Capítulo 6 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶
6.3 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶
El triángulo rectángulo solo ve un cuadrante; la circunferencia ve los cuatro, y de ella se deduce todo lo que el triángulo no alcanza a decir.
El §6.2 demostró que las razones del triángulo rectángulo son las coordenadas de \(W(\theta)\), pero solo para ángulos agudos: un triángulo rectángulo no puede contener un ángulo de \(2\pi/3\), ni uno negativo, ni uno de tres vueltas. Las funciones del Capítulo 5, en cambio, no reconocen esa frontera. Esta sección completa la traducción. Establece qué significan las seis funciones cuando se evalúan en un ángulo cualquiera, cómo se calculan a partir de un punto arbitrario de su lado final, qué signo toman en cada cuadrante, y cómo todo valor se reduce, salvo el signo, al de un ángulo agudo, que es donde el §6.2 ya sabe calcular.
§1. Las seis funciones de un ángulo¶
Definición. Las seis funciones trigonométricas de un ángulo en posición estándar de medida \(\theta\) son los valores en el número real \(\theta\) de las seis funciones del Capítulo 5: \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\), \(\csc\theta\), \(\sec\theta\) y \(\cot\theta\). Si la medida se da en grados, se convierte primero según el §6.1 §4.
No se ha introducido, por tanto, ninguna función nueva: hablar de las funciones de un ángulo es hablar de las funciones de su medida. Falta comprobar que la noción es coherente, porque un mismo lado final corresponde a infinitas medidas, y no debería importar cuál se elija.
Proposición. Si dos ángulos en posición estándar son coterminales, sus seis funciones trigonométricas coinciden.
Demostración. Por la proposición del §6.1 §2, si \(\theta\) y \(\theta'\) son coterminales entonces \(W(\theta)=W(\theta')\). Como \(\cos\theta\) y \(\sin\theta\) son las coordenadas de \(W(\theta)\), se tiene \(\cos\theta=\cos\theta'\) y \(\sin\theta=\sin\theta'\). Las otras cuatro funciones son cocientes de estas dos (§5.3), luego también coinciden allí donde están definidas. \(\blacksquare\)
Las funciones dependen, entonces, únicamente del lado final del ángulo, no de cuántas vueltas dio ni en qué sentido para llegar hasta él.
Recordatorio. Las funciones de un ángulo son las del Capítulo 5 evaluadas en su medida en radianes. Ángulos coterminales tienen las mismas seis funciones.
§2. Puntos sobre el lado final¶
El §6.2 calculó las razones a partir de los lados de un triángulo. Para un ángulo cualquiera no hay triángulo, pero hay algo mejor: cualquier punto del lado final permite calcular las seis funciones, sin necesidad de que ese punto esté en la circunferencia unitaria.
Teorema. Sea \(\theta\in\mathbb{R}\) y sea \(P=(x,y)\) un punto distinto del origen sobre el lado final del ángulo de medida \(\theta\), con \(r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\). Entonces $\(\sin\theta=\frac{y}{r}\qquad\cos\theta=\frac{x}{r}\qquad\tan\theta=\frac{y}{x}\ (x\neq0)\)$ $\(\csc\theta=\frac{r}{y}\ (y\neq0)\qquad\sec\theta=\frac{r}{x}\ (x\neq0)\qquad\cot\theta=\frac{x}{y}\ (y\neq0)\)$
Demostración. El lado final es la semirrecta que parte del origen y pasa por \(W(\theta)\), es decir, el conjunto de los puntos \(\lambda W(\theta)\) con \(\lambda>0\). Luego \(P=\lambda W(\theta)=(\lambda\cos\theta,\lambda\sin\theta)\) para algún \(\lambda>0\). Por la identidad fundamental del §5.3, \(r=\sqrt{\lambda^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\lambda\), de donde \(x=r\cos\theta\) e \(y=r\sin\theta\), que equivale a las dos primeras igualdades. Las demás son cocientes de estas, y están definidas exactamente donde el denominador no se anula: \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\) y \(\sec\theta=1/\cos\theta\) requieren \(\cos\theta\neq0\), es decir \(x\neq0\), y \(\csc\theta=1/\sin\theta\) y \(\cot\theta=\cos\theta/\sin\theta\) requieren \(\sin\theta\neq0\), es decir \(y\neq0\). \(\blacksquare\)
Geométricamente, \(P\) es la imagen de \(W(\theta)\) por la homotecia \(H_r\) del §6.1 §3, y el teorema dice que las razones \(y/r\) y \(x/r\) no cambian al agrandar la figura: es la misma idea de semejanza del §6.2, liberada de la restricción a triángulos con ángulo agudo, ya que el punto \(P\) puede estar en cualquier cuadrante.
Figura 6.5 — Un ángulo \(\theta\) cuyo lado final pasa por \(P=(-3,4)\). El triángulo con vértices \(O\), \((-3,0)\) y \(P\) tiene hipotenusa \(r=5\); el ángulo \(\bar\theta\), agudo, es el que forma el lado final con el eje \(x\).
Ejemplos. Sea \(\theta\) un ángulo cuyo lado final pasa por \(P=(-3,4)\), como en la Figura 6.5. Aquí \(r=\sqrt{9+16}=5\), y por el teorema $\(\sin\theta=\frac45,\quad\cos\theta=-\frac35,\quad\tan\theta=-\frac43,\quad\csc\theta=\frac54,\quad\sec\theta=-\frac53,\quad\cot\theta=-\frac34\)$ Si en cambio el lado final pasa por \(P=(5,-12)\), entonces \(r=\sqrt{25+144}=13\), y resulta \(\sin\theta=-\dfrac{12}{13}\), \(\cos\theta=\dfrac{5}{13}\) y \(\tan\theta=-\dfrac{12}{5}\).
Recordatorio. Si \(P=(x,y)\neq O\) está en el lado final y \(r=\sqrt{x^2+y^2}\): \(\sin\theta=y/r\), \(\cos\theta=x/r\), \(\tan\theta=y/x\), y los recíprocos. La demostración es que \(P=r W(\theta)\).
§3. Cuadrantes y signos¶
Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones abiertas, los cuadrantes, que se numeran I, II, III y IV en sentido antihorario a partir del que contiene a los puntos con ambas coordenadas positivas. Se dice que un ángulo está en el cuadrante \(k\) si su lado final, sin contar el origen, está contenido en ese cuadrante; si el lado final es uno de los semiejes, el ángulo se llama cuadrantal y no está en ningún cuadrante.
Lema. Sea \(\alpha\in[0,2\pi)\) la medida principal de un ángulo. El ángulo es cuadrantal si y solo si \(\alpha\in\{0,\pi/2,\pi,3\pi/2\}\); en los demás casos, está en el cuadrante I si \(0<\alpha<\pi/2\), en el II si \(\pi/2<\alpha<\pi\), en el III si \(\pi<\alpha<3\pi/2\) y en el IV si \(3\pi/2<\alpha<2\pi\).
Demostración. Por el §5.2 §5, \(W(0)=(1,0)\), \(W(\pi/2)=(0,1)\), \(W(\pi)=(-1,0)\) y \(W(3\pi/2)=(0,-1)\): los cuatro puntos de la circunferencia sobre los ejes. Como la longitud de arco crece estrictamente al avanzar sobre la circunferencia (§5.2), los puntos \(W(\alpha)\) con \(\alpha\) comprendido entre dos de estos valores consecutivos son exactamente los del arco abierto que une los dos puntos correspondientes, y ese arco está contenido en el cuadrante que separan. Como el lado final del ángulo de medida \(\alpha\) es la semirrecta por \(W(\alpha)\), y \(W(\alpha)\) está en el mismo cuadrante que todos los puntos de esa semirrecta salvo el origen, el resultado se sigue. Y por la proposición del §6.1 §2, el ángulo de medida \(\theta\) es coterminal con el de medida \(\alpha\), de modo que ambos comparten lado final. \(\blacksquare\)
De aquí y del teorema del §2 se obtienen los signos de las seis funciones.
Proposición (signos). Para un ángulo que no es cuadrantal, los signos de las funciones trigonométricas dependen únicamente del cuadrante:
| Cuadrante | \(\sin\theta,\ \csc\theta\) | \(\cos\theta,\ \sec\theta\) | \(\tan\theta,\ \cot\theta\) |
|---|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| III | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| IV | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Demostración. Sea \(P=(x,y)\) un punto del lado final y \(r>0\) su distancia al origen. Por el teorema del §2, \(\sin\theta=y/r\) y \(\cos\theta=x/r\) tienen el signo de \(y\) y de \(x\) respectivamente, y \(\tan\theta=y/x\) es positivo cuando \(x\) e \(y\) tienen el mismo signo y negativo cuando tienen signos opuestos. Cada cuadrante fija los signos de \(x\) e \(y\): \((+,+)\) en el I, \((-,+)\) en el II, \((-,-)\) en el III y \((+,-)\) en el IV. Cada recíproco tiene el signo de la función de la que proviene. \(\blacksquare\)
Ejemplo. Si \(\sin\theta=\dfrac35\) y el ángulo está en el cuadrante II, se toma un punto del lado final con \(y=3\) y \(r=5\), de donde \(|x|=\sqrt{25-9}=4\), y como en el cuadrante II la abscisa es negativa, \(x=-4\). Entonces \(\cos\theta=-\dfrac45\), \(\tan\theta=-\dfrac34\), \(\csc\theta=\dfrac53\), \(\sec\theta=-\dfrac54\) y \(\cot\theta=-\dfrac43\).
Recordatorio. En el cuadrante I, las seis funciones son positivas; en el II, solo \(\sin\) y \(\csc\); en el III, solo \(\tan\) y \(\cot\); en el IV, solo \(\cos\) y \(\sec\). Cada signo es el de \(y\), el de \(x\) o el de su cociente.
§4. El ángulo de referencia¶
El signo se determina con la tabla del §3. Falta el valor absoluto, y para calcularlo basta reducir el ángulo a uno agudo.
Definición. Sea \(\theta\) un ángulo no cuadrantal, de medida principal \(\alpha\in(0,2\pi)\). Su ángulo de referencia \(\bar\theta\) es el ángulo agudo que forma su lado final con el eje de abscisas, es decir, $\(\bar\theta=\alpha\ \text{(cuadrante I)},\qquad\bar\theta=\pi-\alpha\ \text{(II)},\qquad\bar\theta=\alpha-\pi\ \text{(III)},\qquad\bar\theta=2\pi-\alpha\ \text{(IV)}\)$ En todos los casos \(0<\bar\theta<\pi/2\), por el lema del §3.
Figura 6.6 — El ángulo de referencia \(\bar\theta\) en cada cuadrante: siempre es el ángulo agudo entre el lado final y el eje \(x\). En cada caso, el segmento punteado es el cateto vertical del triángulo de referencia.
Lema (reducción al primer cuadrante). Para \(0<t<\pi/2\), $\(W(\pi-t)=(-\cos t,\ \sin t)\qquad W(\pi+t)=(-\cos t,\ -\sin t)\qquad W(2\pi-t)=(\cos t,\ -\sin t)\)$
Demostración. Las aplicaciones \(\rho_1(x,y)=(-x,y)\), \(\rho_2(x,y)=(-x,-y)\) y \(\rho_3(x,y)=(x,-y)\) transforman la circunferencia unitaria en sí misma, porque no alteran \(x^2+y^2\), y conservan las distancias por la fórmula del §1.8, de modo que conservan la longitud de todo arco. Sea \(Q=W(t)=(\cos t,\sin t)\), con ambas coordenadas positivas. El arco de \(W(0)=(1,0)\) a \(Q\) tiene longitud \(t\). Su imagen por \(\rho_1\) es un arco de longitud \(t\) que une \(\rho_1(1,0)=(-1,0)=W(\pi)\) con \(\rho_1(Q)=(-\cos t,\sin t)\). Por la definición de \(W\) (§5.2), los únicos puntos que distan \(t\) de \(W(\pi)\) a lo largo de un arco, con \(0<t<\pi\), son \(W(\pi-t)\) y \(W(\pi+t)\). Como \(\rho_1(Q)\) tiene abscisa negativa y ordenada positiva, está en el cuadrante II, mientras que \(W(\pi+t)\) está en el III por el lema del §3, de modo que \(\rho_1(Q)=W(\pi-t)\). El razonamiento es el mismo para los otros dos casos: \(\rho_2(Q)=(-\cos t,-\sin t)\) dista \(t\) de \(W(\pi)\) y está en el cuadrante III, y de los dos candidatos \(W(\pi\pm t)\) solo \(W(\pi+t)\) está allí; y \(\rho_3(Q)=(\cos t,-\sin t)\) dista \(t\) de \(W(0)\) y está en el cuadrante IV, y de los candidatos \(W(t)\) y \(W(-t)=W(2\pi-t)\) solo el segundo está allí. \(\blacksquare\)
El parámetro \(t\) del lema es un número real cualquiera del intervalo \((0,\pi/2)\), y cobra su sentido cuando se lo identifica con un ángulo de referencia. En particular, si \(t=\bar\theta\) es el ángulo de referencia de un ángulo \(\theta\) de medida principal \(\alpha\), las tres igualdades del lema dan las coordenadas de \(W(\alpha)\) en los cuadrantes II, III y IV, según \(\alpha=\pi-\bar\theta\), \(\alpha=\pi+\bar\theta\) o \(\alpha=2\pi-\bar\theta\), que es la lectura de la Figura 6.6. Del lema se sigue el resultado central de la sección.
Proposición. Si \(\theta\) es un ángulo no cuadrantal con ángulo de referencia \(\bar\theta\), entonces $\(|\sin\theta|=\sin\bar\theta\qquad|\cos\theta|=\cos\bar\theta\qquad|\tan\theta|=\tan\bar\theta\)$ y análogamente para las tres funciones recíprocas. Por tanto, cada función trigonométrica de \(\theta\) es igual, en valor absoluto, a la del ángulo de referencia, y su signo es el que da la tabla del §3.
Demostración. Sea \(\alpha\) la medida principal de \(\theta\); por la proposición del §1, las funciones de \(\theta\) son las de \(\alpha\). En el cuadrante I, \(\bar\theta=\alpha\) y no hay nada que probar. En el II, \(\alpha=\pi-\bar\theta\), y por el lema \(W(\alpha)=(-\cos\bar\theta,\sin\bar\theta)\); en el III, \(\alpha=\pi+\bar\theta\) y \(W(\alpha)=(-\cos\bar\theta,-\sin\bar\theta)\); en el IV, \(\alpha=2\pi-\bar\theta\) y \(W(\alpha)=(\cos\bar\theta,-\sin\bar\theta)\). En todos los casos las coordenadas de \(W(\alpha)\) son \(\pm\cos\bar\theta\) y \(\pm\sin\bar\theta\), de donde se leen \(|\cos\theta|=\cos\bar\theta\) y \(|\sin\theta|=\sin\bar\theta\) (ambos positivos, por ser \(\bar\theta\) agudo), y los cocientes y recíprocos siguen de allí. \(\blacksquare\)
El lema vale, en realidad, para todo \(t\in\mathbb{R}\), y las igualdades que contiene son casos de las identidades del §7.1. [Esa extensión se demuestra en el §7.1 §3.]
Método de cálculo. Para calcular una función trigonométrica de un ángulo no cuadrantal: se reduce la medida a su medida principal \(\alpha\in(0,2\pi)\); se determina el cuadrante y con él el ángulo de referencia \(\bar\theta\); se calcula la función en \(\bar\theta\), en general con la tabla del §6.2 §4; y se antepone el signo que la tabla del §3 asigna a esa función en ese cuadrante.
Ejemplos. Como \(\dfrac{5\pi}{6}\) está en el cuadrante II, con \(\bar\theta=\pi-\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\), y el seno es positivo allí, \(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\). Como \(\dfrac{7\pi}{6}\) está en el cuadrante III, con \(\bar\theta=\dfrac{7\pi}{6}-\pi=\dfrac{\pi}{6}\), y el coseno es negativo allí, \(\cos\dfrac{7\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\). Para \(\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\), la medida principal es \(-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}\), en el cuadrante IV, con \(\bar\theta=2\pi-\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\), y la tangente es negativa allí: \(\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\tan\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt3\). Para \(\sec\dfrac{5\pi}{4}\), el ángulo está en el cuadrante III con \(\bar\theta=\dfrac{\pi}{4}\), luego \(\cos\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) y \(\sec\dfrac{5\pi}{4}=-\sqrt2\). Con una medida grande, \(\dfrac{13\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}{3}\) tiene medida principal \(\dfrac{\pi}{3}\), así que \(\sin\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\). Y en grados: \(\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12\), \(\cos240^\circ=-\cos60^\circ=-\dfrac12\) y \(\tan315^\circ=-\tan45^\circ=-1\).
Recordatorio. El ángulo de referencia \(\bar\theta\) es el agudo entre el lado final y el eje \(x\): \(\alpha\), \(\pi-\alpha\), \(\alpha-\pi\) o \(2\pi-\alpha\) según el cuadrante. \(|f(\theta)|=f(\bar\theta)\) para las seis funciones; el signo lo da el cuadrante.
§5. Ángulos cuadrantales¶
Los ángulos cuadrantales quedaron excluidos del método anterior porque su lado final está sobre un eje y no forman ángulo agudo con él. Sus valores se leen directamente de las coordenadas de los cuatro puntos distinguidos del §5.2, con el teorema del §2 y \(r=1\).
| \(\theta\) | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) | \(\csc\theta\) | \(\sec\theta\) | \(\cot\theta\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | no def. | \(1\) | no def. |
| \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(1\) | \(0\) | no def. | \(1\) | no def. | \(0\) |
| \(\pi\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | no def. | \(-1\) | no def. |
| \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(-1\) | \(0\) | no def. | \(-1\) | no def. | \(0\) |
Las celdas «no def.» corresponden a los casos en que el teorema del §2 exige \(x\neq0\) o \(y\neq0\) y la condición falla: \(\tan\) y \(\sec\) no existen cuando el lado final está sobre el eje \(y\), y \(\csc\) y \(\cot\) no existen cuando está sobre el eje \(x\). Es el mismo hecho que el §5.3 recogió al determinar los dominios de cada función.
Recordatorio. En un ángulo cuadrantal, \((\cos\theta,\sin\theta)\) es uno de \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\), y las funciones que dividen por una coordenada nula no están definidas.
La pregunta con que terminó el §6.2 tiene ahora respuesta. El seno de un ángulo obtuso, o de un ángulo negativo, no es el de un triángulo; es la ordenada de un punto de la circunferencia, y su signo indica de qué lado del eje \(x\) está ese punto. El triángulo rectángulo, sin embargo, no desaparece: reaparece, en cada cuadrante, como el triángulo de referencia que se forma bajando desde el punto una perpendicular al eje \(x\), cuyo ángulo agudo es \(\bar\theta\) y cuyos catetos miden \(|x|\) e \(|y|\). Todo lo que el §6.2 sabe calcular sirve entonces para cualquier ángulo, y lo que cambia al pasar de un cuadrante a otro se limita a la orientación de esos catetos, que es exactamente lo que registra el signo. Ese principio tiene una consecuencia que el capítulo aprovechará de inmediato: como \(\sin\theta=\sin(\pi-\theta)\), un ángulo obtuso y su suplemento tienen el mismo seno, y esa coincidencia, que aquí es un simple caso del lema de reducción, es la que explicará por qué al resolver un triángulo a partir del seno de uno de sus ángulos puede haber dos soluciones.
Con las seis funciones ya definidas para todo ángulo, el capítulo pasa de los triángulos rectángulos a los triángulos cualesquiera. La primera herramienta es una igualdad entre los lados de un triángulo y los senos de sus ángulos, y sus ángulos obtusos exigen justamente lo que esta sección estableció. Ese es el tema de la sección siguiente.