Capítulo 9 — Las Cónicas como Lugares Geométricos¶
9.9 — Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas¶
Las cónicas fueron primero cortes de un cono, después lugares, después ecuaciones y después órbitas; cada época creyó saber qué eran, y cada una tenía razón.
Este capítulo presentó las cónicas en un orden lógico. Primero vinieron las condiciones métricas, después las ecuaciones que las traducen, después la clasificación de todas las ecuaciones de segundo grado y, al final, una sola ecuación polar para las tres curvas. La historia las encontró en un orden casi inverso, y con otras preguntas en mente. Seguir ese orden no agrega teoremas, pero muestra algo que la exposición lógica esconde: que un mismo objeto matemático puede definirse de maneras que no se parecen en nada, y que buena parte del trabajo matemático consiste en probar que esas definiciones hablan de lo mismo.
§1. Un problema sin solución con regla y compás¶
Las cónicas entraron en la matemática griega como herramienta para un problema que no las mencionaba. Hacia mediados del siglo IV a. C. circulaba el problema de la duplicación del cubo: construir el lado de un cubo de volumen doble que otro dado, es decir, un segmento de longitud \(\sqrt[3]{2}\) veces una longitud dada. Hipócrates de Quíos lo había reducido a encontrar dos medias proporcionales entre \(a\) y \(2a\), dos segmentos \(x\) e \(y\) con
Menecmo, discípulo de Eudoxo, observó que esas proporciones equivalen a las igualdades \(x^2=ay\), \(y^2=2ax\) y \(xy=2a^2\). Cada una describe una curva, y el segmento buscado se obtiene intersecando dos de ellas. En el lenguaje de este capítulo, \(x^2=ay\) es una parábola del §9.2 y \(xy=2a^2\) es una hipérbola equilátera del §9.6. Su intersección cumple \(x^3=2a^3\). Menecmo no tenía coordenadas ni ecuaciones; tenía proporciones entre segmentos y la intuición de que ciertas curvas las realizaban. Las obtuvo cortando conos.
Durante más de un siglo se usaron conos circulares rectos cortados por un plano perpendicular a una generatriz, y el tipo de curva dependía del ángulo del cono: agudo, recto u obtuso. Las curvas se llamaban, en consecuencia, sección del cono acutángulo, del rectángulo y del obtusángulo. La clasificación estaba en el cono, no en la curva. Lo que el §9.6 decide con el signo de \(B^2-4AC\), los primeros geómetras lo decidían por la apertura del cono que habían cortado. Hoy se sabe que el problema de Menecmo no tiene solución con regla y compás, pero esa imposibilidad se demostró recién en 1837, con métodos algebraicos que los griegos no tenían. Las cónicas fueron la primera respuesta a un problema que las herramientas euclidianas no podían resolver.
§2. Apolonio y los nombres¶
Apolonio de Perga, a fines del siglo III a. C., reorganizó todo el tema en los ocho libros de sus Cónicas. De ellos se conservan cuatro en griego y tres en traducción árabe; el octavo se perdió. Su primer cambio fue obtener las tres curvas de un único cono, circular pero no necesariamente recto, prolongado más allá del vértice en dos hojas, variando la inclinación del plano de corte. La hipérbola apareció entonces con sus dos ramas, una en cada hoja. El segundo cambio fueron los nombres, que Apolonio tomó de una técnica más antigua, la aplicación de áreas.
La idea, traducida a notación moderna, es la siguiente. Si se coloca el vértice de una cónica en el origen con el eje sobre el eje \(x\), su ecuación se escribe
donde \(\ell\) es el parámetro focal del §9.8 §2 y \(e\) la excentricidad. Para la elipse basta trasladar la ecuación canónica del §9.3 al vértice \((-a,0)\) y usar \(\ell=\tfrac{b^2}{a}\) y \(1-e^2=\tfrac{b^2}{a^2}\). Apolonio comparaba el cuadrado construido sobre la ordenada \(y\) con el rectángulo de lados \(x\) y \(2\ell\). En la parábola, con \(e=1\), son iguales, y el rectángulo se aplica exactamente: parabolé. En la elipse, con \(e<1\), el cuadrado es menor, y el rectángulo queda en falta: élleipsis. En la hipérbola, con \(e>1\), el cuadrado es mayor, y hay exceso: hyperbolé. Los tres nombres, que el capítulo usó sin comentario, son una clasificación por el signo de \(1-e^2\), hecha dos mil años antes de que existiera la palabra excentricidad. La misma raíz sobrevive en la retórica, donde la hipérbole exagera y la elipsis omite.
§3. El foco, la directriz y el cono recuperado¶
Apolonio conocía los focos de la elipse y de la hipérbola, aunque no los llamaba así, y probó muchas de sus propiedades, entre ellas la de la suma y la diferencia de distancias del §9.3. La directriz aparece explícitamente mucho después, en la Colección de Pappus de Alejandría, a comienzos del siglo IV d. C. Pappus enuncia y demuestra que el lugar de los puntos cuya distancia a un punto guarda una razón fija con su distancia a una recta es una cónica, y que el tipo depende de si esa razón es menor, igual o mayor que uno. Es el teorema del §9.4, probablemente recogido de obras anteriores que se perdieron.
Quedaba una pregunta que la tradición no había cerrado del todo: por qué una curva definida por un corte de cono tiene focos. La respuesta más elegante llegó en 1822, de Germinal Pierre Dandelin. Dado un cono y un plano que lo corta en una elipse, se inscriben dos esferas en el cono, una a cada lado del plano, tangentes a la vez al cono y al plano. Cada esfera toca al plano en un punto y al cono a lo largo de una circunferencia. Si \(P\) es un punto de la curva, la distancia de \(P\) al punto de tangencia de la primera esfera es igual a la distancia de \(P\) a la circunferencia de contacto de esa esfera medida sobre la generatriz que pasa por \(P\), porque dos segmentos tangentes a una esfera desde un mismo punto miden lo mismo. Lo mismo vale para la segunda esfera. Sumando, la suma de las distancias de \(P\) a los dos puntos de tangencia es la longitud del tramo de generatriz entre las dos circunferencias, que es la misma para todas las generatrices. Los puntos de tangencia son los focos, y la condición es la del §9.3. Para la parábola hay una sola esfera, y la recta en que el plano de corte encuentra al plano de su circunferencia de contacto es la directriz. El argumento une en una figura la definición antigua y la métrica, y muestra que no eran dos definiciones sino dos descripciones de un mismo objeto.
§4. La curva convertida en ecuación¶
El cambio más profundo en la historia de las cónicas no fue un teorema nuevo sobre ellas, sino un cambio en lo que significaba estudiarlas. Hacia 1636 Pierre de Fermat escribió un breve tratado, Introducción a los lugares planos y sólidos, que circuló en manuscrito y se imprimió después de su muerte. En él mostraba que toda ecuación de primer grado en dos incógnitas describe una recta, y que toda ecuación de segundo grado describe una cónica. Es, en sustancia, el teorema de clasificación de los §9.5 y §9.6. René Descartes, en La Géométrie de 1637, desarrolló de manera independiente el método de representar curvas por ecuaciones entre coordenadas, y lo aplicó a problemas que los griegos habían dejado abiertos.
Lo que ambos hicieron fue invertir la jerarquía. Para Apolonio, la curva era el objeto y sus propiedades se demostraban con figuras. Para Fermat y Descartes, la ecuación pasó a ser una definición legítima, y la figura una manera de visualizarla. Esa inversión es la que permitió clasificar las cónicas por el grado de su ecuación y, en principio, estudiar curvas de cualquier grado. Tiene también un costo que este capítulo intentó no pagar: una ecuación puede tener un aspecto razonable y no describir nada, o describir menos o más de lo que se cree. Por eso cada deducción del capítulo se ocupó de las dos inclusiones. La geometría analítica es un diccionario entre dos lenguajes, y un diccionario necesita que las traducciones valgan en ambos sentidos.
§5. Las cónicas en el cielo¶
Durante dos mil años las cónicas fueron un tema de geometría pura. En 1609 Johannes Kepler publicó en la Astronomia nova el resultado de años de cálculos sobre las observaciones de Marte hechas por Tycho Brahe: la órbita del planeta no era un círculo, ni una combinación de círculos, sino una elipse con el Sol en uno de sus focos. La palabra foco, "hogar", era suya, introducida pocos años antes en un tratado de óptica, a propósito del punto en que un espejo parabólico concentra el calor del sol, la propiedad del §9.2 §6. Kepler formuló también un principio de continuidad que anticipa el §9.4: la parábola es una elipse con uno de sus focos en el infinito, el caso límite entre las curvas cerradas y las que se abren en dos ramas.
En 1687 Isaac Newton demostró en los Principia que las leyes de Kepler se siguen de una sola hipótesis, la de una atracción inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Demostró además que, bajo esa ley, toda órbita es una cónica con el centro de atracción en un foco, y que el tipo depende de la velocidad del cuerpo. En la formulación posterior en términos de energía, la excentricidad dice el destino del cuerpo. Una órbita con \(e<1\) es ligada, y el cuerpo regresa periódicamente, como los planetas y el cometa Halley. Con \(e=1\), el cuerpo tiene exactamente la velocidad de escape. Con \(e>1\), pasa una sola vez y se va. En 2017 se observó el primer objeto de origen interestelar conocido, llamado ʻOumuamua, y la señal decisiva de ese origen fue que su órbita alrededor del Sol era una hipérbola, con excentricidad cercana a \(1{,}2\). La ecuación polar \(r=\tfrac{\ell}{1+e\cos\theta}\) del §9.8, con \(\theta\) medido desde el perihelio, es la forma en que la mecánica celeste escribe todas esas trayectorias.
§6. Qué es una cónica¶
El capítulo dio tres respuestas a la pregunta por lo que es una cónica. Es un lugar definido por una condición métrica, como en los §9.2 al §9.4. Es el conjunto solución de una ecuación de segundo grado, como en los §9.5 y §9.6. Y la historia agrega una tercera, que el capítulo solo pudo mencionar: es una sección plana de un cono. Las tres son equivalentes en el sentido preciso de que los teoremas del capítulo, junto con el argumento de Dandelin, prueban que describen los mismos conjuntos, con la salvedad de los casos degenerados, que cada definición trata a su manera. Ninguna es "la verdadera": cada una hace visible algo que las otras ocultan. La definición métrica explica la propiedad de reflexión, la algebraica permite clasificar, y la del cono explica por qué las tres curvas forman una familia.
Hay todavía otra manera de hacer la pregunta, que desplaza el foco del objeto a la mirada. El §9.6 encontró que el discriminante no cambia al girar ni al trasladar los ejes, y el §9.4 que la excentricidad no cambia al cambiar la escala. Son las cantidades que sobreviven a ciertos cambios de punto de vista, y en ese sentido pertenecen a la curva y no al sistema de coordenadas. Felix Klein convirtió esa observación en un programa en 1872: una geometría se define por el grupo de transformaciones que considera irrelevantes, y su contenido son los invariantes de ese grupo. Bajo traslaciones y rotaciones, una elipse y una hipérbola son objetos distintos, porque el signo del discriminante los separa. Bajo cambios de escala, todas las parábolas son la misma, como probó el §9.4 §3. Y bajo las transformaciones proyectivas, las que produce la sombra de una figura proyectada desde un punto de luz sobre una pared, todas las cónicas no degeneradas son la misma curva. La sombra de un aro circular sobre una pared es una elipse, una parábola o una rama de hipérbola según la inclinación de la luz, que es exactamente el cono de Apolonio visto desde su vértice. Jean-Victor Poncelet desarrolló esa geometría en 1822, el mismo año del teorema de Dandelin.
La pregunta "¿qué es una cónica?" no tiene, entonces, una respuesta única, sino una respuesta relativa a lo que se decide ignorar. Esa relatividad no es una debilidad de la matemática, sino una de sus conquistas: saber con precisión qué depende del punto de vista y qué no. Este capítulo empezó con una advertencia del §9.1, que una ecuación no es la curva sino una descripción de sus puntos. Termina con su generalización: tampoco las coordenadas, ni las definiciones, son la curva. Lo que queda cuando se las cambia a todas es lo que la matemática llama el objeto.
Todos los objetos del libro, desde los números reales hasta las cónicas, se construyeron sobre los números naturales, que se usaron desde el primer capítulo sin fundarlos. El capítulo final vuelve al comienzo: define los naturales, demuestra el principio de inducción y lo usa para justificar lo que el libro dio por sentado.