3.2 Ceros Reales de los Polinomios
3.2 — Ceros Reales de los Polinomios¶
Toda raíz es, antes que nada, un factor que todavía no fue extraído.
El §1.3 enseñó a factorizar por inspección: reconocer un factor común, agrupar términos, identificar un producto notable, resolver un trinomio cuadrático mediante su fórmula general. Esas técnicas alcanzan para los casos que allí se trataron, pero ninguna de ellas dice qué hacer frente a \(p(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24\): ningún factor común lo simplifica, ningún producto notable lo reconoce, y su grado excede lo que la fórmula general resuelve. Hace falta una herramienta más general, y esa herramienta es la división.
§1. El algoritmo de la división¶
La división de polinomios responde exactamente a la misma pregunta que la división de enteros: dado un dividendo y un divisor, ¿qué cociente y qué resto se obtienen? La respuesta tiene, aquí, la misma estructura y la misma garantía de unicidad.
Teorema (algoritmo de la división). Sean \(p(x)\) y \(d(x)\) polinomios con \(d(x)\) no el polinomio cero. Existen polinomios únicos \(q(x)\) y \(r(x)\) tales que
Demostración. Existencia. Se procede por inducción fuerte sobre \(\deg(p)\). Si \(\deg(p)<\deg(d)\), tómese \(q(x)=0\) y \(r(x)=p(x)\); la condición se cumple trivialmente. Para el paso inductivo, supóngase \(\deg(p)=n\geq\deg(d)=k\), y que el teorema vale para todo polinomio de grado menor que \(n\). Sean \(a_n\) el coeficiente principal de \(p\) y \(b_k\) el de \(d\). El polinomio
está construido precisamente para cancelar el término de grado \(n\): su coeficiente en \(x^n\) es \(a_n - \frac{a_n}{b_k}b_k = 0\), de modo que \(\deg(p_1)<n\). Por hipótesis inductiva, existen \(q_1(x)\) y \(r(x)\) con \(p_1(x)=d(x)q_1(x)+r(x)\) y \(r(x)=0\) o \(\deg(r)<\deg(d)\). Sustituyendo,
que es la forma buscada, con \(q(x)=\frac{a_n}{b_k}x^{n-k}+q_1(x)\).
Unicidad. Supóngase \(p(x)=d(x)q_1(x)+r_1(x)=d(x)q_2(x)+r_2(x)\), ambas descomposiciones satisfaciendo la condición sobre el grado del resto. Restando,
Si \(q_1\neq q_2\), el lado izquierdo tiene grado al menos \(\deg(d)\) —el grado de un producto es la suma de los grados, por la misma propiedad usada al factorizar en el §1.3—, mientras que el lado derecho, diferencia de dos polinomios de grado menor que \(\deg(d)\), tiene grado menor que \(\deg(d)\) o es el polinomio cero. Esto es una contradicción, salvo que ambos lados sean el polinomio cero: \(q_1=q_2\), y en consecuencia \(r_1=r_2\). \(\blacksquare\)
El procedimiento constructivo que la demostración describe —cancelar el término de mayor grado, restar, repetir sobre el resto parcial hasta que su grado caiga por debajo del de \(d\)— es exactamente el algoritmo de la división larga de polinomios, la misma mecánica que ya es familiar de la división larga de enteros. Cuando el divisor tiene la forma particular \(d(x)=x-c\), ese procedimiento se simplifica hasta convertirse en la división sintética: en cada paso, el coeficiente del cociente se multiplica por \(c\) y se suma al coeficiente siguiente, en lugar de repetir la resta completa. Es el mismo algoritmo del teorema, especializado a \(\deg(d)=1\), no uno distinto.
Recordatorio. Dividir \(p(x)\) por \(d(x)\) produce un cociente \(q(x)\) y un resto \(r(x)\) únicos, con \(\deg(r)<\deg(d)\). Cuando \(d(x)=x-c\), ese resto es, además, un número: un polinomio de grado menor que \(1\) es necesariamente constante.
§2. El Teorema del Resto y el Teorema del Factor¶
La observación final del §1 —que dividir por \(x-c\) deja un resto constante— tiene una consecuencia que no es evidente a primera vista: ese resto puede calcularse sin dividir.
Teorema (del Resto). Si \(p(x)\) se divide por \(x-c\), el resto es \(p(c)\).
Demostración. Por el §1, \(p(x)=(x-c)q(x)+r\) con \(r\) constante. Evaluando ambos lados en \(x=c\):
El teorema convierte una pregunta sobre división —¿cuál es el resto?— en una de simple evaluación, y de inmediato aísla el caso en que ese resto se anula.
Teorema (del Factor). \(c\) es raíz de \(p\) si y solo si \((x-c)\) divide a \(p(x)\) exactamente, es decir, con resto \(0\).
Demostración. Por el Teorema del Resto, el resto de dividir \(p(x)\) por \((x-c)\) es \(p(c)\). Este resto es \(0\) exactamente cuando \(p(c)=0\), es decir, exactamente cuando \(c\) es raíz de \(p\). \(\blacksquare\)
Este es el resultado que el §1.3 dejó pendiente: allí, factorizar un trinomio cuadrático significaba encontrar sus dos raíces mediante la fórmula general y escribir \(a(x-x_1)(x-x_2)\). El Teorema del Factor generaliza ese procedimiento a cualquier grado, sin necesitar una fórmula general —que, de hecho, no existe para grado cinco o superior—: basta con adivinar o localizar una raíz \(c\) por otros medios, y la división por \((x-c)\) entrega el resto de la factorización, de grado uno menor, sobre el cual el proceso puede repetirse.
Recordatorio. Evaluar \(p(c)\) y dividir \(p(x)\) por \((x-c)\) dan, en cierto sentido, la misma información: el valor de la evaluación es el resto de la división. Si ese valor es \(0\), \((x-c)\) es un factor exacto de \(p(x)\).
§3. El Teorema de las Raíces Racionales¶
El Teorema del Factor resuelve el problema de verificar si un número dado es raíz, pero no dice de dónde extraer ese candidato. Cuando los coeficientes de \(p\) son enteros, es posible acotar de antemano el conjunto de candidatos racionales a examinar.
Teorema (de las Raíces Racionales). Sea \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) con todos los \(a_i\in\mathbb{Z}\) y \(a_0,a_n\neq0\). Si \(\frac{s}{t}\) es una raíz racional de \(p\), escrita en términos mínimos (\(s,t\in\mathbb{Z}\), \(t\neq0\), sin factores comunes), entonces \(s\) divide a \(a_0\) y \(t\) divide a \(a_n\).
Demostración. Supóngase \(p(s/t)=0\), con \(s/t\) en términos mínimos:
Multiplicando ambos lados por \(t^n\),
Despejando el término \(a_0t^n\),
el lado derecho es un múltiplo entero de \(s\), de modo que \(s\) divide a \(a_0t^n\). Como \(s\) y \(t\) no comparten factores —y por lo tanto tampoco \(s\) y \(t^n\)—, se sigue que \(s\) divide a \(a_0\). El argumento simétrico, despejando \(a_ns^n\) en lugar de \(a_0t^n\), muestra que \(t\) divide a \(a_n\). \(\blacksquare\)
El teorema no garantiza que alguno de esos candidatos sea, en efecto, una raíz —ni siquiera garantiza que \(p\) tenga alguna raíz racional—; lo que aporta es una lista finita y calculable de candidatos, sobre la cual el Teorema del Factor puede aplicarse por verificación directa. Para \(p(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24\), del §1, los candidatos son los divisores de \(24\) —ya que el coeficiente principal es \(1\)—, y basta evaluar entre ellos.
Recordatorio. El Teorema de las Raíces Racionales acota la búsqueda, no la garantiza. Los candidatos son \(\pm\dfrac{\text{divisores de }a_0}{\text{divisores de }a_n}\); cuáles de ellos son raíces reales, en su caso, se decide evaluando.
§4. Acotamiento del número de ceros reales¶
Queda una última pregunta estructural, que ya rozó el §3.1 al hablar de multiplicidad sin precisar cuántas raíces, en total, puede tener un polinomio.
Proposición. Un polinomio \(p\) de grado \(n\geq1\) tiene, a lo sumo, \(n\) raíces reales, contadas con multiplicidad.
Demostración. Por inducción sobre \(n\). Si \(n=1\), \(p(x)=a_1x+a_0\) con \(a_1\neq0\) tiene exactamente una raíz, \(x=-a_0/a_1\): la proposición vale. Supóngase el resultado válido para todo grado menor que \(n\), y sea \(\deg(p)=n\). Si \(p\) no tiene raíces reales, la proposición vale trivialmente. Si \(c\) es una raíz, el Teorema del Factor garantiza \(p(x)=(x-c)q(x)\) con \(\deg(q)=n-1\). Toda raíz de \(p\) distinta de \(c\) debe anular \((x-c)q(x)\) sin anular \((x-c)\), y por lo tanto debe anular \(q(x)\): las raíces de \(p\) son \(c\) junto con las raíces de \(q\), sin otras. Por hipótesis inductiva, \(q\) tiene a lo sumo \(n-1\) raíces contadas con multiplicidad, de modo que \(p\) tiene a lo sumo \(1+(n-1)=n\). \(\blacksquare\)
Esta cota es, en general, estricta: nada garantiza que las \(n\) raíces existan, ni siquiera una sola. El caso más simple posible ya lo exhibe: \(p(x)=x^2+1\) tiene grado \(2\), pero ningún real satisface \(x^2=-1\), exactamente la misma imposibilidad que el §1.3 señaló para la suma de cuadrados y que el §1.2 estableció para la raíz par de un negativo. La cota de esta sección dice cuántas raíces reales puede tener un polinomio como máximo; no dice qué ocurre con las que faltan.
Recordatorio. Un polinomio de grado \(n\) tiene a lo sumo \(n\) raíces reales, contadas con multiplicidad —nunca más, pero posiblemente menos, incluso ninguna—.
Las herramientas de esta sección —división, Teorema del Factor, Teorema de las Raíces Racionales, la cota por el grado— resuelven por completo el problema de encontrar las raíces reales de un polinomio, cuando existen. Pero la pregunta que cierra el §4 quedó deliberadamente sin responder: ¿qué son las raíces que \(x^2+1\) no tiene en \(\mathbb{R}\)? Contestarla exige extender el sistema numérico mismo, y ese es el objeto de la sección siguiente.