que seno y coseno. Es el contenido del §2.
§2. Simetría central y el período de la tangente¶
Proposición. \(W(t+\pi)=-W(t)\) para todo \(t\in\mathbb{R}\); equivalentemente, \(\cos(t+\pi)=-\cos t\) y \(\sin(t+\pi)=-\sin t\).
Demostración. La rotación de \(180°\) respecto del origen —\((x,y)\mapsto(-x,-y)\)— es una isometría que fija al centro de la circunferencia, envía \((1,0)\) a \((-1,0)\), y preserva la longitud de cualquier arco —al ser una isometría, preserva todas las distancias, luego preserva los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos que aproximan cualquier arco—. El cuadrado inicial del §5.1 es simétrico respecto de esa rotación —\((1,0)\leftrightarrow(-1,0)\), \((0,1)\leftrightarrow(0,-1)\)—, y por consiguiente también lo es toda la construcción por bisección del §5.1 y del §5.2, nivel a nivel. Recorrer un arco de longitud \(t\) desde \((-1,0)\) —el punto rotado— es, entonces, la imagen rotada de recorrer un arco de longitud \(t\) desde \((1,0)\); y como \((-1,0)=W(\pi)\), recorrer \(t\) adicionales desde ahí alcanza \(W(\pi+t)\). Luego \(W(\pi+t)\) es la rotación de \(180°\) de \(W(t)\), es decir, \(-W(t)\). \(\blacksquare\)
Corolario (período de tangente y cotangente). \(\tan(t+\pi)=\tan t\) y \(\cot(t+\pi)=\cot t\), donde ambas estén definidas.
Demostración. \(\tan(t+\pi)=\dfrac{\sin(t+\pi)}{\cos(t+\pi)}=\dfrac{-\sin t}{-\cos t}=\tan t\). Análogo para \(\cot\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. Seno y coseno repiten cada \(2\pi\); tangente y cotangente, cada \(\pi\) —la mitad—. No es una propiedad separada de la tangente: es consecuencia directa de que invertir el signo de ambas coordenadas —lo que ocurre al avanzar \(\pi\)— no cambia su cociente.
Con las herramientas ya reunidas, corresponde describir cómo leer el movimiento circular de \(W\) como una gráfica cartesiana ordinaria. Es el contenido del §3.
§3. De la circunferencia a la gráfica¶
\(W(t)\) describe un punto que se mueve sobre la circunferencia unitaria a medida que \(t\) recorre \(\mathbb{R}\). Graficar \(y=\sin t\) o \(y=\cos t\) en el plano \(t\)-\(y\) es "desenrollar" ese movimiento: en vez de seguir al punto sobre la circunferencia, se sigue únicamente su altura —o su abscisa— a medida que \(t\) avanza sobre una recta horizontal. Cada vuelta completa de \(W\) —cada incremento de \(t\) en \(2\pi\)— corresponde, en la gráfica desenrollada, a un tramo idéntico al anterior, desplazado horizontalmente \(2\pi\): es la periodicidad del §5.3 §4, vista como repetición visual en vez de como igualdad algebraica.
§4. Gráficas de seno y coseno¶
Los rasgos de la gráfica de \(\sin t\) —y, por el mismo argumento, la de \(\cos t\)— ya están, todos, demostrados en el §5.3: periodicidad \(2\pi\) (§5.3 §4), recorrido \([-1,1]\) alcanzado sin excepción (§5.3 §3), paridad —\(\sin\) impar, \(\cos\) par— (§5.3 §5), y los valores exactos en \(0,\pi/4,\pi/2,\pi,3\pi/2\) (§5.3 §9). La gráfica de \(\cos t\) es, además, la de \(\sin t\) desplazada —una consecuencia que se demuestra en el §5.5, no en esta sección—.
![Gráficas de seno y coseno sobre el intervalo [-2π, 2π], mostrando periodicidad, rango [-1,1], y que coseno es la misma curva de seno desplazada](../../../assets/figuras/05-04-seno-y-coseno.svg)
Figura 5.1 — \(\sin t\) y \(\cos t\) en \([-2\pi,2\pi]\). Las líneas punteadas en \(y=\pm1\) marcan el recorrido; los cruces por cero de una coinciden con los extremos de la otra —consecuencia de la identidad pitagórica del §5.3 §2: si \(\sin t=\pm1\), entonces \(\cos^2t=1-1=0\)—.
Recordatorio. Ninguna curvatura de esta gráfica se calculó nueva: cada máximo, cada cruce por cero, cada intervalo de crecimiento, es una relectura visual de una Proposición ya demostrada en el §5.3.
Tangente y cotangente exigen una pieza que seno y coseno no necesitaban: una demostración de que, cerca de los puntos excluidos de su dominio, la función se dispara sin cota. Ahí es donde el Lema del §1 hace su trabajo. Es el contenido del §5.
§5. Gráficas de tangente y cotangente¶
Proposición (asíntota vertical de \(\tan\) en \(\pi/2\)). Para todo \(M>0\) existe \(\delta>0\) tal que \(0<\pi/2-t<\delta \implies \tan t>M\).
Demostración. Por el Lema del §1 con \(s=t\), \(t'=\pi/2\): \(\cos t=|\cos t-\cos(\pi/2)|\le\pi/2-t\) —usando \(\cos(\pi/2)=0\)—, y \(\sin t\ge\sin(\pi/2)-|\sin t-\sin(\pi/2)|\ge1-(\pi/2-t)\). Para \(\pi/2-t<1/2\), se tiene \(\sin t>1/2\). Dado \(M>0\), sea \(\delta:=\min\left(\dfrac1{2M},\dfrac12\right)\). Si \(0<\pi/2-t<\delta\), entonces \(0<\cos t\le\pi/2-t<\delta\le\dfrac1{2M}\), y \(\sin t>1/2\), de modo que
\(\blacksquare\)
El mismo Lema, aplicado desde el otro lado y en cada uno de los puntos \(\pi/2+n\pi\), da el comportamiento simétrico —\(\tan t\to-\infty\) al acercarse por la derecha—, y un argumento idéntico para \(\cot t=\cos t/\sin t\) da sus asíntotas en \(t=n\pi\), donde \(\sin t=0\).
Figura 5.2 — \(\tan t\) y \(\cot t\). El período de ambas es \(\pi\) —Corolario del §2—, la mitad que seno y coseno; las asíntotas de \(\tan\) (líneas discontinuas más largas) están donde \(\cos t=0\), y las de \(\cot\) (líneas punteadas) donde \(\sin t=0\).
Recordatorio. La demostración de la asíntota no apeló a ninguna noción general de límite: usó, exclusivamente, la cota concreta del Lema del §1, con un \(\delta\) construido a mano para cada \(M\) —el mismo estilo \(M\)-\(\delta\) que ya cerró el §2.4 y el §11 de la sección 4.1—.
Secante y cosecante, siendo recíprocas de coseno y de seno, heredan sus asíntotas exactamente donde el denominador se anula —sin necesidad de una demostración adicional—. Es el contenido del §6.
§6. Gráficas de secante y cosecante¶
Como \(\sec t=1/\cos t\), la Proposición del §5 —con los papeles de numerador y denominador ahora invertidos, \(1/\cos t\to+\infty\) exactamente cuando \(\cos t\to0^+\), lo que ya se probó dentro de esa misma demostración— da las mismas asíntotas verticales de \(\tan t\), en los mismos puntos \(\pi/2+n\pi\). Análogamente, \(\csc t\) comparte las asíntotas de \(\cot t\), en \(n\pi\). A diferencia de tangente y cotangente, sin embargo, el período de \(\sec\) y de \(\csc\) es \(2\pi\) —el de \(\cos\) y \(\sin\), respectivamente—, no \(\pi\): la Proposición del §2 dio \(\cos(t+\pi)=-\cos t\), que cambia de signo, de modo que \(\sec(t+\pi)=-\sec t\neq\sec t\) en general.
Figura 5.3 — \(\sec t\) y \(\csc t\), con \(\cos t\) y \(\sin t\) superpuestas en trazo tenue como referencia. Donde la curva de referencia se acerca a \(0\), la recíproca se dispara; donde la de referencia vale \(\pm1\), la recíproca también, pues \(1/(\pm1)=\pm1\).
§7. Ejercicios resueltos¶
Ejercicio 1. ¿En qué puntos del intervalo \([0,2\pi)\) tiene \(\tan t\) una asíntota vertical?
Solución. Por el §5.3 §7, \(\operatorname{Dom}(\tan)\) excluye los puntos donde \(\cos t=0\); por el §5.3 §9 y la tabla de signos del §5.3 §6, esos puntos son \(t=\pi/2\) y \(t=3\pi/2\).
Ejercicio 2. Usando el período demostrado en el §2, calcular \(\tan(5\pi/4)\) a partir de \(\tan(\pi/4)\).
Solución. Como \(5\pi/4=\pi/4+\pi\), el Corolario del §2 da \(\tan(5\pi/4)=\tan(\pi/4)\), y por el Ejercicio 1 del §5.3 §10, \(\tan(\pi/4)=1\). Luego \(\tan(5\pi/4)=1\).
Ejercicio 3. ¿Por qué la gráfica de \(\sec t\) nunca toma valores en \((-1,1)\)?
Solución. Como \(|\cos t|\le1\) para todo \(t\) —§5.3 §3—, y \(\cos t\neq0\) en \(\operatorname{Dom}(\sec)\), se tiene \(0<|\cos t|\le1\), de donde \(|\sec t|=1/|\cos t|\ge1\). Luego \(\sec t\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty)\), nunca en el intervalo abierto \((-1,1)\) — visible en la Figura 5.3, donde ambas ramas de \(\sec\) quedan siempre a distancia al menos \(1\) del eje horizontal.
§8. Cierre¶
Las tres gráficas de esta sección —seno con coseno, tangente con cotangente, secante con cosecante— no introdujeron ningún comportamiento que el §5.3 no hubiera demostrado ya, salvo la asíntota vertical de las cuatro funciones no acotadas, y aun esa asíntota se demostró con una sola herramienta nueva —el Lema de acotación del §1— aplicada cuatro veces. Es, una vez más, el patrón que este libro persigue desde el primer capítulo: construir una sola pieza de maquinaria con cuidado, y dejar que reaparezca tantas veces como haga falta, en vez de fabricar una herramienta distinta para cada ocasión.
Queda, para cerrar el capítulo, ver qué ocurre cuando estas seis gráficas se transforman —se desplazan, se estiran, cambian de período o de amplitud—, exactamente como el §2.5 hizo con el catálogo de funciones prototipo del §2.4.
El §5.5 aplica a las funciones trigonométricas las mismas transformaciones —desplazamiento, reflexión, cambio de escala— ya estudiadas en el §2.5, con una novedad propia de esta familia: el cambio de período.