Capítulo 5 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶
5.5 - Más Gráficas Trigonométricas¶
El §2.5 mostró cómo desplazar, reflejar y estirar cualquier función del catálogo prototipo sin rehacer su análisis desde cero. Las funciones trigonométricas admiten las mismas transformaciones —y una más, propia de su periodicidad, que ninguna función del Capítulo 2 necesitaba.
§1. Transformaciones ya conocidas¶
El desplazamiento vertical —\(\sin t+D\) mueve la gráfica \(D\) unidades hacia arriba— y la reflexión respecto del eje horizontal —\(-\sin t\) invierte cada valor— son casos particulares de las transformaciones generales ya demostradas en el §2.5, aplicadas aquí sin ninguna adaptación: ni la periodicidad ni el recorrido acotado de \(\sin\) y \(\cos\) alteran en nada esas demostraciones. No se repiten en esta sección.
Lo que el §2.5 no pudo anticipar es qué ocurre al estirar horizontalmente una función periódica: para las funciones de aquel catálogo —potencias, raíces— estirar horizontalmente cambiaba la forma de la curva, pero ninguna de ellas tenía un período que ese estiramiento pudiera alterar. Con las funciones trigonométricas, sí.
El estiramiento vertical es el más simple de tratar: no interactúa con la periodicidad en absoluto. Es el contenido del §2.
§2. Amplitud¶
Proposición. Para \(A>0\), \(\operatorname{Rec}(A\sin t)=[-A,A]\).
Demostración. Como \(\operatorname{Rec}(\sin)=[-1,1]\) —§5.3 §3—, multiplicar por \(A>0\) preserva el orden y escala el intervalo: \(\sin t\in[-1,1] \iff A\sin t\in[-A,A]\), y como \(\sin\) alcanza todo valor de \([-1,1]\), \(A\sin t\) alcanza todo valor de \([-A,A]\). \(\blacksquare\)
Definición. El número \(|A|\) se llama amplitud de \(A\sin t\) —o de \(A\cos t\)—: la mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo que la función alcanza.
Recordatorio. La amplitud no afecta el período: \(A\sin t\) completa una oscilación exactamente en el mismo intervalo \([0,2\pi)\) que \(\sin t\), solo que más alta o más baja. Multiplicar por una constante estira verticalmente; no comprime ni expande el eje horizontal.
El estiramiento horizontal, en cambio, sí interactúa con la periodicidad —y de una manera que exige demostración propia, no una analogía con el §2.5—. Es el contenido del §3.
§3. Cambio de período¶
Proposición. Para \(B>0\), \(T:=2\pi/B\) es el período mínimo positivo de \(f(t):=\sin(Bt)\).
Demostración. Que \(T\) es un período: \(f(t+T)=\sin(Bt+BT)=\sin(Bt+2\pi)=\sin(Bt)=f(t)\), usando la periodicidad de \(\sin\) —§5.3 §4—.
Que es el mínimo: supóngase que \(T'\in(0,T)\) es también un período, es decir, \(\sin(Bt+BT')=\sin(Bt)\) para todo \(t\). En particular, en \(t=0\): \(\sin(BT')=\sin(0)=0\). Como \(BT'\in(0,BT)=(0,2\pi)\), y por el §5.3 §7 los únicos ceros de \(\sin\) en \((0,2\pi)\) están en \(t=\pi\), se sigue \(BT'=\pi\), es decir, \(T'=\pi/B=T/2\). Pero entonces, evaluando la condición de periodicidad en \(t=0\) ya no basta: hace falta que valga para todo \(t\), y en particular para \(t=0\) ya se usó; pruébese en \(t=\pi/(2B)\), donde \(\sin(Bt)=\sin(\pi/2)=1\): \(\sin\!\left(Bt+BT'\right)=\sin\!\left(\frac\pi2+\pi\right)=-1\) —por la simetría central del §5.4 §2, \(\sin(u+\pi)=-\sin u\)—, que no coincide con \(\sin(Bt)=1\). Luego \(T'=T/2\) no satisface la condición de periodicidad para todo \(t\), contradicción. No queda ningún candidato en \((0,T)\), de modo que \(T\) es el período mínimo. \(\blacksquare\)
Definición. El número \(2\pi/B\) se llama el período de \(\sin(Bt)\) —o de \(\cos(Bt)\)—.
Recordatorio. Cuanto mayor es \(B\), más rápido oscila la función y más corto es su período —\(B\) "comprime" el eje horizontal—. La demostración de minimalidad no fue un trámite: descartar \(T/2\) exigió, específicamente, la simetría central del §5.4 §2, que ninguna sección anterior a esa había construido.
El desplazamiento horizontal —correr la gráfica hacia la izquierda o hacia la derecha— es, en cambio, exactamente el caso general ya cubierto por el §2.5, sin ninguna sutileza adicional. Es el contenido del §4.
§4. Desplazamiento de fase¶
Definición. En \(y=\sin(t-C)\), el número \(C\) se llama desplazamiento de fase: la gráfica de \(\sin t\) desplazada \(C\) unidades horizontalmente —a la derecha si \(C>0\)—, exactamente según la transformación general del §2.5.
No hace falta demostración propia: es la misma transformación horizontal \(f(t-C)\) del §2.5, con \(f=\sin\).
Combinando las cuatro transformaciones —amplitud, período, fase, desplazamiento vertical— en una sola expresión, se obtiene la forma general que aparece en casi cualquier aplicación real de estas funciones. Es el contenido del §5.
§5. La forma general¶
tiene amplitud \(A\) —§2—, período \(2\pi/B\) —§3—, desplazamiento de fase \(C\) —§4—, y desplazamiento vertical \(D\) —§2.5—. Cada parámetro afecta a la gráfica de manera independiente de los otros tres: modificar uno no altera lo que los demás ya determinaron.
Ejemplo resuelto. Identificar amplitud, período, desplazamiento de fase y desplazamiento vertical de \(y=3\sin\big(2(t-\pi/4)\big)+1\), y graficar.
Solución. Comparando con la forma general: \(A=3\), \(B=2\), \(C=\pi/4\), \(D=1\). Amplitud \(3\): la gráfica oscila entre \(D-A=-2\) y \(D+A=4\). Período \(2\pi/B=2\pi/2=\pi\): cada oscilación completa ocupa un intervalo de longitud \(\pi\), la mitad que \(\sin t\). Desplazamiento de fase \(\pi/4\): la gráfica de \(3\sin(2t)+1\) corrida \(\pi/4\) unidades a la derecha.
Figura 5.4 — \(y=3\sin\big(2(t-\pi/4)\big)+1\) (curva sólida), comparada con \(\sin t\) (curva punteada). La amplitud triplica la altura de la oscilación; el período se reduce a la mitad; toda la curva queda desplazada verticalmente una unidad y horizontalmente \(\pi/4\).
La forma general de esta sección es, precisamente, la que aparece al modelar cualquier fenómeno que oscila con regularidad. Un ejemplo breve cierra la sección antes de los ejercicios. Es el contenido del §6.
§6. Un modelo aplicado¶
La profundidad del agua en un puerto, medida en metros por encima de un nivel de referencia, varía con la marea de manera aproximadamente periódica, con un ciclo completo cada \(12\) horas, una profundidad máxima de \(5\) metros, una mínima de \(1\) metro, y la marea alta ocurriendo a las \(3\) de la madrugada.
Modelo. Amplitud: \(A=(5-1)/2=2\). Desplazamiento vertical: \(D=(5+1)/2=3\) —el punto medio entre máximo y mínimo—. Período \(12\) horas: por el §3, \(B=2\pi/12=\pi/6\). Fase: el máximo de \(A\sin(B(t-C))+D\) ocurre en \(t=C+\pi/(2B)\) —donde el seno vale \(1\)—; igualando a las \(3\) horas y despejando, con \(\pi/(2B)=\pi/(2\cdot\pi/6)=3\), se obtiene \(C=0\). El modelo resultante:
con \(t\) en horas desde la medianoche.
Recordatorio. Ningún dato del enunciado se usó dos veces ni sobró: máximo y mínimo dieron \(A\) y \(D\); el período del ciclo dio \(B\); el instante del máximo dio \(C\). Es la misma disciplina de ajuste de parámetros que el §4.6 usó para el interés compuesto y el decaimiento, aplicada ahora a un fenómeno que oscila en vez de crecer o decaer.
§7. Ejercicios resueltos¶
Ejercicio 1. Dar el período de \(y=\cos(4t)\).
Solución. Por el §3 —aplicable a \(\cos\) por el mismo argumento, sustituyendo \(\sin\) por \(\cos\)—, el período es \(2\pi/4=\pi/2\).
Ejercicio 2. Dar la amplitud, el período y el desplazamiento vertical de \(y=-5\sin(t)+2\).
Solución. \(A=5\) —la amplitud es \(|{-5}|\)—, período \(2\pi/1=2\pi\) —sin cambio, pues \(B=1\)—, desplazamiento vertical \(D=2\). El signo negativo de \(A\) no cambia la amplitud, pero sí invierte la gráfica —refleja respecto de \(y=D\)—, según la transformación de reflexión del §2.5.
Ejercicio 3. ¿En qué instantes, según el modelo del §6, la profundidad del agua es exactamente \(3\) metros?
Solución. Se busca \(t\) con \(2\sin(\pi t/6)+3=3\), es decir, \(\sin(\pi t/6)=0\). Por el §5.3 §7, esto ocurre cuando \(\pi t/6=n\pi\), es decir, \(t=6n\) horas: a medianoche, a las \(6\), a las \(12\), a las \(18\), y así sucesivamente cada \(6\) horas —la mitad del período, los instantes en que la marea cruza su nivel medio—.
§8. Cierre del capítulo¶
Este capítulo recorrió, en cinco secciones, un camino que ningún curso de trigonometría elemental recorre completo: construir \(\pi\) en vez de darlo por sabido, construir la función de enrollamiento en vez de asumir que "un ángulo determina un punto en la circunferencia", y derivar cada propiedad de seno y coseno —identidad pitagórica, periodicidad, paridad, signos, asíntotas de sus recíprocas, incluso el período de la tangente— de esa única construcción geométrica, sin apelar en ningún momento a un triángulo rectángulo aparte ni a una tabla de valores memorizada.
El resultado es una familia de funciones tan rigurosamente fundamentada como la exponencial y el logaritmo del Capítulo 4, y con la misma clase de límite honesto: así como este libro no pudo decir en qué sentido preciso la tasa de cambio de \(e^x\) es igual a sí misma —pregunta reservada a Cálculo I—, tampoco pudo decir aquí con qué rapidez cambia \(\sin t\) en cada instante, ni por qué esa rapidez resulta ser, precisamente, \(\cos t\). Esa conexión —el corazón de por qué las funciones trigonométricas son indispensables en la física de las oscilaciones, no solo en la geometría del triángulo— seguirá pendiente, con la misma honestidad, hasta que el libro llegue a la derivada.
Con esto queda cerrado el Capítulo 5. El Capítulo 6 retoma las funciones trigonométricas para resolver, en la dirección inversa, ecuaciones e identidades más generales que las que esta introducción pudo cubrir.