Capítulo 5 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶
5.3 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶
Seno y coseno no son, en este libro, razones entre catetos e hipotenusa: son las dos coordenadas de un punto que recorre la circunferencia unitaria. Toda propiedad que sigue —identidad pitagórica, periodicidad, paridad— se deriva de esa única definición, no se postula por separado.
§1. Definición de seno y coseno¶
Definición. Para \(t\in\mathbb{R}\), sean \(\cos t\) y \(\sin t\) la primera y la segunda coordenada, respectivamente, del punto \(W(t)\) construido en el §5.2:
Como \(W\) está definida en todo \(\mathbb{R}\) —§5.2 §4—, también lo están \(\cos\) y \(\sin\): \(\operatorname{Dom}(\cos)=\operatorname{Dom}(\sin)=\mathbb{R}\), sin excepción ni restricción de ningún tipo.
Recordatorio. No hay, en esta definición, ningún triángulo rectángulo, ningún ángulo medido en grados, y ninguna apelación a la trigonometría escolar. \(\cos t\) y \(\sin t\) son, literalmente, las coordenadas \(x\) e \(y\) de un punto ya construido —§5.2—, para el argumento \(t\) ya construido como longitud de arco —§5.1—.
La primera propiedad de seno y coseno no exige demostración nueva: es consecuencia inmediata de que \(W(t)\) vive sobre la circunferencia unitaria. Es el contenido del §2.
§2. La identidad pitagórica fundamental¶
Proposición. Para todo \(t\in\mathbb{R}\), \(\sin^2t+\cos^2t=1\).
Demostración. Por construcción, \(W(t)\) es un punto de la circunferencia unitaria \(x^2+y^2=1\) —tanto en el §3 del §5.2, donde \(W(t)=(\xi,\sqrt{1-\xi^2})\) satisface la ecuación por definición misma de la segunda coordenada, como en la extensión a los demás cuadrantes y a \(\mathbb{R}\) por periodicidad del §5.2 §4, que preserva la pertenencia a la circunferencia en cada paso—. Sustituyendo \(x=\cos t\), \(y=\sin t\), se obtiene \(\cos^2t+\sin^2t=1\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. Esta identidad no es un teorema de geometría del triángulo trasladado a este contexto: es, directamente, la ecuación de la circunferencia sobre la que \(W(t)\) fue construida a vivir. No podría no cumplirse.
La identidad pitagórica ya determina, sin más trabajo, el recorrido de ambas funciones. Es el contenido del §3.
§3. Dominio y recorrido¶
Proposición. \(\operatorname{Rec}(\cos)=\operatorname{Rec}(\sin)=[-1,1]\).
Demostración. Acotación: por la Proposición del §2, \(\cos^2t\le\cos^2t+\sin^2t=1\) —pues \(\sin^2t\ge0\)—, de donde \(|\cos t|\le1\); análogamente \(|\sin t|\le1\). Sobreyectividad sobre \([-1,1]\): dado \(c\in[-1,1]\), el punto \((c,\sqrt{1-c^2})\) satisface \(x^2+y^2=1\) —verificación algebraica directa—, luego pertenece a la circunferencia unitaria; por la construcción de \(W\) en cada cuadrante —§5.2 §3–§4—, todo punto de la circunferencia es \(W(t)\) para algún \(t\in[0,2\pi)\), en particular este. Luego \(\cos t=c\) para ese \(t\). El mismo argumento, con \((\sqrt{1-c^2},c)\) o \((-\sqrt{1-c^2},c)\) según el signo requerido, da la sobreyectividad de \(\sin\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(\operatorname{Dom}(\cos)=\operatorname{Dom}(\sin)=\mathbb{R}\): a diferencia del logaritmo del §4.3, ninguna restricción de dominio aparece aquí. \(\operatorname{Rec}(\cos)=\operatorname{Rec}(\sin)=[-1,1]\): a diferencia de la exponencial del §4.1, cuyo recorrido era un rayo infinito, aquí el recorrido está acotado —consecuencia directa de que \(W(t)\) nunca abandona la circunferencia unitaria.
La periodicidad de seno y coseno tampoco exige demostración nueva: es, otra vez, herencia directa de una propiedad ya probada para \(W\). Es el contenido del §4.
§4. Periodicidad¶
Proposición. \(\cos(t+2\pi)=\cos t\) y \(\sin(t+2\pi)=\sin t\) para todo \(t\in\mathbb{R}\).
Demostración. Inmediata de \(W(t+2\pi)=W(t)\) —§5.2 §4— y de que \(\cos\), \(\sin\) son las coordenadas de \(W\). \(\blacksquare\)
Vale la pena señalar lo que esta periodicidad implica sobre la inyectividad: ninguna de las dos funciones es inyectiva en \(\mathbb{R}\) —\(\cos(2\pi)=\cos(0)=1\), con \(2\pi\neq0\)—, de modo que, a diferencia de \(a^x\) en el Capítulo 4, no van a admitir una inversa en todo su dominio. Esa es, precisamente, la razón estructural por la que este capítulo no cierra con una sección de "funciones trigonométricas inversas" simétrica al §4.3: hace falta, primero, restringir el dominio a un intervalo donde la inyectividad sí valga —tema que excede el alcance de esta sección—.
Falta una simetría más, que no se sigue de la periodicidad: qué ocurre al invertir el signo del argumento. Es el contenido del §5.
§5. Paridad¶
Proposición. \(\cos(-t)=\cos t\) y \(\sin(-t)=-\sin t\), para todo \(t\in\mathbb{R}\) —\(\cos\) es par, \(\sin\) es impar—.
Demostración. Recorrer un arco de longitud \(t\) en sentido antihorario desde \((1,0)\), y recorrer un arco de la misma longitud \(t\) en sentido horario, son construcciones relacionadas por una reflexión: la reflexión respecto del eje \(x\) es una isometría —preserva todas las distancias, luego preserva las longitudes de arco de cualquier polígono inscrito o circunscrito aproximante—, fija al punto de partida \((1,0)\), e invierte la orientación —lo que era antihorario se vuelve horario—. Por construcción, recorrer \(t\) en sentido horario desde \((1,0)\) es, exactamente, alcanzar el punto \(W(-t)\) —la extensión a argumentos negativos del §5.2 §4, vía \(W(-t)=W(2\pi-t)\) por periodicidad, coincide con recorrer \(t\) en sentido horario—. Luego \(W(-t)\) es la reflexión de \(W(t)\) respecto del eje \(x\), es decir, si \(W(t)=(\cos t,\sin t)\), entonces \(W(-t)=(\cos t,-\sin t)\). Comparando con \(W(-t)=(\cos(-t),\sin(-t))\) por definición, se sigue \(\cos(-t)=\cos t\) y \(\sin(-t)=-\sin t\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. La paridad no es una propiedad ad hoc de dos fórmulas: es consecuencia directa de que reflejar respecto del eje \(x\) es una simetría de la circunferencia unitaria que invierte el sentido de recorrido. La misma técnica —isometría que fija el punto de partida e invierte orientación— es la que ya extendió \(W\) a los cuatro cuadrantes en el §5.2 §4.
La combinación de en qué cuadrante cae \(t\) determina, sin cálculo adicional, el signo de \(\cos t\) y de \(\sin t\). Es el contenido del §6.
§6. Signos por cuadrante¶
Por la monotonía de la coordenada \(x\) dentro del primer cuadrante —§5.2 §2—, para \(t\in(0,\pi/2)\) ambas coordenadas de \(W(t)\) son estrictamente positivas: \(\cos t\in(0,1)\), \(\sin t\in(0,1)\). Por la construcción de \(W\) en los cuadrantes restantes —§5.2 §4, cada uno obtenido por reflexión del primero— y por la paridad del §5, los signos en los cuatro cuadrantes quedan determinados sin cálculo adicional:
| Intervalo | \(\cos t\) | \(\sin t\) |
|---|---|---|
| \((0,\pi/2)\) | \(+\) | \(+\) |
| \((\pi/2,\pi)\) | \(-\) | \(+\) |
| \((\pi,3\pi/2)\) | \(-\) | \(-\) |
| \((3\pi/2,2\pi)\) | \(+\) | \(-\) |
Recordatorio. Esta tabla no se memoriza como un dato suelto: se reconstruye, en cualquier momento, recordando que \(\cos t\) y \(\sin t\) son, sencillamente, las coordenadas \(x\) e \(y\) de un punto del plano, y el signo de una coordenada depende únicamente de en qué cuadrante cae ese punto.
Con seno y coseno completamente caracterizados, las cuatro funciones trigonométricas restantes no necesitan una construcción propia: se definen como cocientes de las dos ya construidas. Es el contenido del §7.
§7. Las cuatro funciones restantes¶
Definición. Para los \(t\) donde el denominador no se anula,
Dominio de \(\tan\) y \(\sec\). Exigen \(\cos t\neq0\). Por la tabla del §6 y los valores del §5.2 §5, \(\cos t=0\) exactamente en \(t=\pi/2\) y \(t=3\pi/2\) dentro de \([0,2\pi)\) —los únicos puntos donde \(W(t)\) tiene coordenada \(x\) nula, a saber, \((0,1)\) y \((0,-1)\)—, y por periodicidad, en \(t=\pi/2+n\pi\) para \(n\in\mathbb{Z}\). Luego
Dominio de \(\cot\) y \(\csc\). Exigen \(\sin t\neq0\), es decir, \(t\neq n\pi\) —los puntos \((1,0)\) y \((-1,0)\), y sus periódicos—:
Recordatorio. Ninguna de las cuatro funciones exige una construcción geométrica propia —no hay una "función de enrollamiento" separada para la tangente—: son, sin excepción, cocientes de \(\sin\) y \(\cos\), y sus dominios son, sin excepción, los puntos donde esos cocientes están bien definidos.
Dividir la identidad pitagórica del §2 por \(\cos^2t\) o por \(\sin^2t\) produce, sin demostración nueva, dos identidades adicionales. Es el contenido del §8.
§8. Identidades derivadas¶
Proposición. Donde estén definidas, \(\tan^2t+1=\sec^2t\) y \(1+\cot^2t=\csc^2t\).
Demostración. Dividiendo la identidad del §2, \(\sin^2t+\cos^2t=1\), por \(\cos^2t\neq0\): \(\dfrac{\sin^2t}{\cos^2t}+1=\dfrac1{\cos^2t}\), es decir, \(\tan^2t+1=\sec^2t\). Dividiendo, en cambio, por \(\sin^2t\neq0\): \(1+\dfrac{\cos^2t}{\sin^2t}=\dfrac1{\sin^2t}\), es decir, \(1+\cot^2t=\csc^2t\). \(\blacksquare\)
Los únicos valores que este libro puede calcular sin tablas ni calculadora son los que ya aparecieron, de un modo u otro, en la construcción misma de \(W\). Es el contenido del §9.
§9. Valores distinguidos¶
De los puntos calculados en el §5.2 §5:
Y del punto medio del arco entre \((1,0)\) y \((0,1)\), calculado explícitamente en el §5.2 §1 como ejemplo de la bisección —\(C=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)\)—:
Ningún otro valor —\(\pi/6\), \(\pi/3\), y los que suelen tabularse en un curso de trigonometría elemental— se obtiene directamente de la construcción de este libro: requerirían un polígono de partida distinto —un hexágono o un triángulo equilátero—, que el §5.1 evitó deliberadamente por depender, para justificar sus ángulos, de la noción de \(\pi\) que se estaba construyendo. Quedan, entonces, fuera del alcance inmediato de esta sección.
§10. Ejercicios resueltos¶
Ejercicio 1. Calcular \(\tan(\pi/4)\).
Solución. Por el §9, \(\sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\sqrt2/2\neq0\), de modo que \(\pi/4\in\operatorname{Dom}(\tan)\) —§7—, y \(\tan(\pi/4)=\dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1\).
Ejercicio 2. Calcular \(\cos(3\pi/4)\).
Solución. Como \(3\pi/4=\pi-\pi/4\), y \(3\pi/4\in(\pi/2,\pi)\) —segundo cuadrante, donde \(\cos\) es negativo por el §6—, se busca un punto relacionado con \(\pi/4\) por simetría. La reflexión respecto del eje \(y\) —que invierte el signo de la coordenada \(x\) y preserva la \(y\)— relaciona \(W(\pi/4)\) con \(W(\pi-\pi/4)\), por un argumento de isometría análogo al del §5: recorrer \(\pi/4\) desde \((1,0)\) y recorrer \(\pi/4\) hacia atrás desde \((-1,0)\) son construcciones simétricas respecto del eje \(y\). Luego \(\cos(3\pi/4)=-\cos(\pi/4)=-\sqrt2/2\) y \(\sin(3\pi/4)=\sin(\pi/4)=\sqrt2/2\) —verificable también por la tabla de signos del §6, que exige \(\cos<0\), \(\sin>0\) en ese cuadrante, consistente con el resultado—.
Ejercicio 3. Verificar la identidad pitagórica para \(t=\pi/4\).
Solución. \(\sin^2(\pi/4)+\cos^2(\pi/4)=\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2=\dfrac12+\dfrac12=1\). \(\checkmark\)
§11. Cierre¶
Las seis funciones de esta sección comparten un origen único —dos coordenadas de un punto sobre una circunferencia— y todas sus propiedades, sin excepción, se derivaron de esa definición: la identidad pitagórica es la ecuación de la circunferencia misma; la periodicidad, la periodicidad ya probada de \(W\); la paridad, una reflexión que invierte orientación; los signos por cuadrante, la posición del punto en el plano. No hubo, en toda la sección, una sola propiedad postulada por separado o verificada mediante un triángulo rectángulo dibujado aparte.
Queda, para la sección siguiente, traducir esta caracterización algebraica en una imagen: qué forma tiene la gráfica de cada una de estas seis funciones, y qué papel cumplen la periodicidad y la paridad recién demostradas en la forma concreta de esa gráfica.
El §5.4 construye las gráficas trigonométricas a partir de las propiedades ya demostradas en esta sección, sin agregar ninguna propiedad nueva que no se haya probado aquí.