Capítulo 5 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶

5.6 - Cierre: Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas¶

§1. De la cuerda a la razón: dos mil años antes de Euler¶

Este capítulo definió \(\sin t\) y \(\cos t\) como las coordenadas de un punto que recorre una circunferencia, para un argumento \(t\) que es una longitud de arco —un número real, sin unidades—. Ninguna civilización que desarrolló la trigonometría antes del siglo XVIII pensó en esos términos, y vale la pena recorrer, aunque sea brevemente, qué pensaban en su lugar.

Hiparco de Nicea, hacia el año 150 a.C., construyó la primera tabla trigonométrica conocida: no de senos, sino de cuerdas —para cada ángulo central, la longitud de la cuerda que ese ángulo subtiende en una circunferencia de radio fijo—. Tres siglos más tarde, Claudio Ptolomeo sistematiza y extiende esa tabla en el Almagesto (c. 150 d.C.), la obra astronómica que dominaría la astronomía occidental e islámica durante más de mil años; su trigonometría sigue siendo, en esencia, una tabla de cuerdas asociada a un radio particular, no una función abstracta.

El paso de la cuerda a algo más parecido al seno moderno ocurre en la India: Aryabhata, en el Aryabhatiya (499 d.C.), trabaja con la jya —media cuerda—, que es, geométricamente, lo que hoy se llama seno, aunque todavía atada a un triángulo y a un radio específico, no a una circunferencia unitaria ni a un argumento numérico abstracto. Matemáticos del mundo islámico medieval —Al-Battani en el siglo IX, Abu al-Wafa en el X— refinan estas ideas, calculan tablas cada vez más precisas, e introducen la tangente y la cotangente como razones propias, no como cocientes derivados. En ningún momento de estos dos mil años, sin embargo, "seno de \(t\)" significa lo que significó en este capítulo: en todos los casos, la entrada es un ángulo —una figura geométrica, medida en grados o en alguna subdivisión del círculo—, nunca un número real que simplemente mide una distancia recorrida.

§2. El giro de Euler hacia la función¶

El cambio decisivo ocurre, otra vez, en el mismo libro que ya citó este capítulo indirectamente y que el Capítulo 4 citó varias veces: la Introductio in analysin infinitorum de Leonhard Euler, de 1748. Euler es, según reconoce la historiografía de la matemática, el primero en tratar sistemáticamente al seno y al coseno como funciones —en el sentido moderno, entrada y salida numéricas— de un argumento que mide, en esencia, longitud de arco sobre una circunferencia de radio \(1\), no un ángulo en un triángulo con lados de longitud arbitraria. Es, exactamente, el mismo movimiento conceptual que este capítulo formalizó con \(W(t)\) en el §5.2: tomar la circunferencia unitaria como escenario fijo, y dejar que un número real —no un ángulo, no un triángulo— determine el punto.

Que este giro haya tardado dos mil años en producirse, desde Hiparco hasta Euler, no es un detalle menor de la historia de la matemática: es la misma clase de brecha que separó el uso informal de \(a^x\) irracional, atribuido al mismo Euler, de su fundamentación rigurosa —mencionada en el cierre del §4.1— y que separó las tablas de logaritmos de Napier de su justificación completa —§4.4 §6—. En los tres casos, la utilidad práctica y el cálculo efectivo precedieron, por siglos, a la pregunta de por qué el objeto usado tenía que existir y ser único.

§3. Por qué el giro de Euler todavía no bastaba¶

Vale la pena ser precisos sobre qué logró Euler y qué no. Tratar al seno como función de un número real fue un salto conceptual genuino, pero el propio Euler no tenía —porque todavía no existía— una definición rigurosa de qué es la "longitud de arco" que ese número mide. Su intuición geométrica, apoyada en el cálculo infinitesimal que él mismo ayudó a desarrollar, era operativamente potente pero no estaba fundamentada con el rigor que Cauchy y Weierstrass exigirían un siglo después —la misma brecha, otra vez, que el cierre del §4.7 documentó para la exponencial—.

Este capítulo cerró esa brecha específica para la trigonometría de una manera que ni Hiparco ni Ptolomeo ni el propio Euler tenían disponible: construyendo la longitud de arco desde cero, con polígonos inscritos y circunscritos —§5.1— y el axioma de completitud, exactamente la misma herramienta que en el Capítulo 4 fundamentó a \(e\). Que la trigonometría de este libro llegue a las mismas seis funciones que Hiparco tabulaba hace más de dos mil años, por un camino que ninguno de sus predecesores pudo recorrer, es la mejor evidencia de que el objeto matemático es más antiguo y más robusto que cualquiera de sus fundamentaciones sucesivas.

§4. Las funciones trigonométricas en la ciencia contemporánea¶

La razón por la que este capítulo dedicó tanto esfuerzo a construir \(W(t)\) como una función de un número real —y no como una razón entre lados de un triángulo— es, precisamente, que la ciencia contemporánea necesita esa versión: casi ningún fenómeno ondulatorio involucra triángulos.

Ondas y oscilaciones. El sonido es una variación periódica de presión en el aire; la luz, una oscilación de campos eléctrico y magnético; la corriente alterna de una red eléctrica, un voltaje que sigue, con altísima aproximación, la forma \(V(t)=V_0\sin(\omega t+\varphi)\) —exactamente la forma general del §5.5 §5, con \(\omega\) jugando el papel de \(B\)—. En ningún caso hay un triángulo físico involucrado: hay una cantidad que oscila en el tiempo, y \(\sin\) y \(\cos\) son, sencillamente, el vocabulario que describe esa oscilación con precisión.

Análisis de Fourier. Joseph Fourier, en 1822, mostró que prácticamente cualquier función periódica —no solo las de la forma simple del §5.5— puede escribirse como una suma, generalmente infinita, de senos y cosenos de distintas frecuencias. Esa técnica —analizar una señal compleja descomponiéndola en sus componentes sinusoidales— es hoy la base del procesamiento digital de señales, la compresión de audio e imagen, y buena parte de la ingeniería de telecomunicaciones. Este libro no puede desarrollar esa teoría —exige convergencia de series infinitas de funciones, terreno que excede el precálculo tanto como excede a la derivada—, pero vale la pena nombrarla: es, en cierto sentido, la culminación de que Euler decidiera tratar al seno como función.

Navegación y posicionamiento. El GPS determina una posición triangulando distancias a varios satélites; esa triangulación es, en su núcleo, trigonometría en el sentido más clásico —el de Hiparco y Ptolomeo—, aplicada con una precisión que ninguno de los dos pudo imaginar.

§5. Cierre: la pregunta que sigue abierta¶

El §5.5 ya adelantó, en su propio cierre, la pregunta que este capítulo entero dejó pendiente: con qué rapidez cambia \(\sin t\) en cada instante, y por qué esa rapidez resulta ser \(\cos t\) —el hecho que hace de estas funciones la herramienta natural para describir, no solo posiciones que oscilan, sino velocidades y aceleraciones que oscilan con ellas—. Es, otra vez, la misma frontera que cerró el Capítulo 4: la pregunta está formulada con toda la precisión que este libro permite, el objeto —\(\sin t\), \(\cos t\), ambos construidos sin concesión alguna desde la completitud de \(\mathbb{R}\)— existe y está completamente caracterizado, y lo único que falta es el instrumento —la derivada— que Cálculo I habrá de proveer.

Que la trigonometría de este libro haya llegado hasta acá por un camino que tardó dos mil años en encontrarse por primera vez, y casi trescientos más en fundamentarse con el rigor que aquí se exigió desde la primera página, no es un dato anecdótico para cerrar el capítulo: es la misma lección que dejaron \(\mathbb{C}\) en el Capítulo 3 y \(e\) en el Capítulo 4 —que la utilidad de un objeto matemático y la certeza de su existencia son dos conquistas distintas, que rara vez llegan juntas, y que este libro, capítulo tras capítulo, se propuso no separar.