Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.7 — Inyectividad, Reversibilidad y la Función Inversa¶
Toda función avanza de la causa al efecto; solo algunas permiten, además, volver del efecto a la causa.
La composición del §2.6 combinó dos funciones encadenando la salida de una con la entrada de la otra. Esta sección estudia una pregunta distinta, aunque emparentada: dada una sola función \(f\), ¿existe otra función que deshaga exactamente lo que \(f\) hizo? No toda función lo permite, y precisar cuándo sí exige retomar, con más cuidado del que hasta ahora recibieron, el codominio y la imagen fijados en el §2.1 §4.
§1. Inyectividad y el criterio de la recta horizontal¶
Definición. Una función \(f:A\to B\) es inyectiva (o uno a uno) si a valores distintos del dominio corresponden siempre valores distintos de la función:
Una manera equivalente, y con frecuencia más cómoda de verificar algebraicamente, es su contrarrecíproco: \(f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2\). Ambas formulaciones dicen lo mismo —que ningún valor de \(B\) se alcanza más de una vez—, pero la segunda suele ser la que se usa en la práctica, porque parte de una igualdad, más manejable algebraicamente, en lugar de una desigualdad.
Así como la unicidad del §2.1 se tradujo geométricamente en el criterio de la recta vertical del §2.3 §1, la inyectividad admite una traducción exactamente análoga, pero sobre el otro eje.
Proposición (criterio de la recta horizontal). Una función \(f\) es inyectiva si y solo si toda recta horizontal \(y=b\) interseca a \(\text{Gr}(f)\) en, a lo sumo, un punto.
Demostración. Que la horizontal \(y=b\) corte a \(\text{Gr}(f)\) en más de un punto significa que existen \(x_1\neq x_2\) con \(f(x_1)=b=f(x_2)\), es decir, dos elementos distintos del dominio con la misma imagen — precisamente la negación de la inyectividad. Recíprocamente, si \(f\) no es inyectiva, existen \(x_1\neq x_2\) con \(f(x_1)=f(x_2)=b\) para algún \(b\), y la horizontal \(y=b\) corta a la gráfica en al menos esos dos puntos. \(\blacksquare\)
El paralelismo con el §2.3 §1 no es casual, y vale la pena hacerlo explícito: la recta vertical verificaba una condición sobre el dominio —que cada \(x\) tuviera un único \(y\) asociado, la definición misma de función—; la recta horizontal verifica una condición sobre la imagen —que cada \(y\) alcanzado lo sea por un único \(x\)—. Son, en cierto sentido, la misma pregunta formulada sobre ejes distintos.
Ejemplo. \(f(x)=x^3\), del catálogo del §2.4, es inyectiva: si \(x_1^3=x_2^3\), extrayendo raíz cúbica —de índice impar, sin restricción de signo, según el §1.2 §3— se obtiene \(x_1=x_2\) directamente. En cambio \(f(x)=x^2\) no lo es: \(f(-2)=f(2)=4\), dos elementos distintos del dominio con la misma imagen, y geométricamente, la horizontal \(y=4\) corta a la parábola en dos puntos.
Recordatorio. Inyectiva: \(f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2\). El criterio de la recta horizontal es, para la inyectividad, lo que el de la recta vertical es para la definición misma de función —la misma pregunta de unicidad, mirada desde el eje opuesto—.
§2. Sobreyectividad, biyectividad y la adecuación del codominio¶
La inyectividad por sí sola no basta para lo que esta sección busca; hace falta, además, revisar qué tan bien el codominio declarado —distinguido de la imagen desde el §2.1 §4— se ajusta a lo que la función efectivamente alcanza.
Definición. Una función \(f:A\to B\) es sobreyectiva si \(\text{Img}(f)=B\): todo elemento del codominio es alcanzado por algún elemento del dominio. Es biyectiva si es, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.
La sobreyectividad, a diferencia de la inyectividad, no es una propiedad exclusivamente de la regla de asignación: depende, de manera esencial, de qué codominio se haya declarado. La función \(f(x)=x^2\) con codominio \(\mathbb{R}\) no es sobreyectiva —ningún negativo se alcanza, como ya mostró el ejemplo del §2.1 §4—, pero la misma regla \(x\mapsto x^2\), declarada en cambio como \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty)\), sí lo es, porque ahora el codominio coincide exactamente con la imagen. Esto confirma algo que el §2.1 ya anticipó sin poder desarrollarlo entonces: dos funciones con idéntica regla pero distinto codominio declarado son formalmente distintas, y aquí se ve la primera consecuencia concreta de esa distinción — una es sobreyectiva y la otra no, aunque "hagan lo mismo" con cada \(x\).
Recordatorio. Sobreyectiva: \(\text{Img}(f)=B\), el codominio entero se agota. Biyectiva: inyectiva y sobreyectiva a la vez. La sobreyectividad depende del codominio declarado, no solo de la fórmula — la misma regla puede ser sobreyectiva o no, según qué codominio se le asigne.
§3. Construcción de la función inversa¶
Con inyectividad y sobreyectividad ya precisadas, corresponde formalizar la pregunta que abrió la sección: ¿cuándo puede deshacerse una función?
Definición. Sea \(f:A\to B\) biyectiva. La función inversa de \(f\), denotada \(f^{-1}:B\to A\), es la función que a cada \(b\in B\) le asigna el único \(a\in A\) tal que \(f(a)=b\).
Que \(f^{-1}\) quede bien definida —que exista, y que sea efectivamente una función según la exigencia de existencia y unicidad del §2.1 §3— depende de las dos propiedades del §1 y el §2, y no de una sola: la sobreyectividad garantiza la existencia de al menos un \(a\) para cada \(b\in B\) —si \(f\) no fuera sobreyectiva, algún \(b\in B\) quedaría sin ningún \(a\) asociado, violando la condición de existencia que toda función exige—; la inyectividad garantiza la unicidad de ese \(a\) —si \(f\) no fuera inyectiva, algún \(b\) tendría dos o más preimágenes posibles, y \(f^{-1}(b)\) sería ambiguo—. Ninguna de las dos condiciones sobra: cada una resuelve, por separado, exactamente una de las dos exigencias que definen a una función.
De esta definición se sigue una identidad que caracteriza por completo a la inversa, y que suele ser la manera más directa de verificarla o de calcularla:
es decir, \(f^{-1}\circ f\) es la función identidad sobre \(A\), y \(f\circ f^{-1}\) lo es sobre \(B\) —usando la composición del §2.6 para expresar, con precisión, qué significa "deshacer" una función—.
Método de cálculo. Para hallar \(f^{-1}\) a partir de una fórmula explícita de \(f\), se parte de \(y=f(x)\), se despeja \(x\) en función de \(y\) usando las técnicas de ecuaciones del §1.5, y finalmente se intercambian los nombres de las variables, por costumbre notacional, para escribir \(f^{-1}\) también en términos de \(x\).
Ejemplo. Sea \(f(x)=2x+3\), con \(\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\). Es inyectiva —si \(2x_1+3=2x_2+3\), entonces \(x_1=x_2\), despejando como en el §1.5 §1— y, con codominio \(\mathbb{R}\), sobreyectiva —todo real \(y\) se alcanza despejando \(x=(y-3)/2\)—, luego biyectiva. Partiendo de \(y=2x+3\): \(x=\dfrac{y-3}{2}\), y renombrando, \(f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}\). Puede verificarse la identidad: \(f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x+3) = \dfrac{(2x+3)-3}{2} = \dfrac{2x}{2}=x\). \(\checkmark\)
§4. Dominio, imagen y simetría de la inversa¶
De la definición se desprende una relación de espejo entre \(f\) y \(f^{-1}\) que conviene dejar explícita:
el dominio y la imagen se intercambian por completo al pasar de una función a la otra —una consecuencia inmediata de que \(f^{-1}\), por definición, toma como entrada exactamente los valores que \(f\) producía como salida—.
Esta inversión también tiene una traducción geométrica precisa: si \((a,b)\in\text{Gr}(f)\), entonces \(f(a)=b\), y por definición de inversa, \(f^{-1}(b)=a\), de modo que \((b,a)\in\text{Gr}(f^{-1})\). La gráfica de \(f^{-1}\) está formada, entonces, exactamente por los puntos de \(\text{Gr}(f)\) con sus coordenadas invertidas — y el punto \((x,y)\) y su reflejo \((y,x)\) son, geométricamente, simétricos respecto de la recta \(y=x\), según se verifica de inmediato con la fórmula de distancia del §1.8 §2. Por eso \(\text{Gr}(f^{-1})\) es siempre la reflexión de \(\text{Gr}(f)\) respecto de la recta \(y=x\), un caso particular más de las reflexiones estudiadas en el §2.5, aunque distinto de las dos ya vistas: no es una reflexión respecto de un eje coordenado, sino respecto de la diagonal.
Figura 2.5 — \(f(x)=2x+3\) y \(f^{-1}(x)=(x-3)/2\), del ejemplo del §3, reflejadas respecto de \(y=x\). El punto \((1,5)\in\text{Gr}(f)\) corresponde a \((5,1)\in\text{Gr}(f^{-1})\).
Recordatorio. \(\text{Dom}(f^{-1})=\text{Img}(f)\) e \(\text{Img}(f^{-1})=\text{Dom}(f)\): dominio e imagen se intercambian. \(\text{Gr}(f^{-1})\) es la reflexión de \(\text{Gr}(f)\) respecto de la recta \(y=x\).
La reversibilidad estudiada en esta sección puede leerse como una pregunta sobre información: si \(f\) describe un proceso que transforma una causa \(x\) en un efecto \(f(x)\), la existencia de \(f^{-1}\) pregunta si ese efecto contiene, todavía, información suficiente para reconstruir la causa que lo produjo. Cuando \(f\) no es inyectiva —como \(x^2\), que trata a \(2\) y a \(-2\) de manera idéntica—, el efecto ha perdido, de manera irrecuperable, el dato del signo original: dos causas distintas convergieron en un mismo efecto, y ningún procedimiento, por ingenioso que sea, puede después distinguir cuál de las dos ocurrió. La inyectividad, en este sentido, no es solo una condición técnica para definir \(f^{-1}\): es la afirmación de que el proceso \(f\) no descarta información en el camino. Queda abierta la pregunta de si esta misma idea —procesos que preservan toda la información de su entrada frente a procesos que la degradan irreversiblemente— tiene un alcance que excede a las funciones y alcanza a otros tipos de transformación, matemática o no.
Con la reversibilidad ya precisada, el capítulo se dirige hacia una última pregunta sobre el comportamiento de una función: no ya si puede deshacerse, sino dónde alcanza sus valores más altos o más bajos. Ese es el tema de la sección final del capítulo.