Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶
2.7 — Inyectividad, Reversibilidad y la Función Inversa¶
Toda función avanza de la causa al efecto; solo algunas permiten, además, volver del efecto a la causa.
La composición del §2.6 encadenó la salida de una función con la entrada de otra. Esta sección estudia una pregunta emparentada: dada una función \(f\), ¿existe otra que deshaga exactamente lo que \(f\) hizo? No toda función lo permite, y precisar cuándo sí exige retomar con más cuidado el codominio y la imagen del §2.1.
§1. Inyectividad y el criterio de la recta horizontal¶
Definición. Una función \(f : A \to B\) es inyectiva, o uno a uno, si a elementos distintos del dominio les corresponden siempre valores distintos:
Una forma equivalente, y casi siempre más cómoda, es la contrarrecíproca: \(f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\). La contrarrecíproca de una implicación "si \(P\), entonces \(Q\)" es "si no \(Q\), entonces no \(P\)", y dice exactamente lo mismo. Las dos formas expresan que ningún valor de \(B\) se alcanza más de una vez, pero la segunda parte de una igualdad, con la que es más fácil hacer cuentas.
Así como la unicidad del §2.1 se tradujo en el criterio de la recta vertical del §2.3, la inyectividad tiene una traducción análoga sobre el otro eje.
Proposición (criterio de la recta horizontal). Una función \(f\) es inyectiva si y solo si cada recta horizontal \(y = b\) corta a \(\operatorname{Gr}(f)\) en a lo sumo un punto.
Demostración. Que la recta \(y = b\) corte a \(\operatorname{Gr}(f)\) en dos puntos distintos significa que hay \(x_1 \neq x_2\) con \(f(x_1) = b = f(x_2)\), que es exactamente la negación de la inyectividad. Por lo tanto, \(f\) es inyectiva si y solo si ninguna recta horizontal corta a la gráfica en dos o más puntos. \(\blacksquare\)
El paralelo con el §2.3 no es casual. La recta vertical controlaba una condición sobre el dominio: que cada \(x\) tuviera un único \(y\). La recta horizontal controla una condición sobre la imagen: que cada \(y\) alcanzado lo sea por un único \(x\). Es la misma pregunta de unicidad, formulada sobre ejes distintos.
Una fuente frecuente de inyectividad es la monotonía del §2.3.
Proposición. Si \(f\) es creciente o decreciente en su dominio, que es un intervalo, entonces \(f\) es inyectiva.
Demostración. Sean \(x_1 \neq x_2\) en el dominio; podemos suponer \(x_1 < x_2\). Si \(f\) es creciente, \(f(x_1) < f(x_2)\), y si es decreciente, \(f(x_1) > f(x_2)\). En los dos casos, \(f(x_1) \neq f(x_2)\). \(\blacksquare\)
Ejemplos. La función \(f(x) = x^3\) es inyectiva, porque es creciente en \(\mathbb{R}\) (§2.4). En cambio, \(f(x) = x^2\) no lo es: \(f(-2) = f(2) = 4\), y en la gráfica, la recta horizontal \(y = 4\) corta a la parábola en dos puntos. La recíproca de la proposición es falsa: \(\frac{1}{x}\) es inyectiva, porque \(\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}\) implica \(x_1 = x_2\), pero no es monótona en su dominio, como vimos en el §2.4.
Recordatorio. Inyectiva: \(f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\). El criterio de la recta horizontal es para la inyectividad lo que el de la recta vertical es para la definición de función. Toda función creciente o decreciente en un intervalo es inyectiva.
§2. Sobreyectividad, biyectividad y el codominio¶
La inyectividad sola no alcanza para lo que buscamos. Hace falta, además, que el codominio declarado se ajuste a lo que la función efectivamente alcanza.
Definición. Una función \(f : A \to B\) es sobreyectiva si \(\operatorname{Img}(f) = B\), es decir, si todo elemento del codominio es alcanzado por algún elemento del dominio. Es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
La sobreyectividad, a diferencia de la inyectividad, no depende solo de la regla: depende del codominio declarado. La función \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\), no es sobreyectiva, porque ningún número negativo es alcanzado, como mostró el ejemplo del §2.1. Pero la misma regla, declarada como \(f : \mathbb{R} \to [0, \infty)\), sí lo es, porque ahora el codominio coincide con la imagen. Es la primera consecuencia concreta de la convención del §2.1 según la cual dos funciones con la misma regla y distinto codominio son distintas: una es sobreyectiva y la otra no, aunque hagan lo mismo con cada \(x\). En general, toda función se vuelve sobreyectiva si se toma su imagen como codominio.
Recordatorio. Sobreyectiva: \(\operatorname{Img}(f) = B\). Biyectiva: inyectiva y sobreyectiva. La sobreyectividad depende del codominio declarado, no solo de la fórmula.
§3. La función inversa¶
Con estas dos nociones podemos precisar cuándo se puede deshacer una función.
Definición. Sea \(f : A \to B\) biyectiva. La función inversa de \(f\), denotada \(f^{-1} : B \to A\), es la función que a cada \(b \in B\) le asigna el único \(a \in A\) tal que \(f(a) = b\).
El exponente \(-1\) es solo una notación: \(f^{-1}(x)\) no significa \(\frac{1}{f(x)}\). Que \(f^{-1}\) sea efectivamente una función, con la existencia y la unicidad del §2.1, depende de las dos propiedades a la vez. La sobreyectividad garantiza que para cada \(b \in B\) hay al menos un \(a\) con \(f(a) = b\); sin ella, algún \(b\) quedaría sin imagen y fallaría la existencia. La inyectividad garantiza que hay a lo sumo uno; sin ella, algún \(b\) tendría dos preimágenes y \(f^{-1}(b)\) sería ambiguo. Cada propiedad resuelve una de las dos exigencias que definen a una función.
Para expresar con precisión qué significa "deshacer", usamos la función identidad de un conjunto \(A\), \(\operatorname{id}_A : A \to A\), definida por \(\operatorname{id}_A(x) = x\).
Proposición. Sea \(f : A \to B\) biyectiva. Entonces \(f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_A\) y \(f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_B\). Recíprocamente, si \(g : B \to A\) cumple \(g \circ f = \operatorname{id}_A\) y \(f \circ g = \operatorname{id}_B\), entonces \(g = f^{-1}\).
Demostración. Sea \(x \in A\) y llamemos \(b = f(x)\). Por definición, \(f^{-1}(b)\) es el único elemento de \(A\) cuya imagen es \(b\), y ese elemento es \(x\); por lo tanto \(f^{-1}(f(x)) = x\). Sea ahora \(y \in B\); por definición, \(f^{-1}(y)\) es un elemento cuya imagen es \(y\), así que \(f(f^{-1}(y)) = y\). Para la recíproca, sea \(y \in B\). Como \(f(g(y)) = y\), el elemento \(g(y)\) es una preimagen de \(y\), y como \(f\) es inyectiva, es la única; por lo tanto \(g(y) = f^{-1}(y)\). Las funciones \(g\) y \(f^{-1}\) tienen el mismo dominio, el mismo codominio y los mismos valores, de modo que son iguales (§2.2). \(\blacksquare\)
Método de cálculo. Para hallar \(f^{-1}\) a partir de una fórmula, se parte de \(y = f(x)\), se despeja \(x\) en función de \(y\) con las técnicas del §1.5, y finalmente se intercambian los nombres de las variables, por costumbre, para escribir \(f^{-1}\) también en términos de \(x\). Si el despeje tiene solución única para cada \(y\) del codominio, eso prueba a la vez que \(f\) es biyectiva y da la fórmula de su inversa.
Ejemplo. Sea \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 3\). Para cada \(y \in \mathbb{R}\), la ecuación \(y = 2x + 3\) tiene la única solución \(x = \frac{y - 3}{2}\) (§1.5). Por lo tanto \(f\) es biyectiva, y renombrando las variables, \(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\). Comprobemos la proposición: \(f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x\) y \(f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x\).
§4. Restringir para invertir¶
Muchas funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero sí en una parte. En ese caso se puede invertir su restricción, en el sentido del §2.2.
Ejemplo. La función \(x^2\) no es inyectiva en \(\mathbb{R}\), pero es creciente en \([0, \infty)\) (§2.3) y, por el §1, inyectiva allí. Consideremos entonces \(f : [0, \infty) \to [0, \infty)\), \(f(x) = x^2\). Es inyectiva, y es sobreyectiva porque todo \(y \ge 0\) es el cuadrado de \(\sqrt{y}\) (§1.2). Su inversa asigna a cada \(y \ge 0\) el único \(x \ge 0\) con \(x^2 = y\), que es precisamente \(\sqrt{y}\). Así, \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\): la raíz cuadrada es la inversa del cuadrado restringido a los no negativos. Si se hubiera elegido el intervalo \((-\infty, 0]\), la inversa sería \(-\sqrt{x}\).
La elección de la restricción no es única, y por eso hay que declararla. Este procedimiento volverá a aparecer cada vez que el libro necesite invertir una función que no es inyectiva en todo su dominio.
Recordatorio. Si \(f\) no es inyectiva, se puede restringir su dominio a un intervalo donde lo sea y tomar como codominio la imagen de esa restricción. La raíz cuadrada es la inversa de \(x^2\) restringida a \([0, \infty)\).
§5. Dominio, imagen y simetría de la inversa¶
De la definición se desprende una relación de espejo entre \(f\) y \(f^{-1}\). Como \(f : A \to B\) es biyectiva, \(\operatorname{Img}(f) = B\), y \(f^{-1}\) va de \(B\) en \(A\) y alcanza todo \(A\), porque cada \(a \in A\) es \(f^{-1}(f(a))\). Por lo tanto
El dominio y la imagen se intercambian.
Este intercambio tiene una traducción geométrica. Si \((a, b) \in \operatorname{Gr}(f)\), entonces \(f(a) = b\), por lo tanto \(f^{-1}(b) = a\), y \((b, a) \in \operatorname{Gr}(f^{-1})\). La gráfica de \(f^{-1}\) está formada por los puntos de la gráfica de \(f\) con las coordenadas intercambiadas. Y los puntos \((a, b)\) y \((b, a)\) son simétricos respecto de la recta \(y = x\): si \(a \neq b\), el punto medio del segmento que los une, \(\left(\frac{a + b}{2}, \frac{a + b}{2}\right)\), está sobre esa recta (§1.8), y el segmento tiene pendiente \(\frac{a - b}{b - a} = -1\), de modo que es perpendicular a la recta \(y = x\), de pendiente \(1\), porque \((-1) \cdot 1 = -1\) (§1.10). Por eso \(\operatorname{Gr}(f^{-1})\) es siempre la reflexión de \(\operatorname{Gr}(f)\) respecto de la recta \(y = x\). Es una reflexión distinta de las del §2.5: no respecto de un eje coordenado, sino respecto de la diagonal.
Figura 2.5 — \(f(x)=2x+3\) y \(f^{-1}(x)=(x-3)/2\), del ejemplo del §3, reflejadas respecto de \(y=x\). El punto \((1,5)\in\operatorname{Gr}(f)\) corresponde a \((5,1)\in\operatorname{Gr}(f^{-1})\).
Recordatorio. \(\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Img}(f)\) e \(\operatorname{Img}(f^{-1}) = \operatorname{Dom}(f)\). La gráfica de \(f^{-1}\) es la reflexión de la de \(f\) respecto de la recta \(y = x\).
La reversibilidad estudiada en esta sección puede leerse como una pregunta sobre información. Si \(f\) describe un proceso que transforma una causa \(x\) en un efecto \(f(x)\), la existencia de \(f^{-1}\) pregunta si el efecto conserva información suficiente para reconstruir la causa. Cuando \(f\) no es inyectiva, como \(x^2\), que trata igual a \(2\) y a \(-2\), el efecto perdió de manera irrecuperable el dato del signo: dos causas distintas desembocaron en el mismo efecto, y ningún procedimiento puede después distinguir cuál ocurrió. La inyectividad no es, entonces, solo una condición técnica para definir \(f^{-1}\): es la afirmación de que el proceso no descarta información en el camino. Queda abierta la pregunta de si esta idea, la de procesos que conservan toda la información de su entrada frente a procesos que la degradan sin vuelta atrás, alcanza a otros tipos de transformación, matemáticos o no.
Con la reversibilidad precisada, el capítulo se dirige a una última pregunta sobre el comportamiento de una función: no ya si puede deshacerse, sino dónde alcanza sus valores más altos o más bajos. Ese es el tema de la sección siguiente.