Capítulo 3 - Polinomios y Funciones Racionales¶

El catálogo del §2.4 presentó \(x\), \(x^2\) y \(x^3\) como tres renglones aislados de una misma tabla, cada uno analizado por separado. Pero nada impide sumarlos, multiplicarlos por constantes o combinarlos entre sí: \(3x^3 - 5x^2 + x - 7\) es, tanto como cualquiera de ellos, una función construida enteramente a partir de las operaciones aritméticas del §1.1 aplicadas a la variable \(x\). Los polinomios son, precisamente, el resultado de agotar esa construcción —sumas finitas de potencias enteras no negativas de \(x\), cada una escalada por un coeficiente real— y las funciones racionales, el paso siguiente natural, el de admitir también el cociente.

Este capítulo persigue una pregunta que las ecuaciones cuadráticas del §1.5 dejaron parcialmente abierta: ¿cuándo tiene un polinomio una raíz, y de qué naturaleza es esa raíz? La fórmula general ya mostró, a través del discriminante \(\Delta = b^2-4ac\), que la respuesta depende del signo de una cantidad bajo un radical —pero se detuvo ahí, sin decir qué ocurre cuando ese signo es negativo. Resolver esa pregunta con el mismo rigor axiomático que ya rigió la construcción de \(\mathbb{R}\) exige extender el universo numérico mismo, antes de poder extender el universo de funciones que sobre él se construyen.

Contenido del capítulo¶

3.1 Funciones Polinomiales y sus Gráficas: Definición formal de polinomio, grado, coeficiente principal, comportamiento en los extremos del dominio como extensión directa del §2.4, multiplicidad de raíces y su efecto sobre la gráfica.
3.2 Ceros Reales de los Polinomios: División de polinomios, Teorema del Resto, Teorema del Factor, Teorema de las Raíces Racionales y acotamiento del número de ceros reales.
3.3 Números Complejos: Construcción axiomática de \(\mathbb{C}\) como \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) dotado de una estructura de cuerpo, demostración de las propiedades algebraicas, y la notación \(a+bi\) como abreviatura de esa construcción.
3.4 Raíces Complejas y Teorema Fundamental del Álgebra: Existencia de raíces sobre \(\mathbb{C}\), el teorema de las raíces conjugadas para polinomios de coeficientes reales, y la factorización completa que garantiza el Teorema Fundamental del Álgebra.
3.5 Funciones Racionales: Dominio, asíntotas verticales y horizontales como reaplicación directa del aparato \(M\)-\(\delta\)/\(\epsilon\)-\(N\) del §2.4, y la asíntota oblicua como fenómeno genuinamente nuevo.
3.6 Cierre - Epistemología y Filosofía del Álgebra: Reflexión sobre la naturaleza de \(\mathbb{C}\) como extensión antes que descubrimiento, y sobre qué significa que una construcción algebraica "exista".

"Un número complejo no es una ficción tolerada por conveniencia, sino la consecuencia inevitable de tomar en serio la pregunta que \(\mathbb{R}\) deja sin responder."