Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
4.3 - Funciones Logarítmicas¶
Toda función inyectiva guarda, en su propio comportamiento, la posibilidad de deshacerse a sí misma. La exponencial ya demostró serlo — falta solamente reclamar esa posibilidad.
El §4.1 probó, para \(f(x)=a^x\) con \(a>0,\ a\neq1\), mucho más de lo que hacía falta en su momento: no solo que \(f\) es estrictamente monótona (§9, sección 4.1) —de donde se sigue su inyectividad—, sino también que su recorrido es exactamente \((0,\infty)\) (§10, sección 4.1), sin faltante alguno. Esas dos piezas, tomadas juntas, son exactamente las que el §2.7 exigió para garantizar la existencia de una función inversa: inyectividad para la unicidad de la preimagen, sobreyectividad —sobre el codominio correcto— para su existencia. No hace falta demostrar nada nuevo para obtener la inversa; hace falta, únicamente, reconocer que ya están dadas las condiciones.
§1. Biyectividad de \(a^x\) y existencia de la inversa¶
Fíjese \(a>0\), \(a\neq1\), y considérese \(f:\mathbb{R}\to(0,\infty)\), \(f(x)=a^x\) —con codominio restringido exactamente a su recorrido, según ya se probó—.
Proposición. \(f\) es biyectiva.
Demostración. Inyectividad: Corolario del §9, sección 4.1. Sobreyectividad: como el codominio se fijó igual al recorrido, \(\operatorname{Rec}(f)=(0,\infty)\) —§10, sección 4.1— garantiza que todo elemento del codominio se alcanza. \(\blacksquare\)
Por el §2.7 §3, toda función biyectiva admite una inversa, única, caracterizada por las identidades \(f^{-1}(f(x))=x\) y \(f(f^{-1}(y))=y\). Aplicado aquí:
Definición. La función inversa de \(f(x)=a^x\) se denomina función logarítmica de base \(a\), y se denota \(\log_a\). Es decir: para \(y>0\), \(\log_a y\) es el único \(x\in\mathbb{R}\) tal que \(a^x=y\).
Recordatorio. \(\log_a\) no se define por una fórmula ni por una serie: se define, exactamente como cualquier inversa según el §2.7 §3, como la función que deshace a \(a^x\) — su existencia y su unicidad ya estaban garantizadas antes de escribir esta sección.
Con \(\log_a\) definida como inversa, corresponde hacer explícitas las dos identidades que la caracterizan por completo, y que en la práctica son la herramienta de cálculo más directa. Ese es el contenido del §2.
§2. Identidades de inversión¶
Por la caracterización general de toda función inversa —§2.7 §3, aplicada aquí a \(f(x)=a^x\) y \(f^{-1}=\log_a\)—, se tienen, sin demostración adicional, las dos identidades:
La primera dice que aplicar el logaritmo después de la exponencial devuelve el exponente original; la segunda, que aplicar la exponencial después del logaritmo devuelve el número original. Ninguna de las dos es una propiedad nueva del logaritmo: es, literalmente, la definición de inversa —§2.7 §3— particularizada a este par de funciones.
Recordatorio. \(\log_a(a^x)=x\) y \(a^{\log_a y}=y\) son la misma afirmación que \(f^{-1}\circ f=\text{id}\) y \(f\circ f^{-1}=\text{id}\) del §2.7 §3, sin nada agregado. Toda manipulación algebraica del logaritmo que se vea más adelante en el capítulo se apoyará, en último término, en estas dos identidades.
Definida la función y sus identidades características, corresponde precisar sus conjuntos de definición y de llegada — que, por ser \(\log_a\) una inversa, no exigen cálculo nuevo. Ese es el contenido del §3.
§3. Dominio y recorrido¶
Proposición. \(\operatorname{Dom}(\log_a)=(0,\infty)\) y \(\operatorname{Rec}(\log_a)=\mathbb{R}\).
Demostración. Por el §2.7 §4, para toda función biyectiva \(f\), \(\operatorname{Dom}(f^{-1})=\operatorname{Img}(f)\) y \(\operatorname{Img}(f^{-1})=\operatorname{Dom}(f)\) —dominio e imagen se intercambian por completo—. Aplicado a \(f(x)=a^x\), con \(\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\) y \(\operatorname{Img}(f)=(0,\infty)\) —§10, sección 4.1—, se obtiene de inmediato \(\operatorname{Dom}(\log_a)=(0,\infty)\) y \(\operatorname{Rec}(\log_a)=\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)
Vale la pena detenerse en lo que esto significa en la práctica: \(\log_a y\) no está definido para \(y\le 0\) —ni el cero ni ningún negativo son alcanzados jamás por \(a^x\), según el propio recorrido de la exponencial—, mientras que, en la otra dirección, todo número real, por grande o pequeño que sea, es el logaritmo de algún \(y>0\).
Recordatorio. \(\operatorname{Dom}(\log_a)=(0,\infty)\): no existe el logaritmo de un número negativo ni de cero, en ningún libro y con ninguna base —no es una restricción arbitraria, es el recorrido de la exponencial heredado sin alteración. \(\operatorname{Rec}(\log_a)=\mathbb{R}\): el logaritmo, a diferencia de la exponencial, sí alcanza todos los reales.
Dominio y recorrido quedaron resueltos por herencia directa. La monotonía, en cambio, exige una demostración propia —el §2.7 no la probó en general para toda inversa—, y es el contenido del §4.
§4. Monotonía estricta¶
Proposición. Si \(a>1\), \(\log_a\) es estrictamente creciente en \((0,\infty)\). Si \(0<a<1\), \(\log_a\) es estrictamente decreciente en \((0,\infty)\).
Demostración. Sean \(y_1,y_2\in(0,\infty)\) con \(y_1<y_2\), y sean \(u_1=\log_a y_1\), \(u_2=\log_a y_2\), de modo que \(a^{u_1}=y_1\) y \(a^{u_2}=y_2\) —definición del §1—.
Caso \(a>1\). Supóngase, por contradicción, \(u_1\ge u_2\). Como \(f(x)=a^x\) es estrictamente creciente para \(a>1\) —§9, sección 4.1—, en particular es no decreciente: \(u_1\ge u_2\) implica \(a^{u_1}\ge a^{u_2}\), es decir, \(y_1\ge y_2\), contradiciendo \(y_1<y_2\). Luego \(u_1<u_2\), esto es, \(\log_a y_1<\log_a y_2\).
Caso \(0<a<1\). Supóngase, por contradicción, \(u_1\le u_2\). Como \(f(x)=a^x\) es estrictamente decreciente para \(0<a<1\) —§9, sección 4.1—, en particular es no creciente: \(u_1\le u_2\) implica \(a^{u_1}\ge a^{u_2}\), es decir, \(y_1\ge y_2\), contradiciendo \(y_1<y_2\). Luego \(u_1>u_2\), esto es, \(\log_a y_1>\log_a y_2\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. La monotonía del logaritmo copia exactamente la de la exponencial que invierte —creciente con creciente, decreciente con decreciente—, y la demostración es enteramente por contradicción: si el orden se invirtiera, aplicar \(a^x\) —que preserva el orden en el sentido que le corresponda— lo restituiría, contradiciendo la hipótesis. Como corolario inmediato, \(\log_a\) es inyectiva —ya lo era, por ser una función bien definida, pero la monotonía estricta lo confirma con la misma técnica del criterio de la recta horizontal del §2.7 §1—.
Dominio, recorrido y monotonía ya establecidos, restan los valores distinguidos del logaritmo, su comportamiento en los extremos del dominio, su gráfica, y el bloque de ejercicios y cierre.
§5. Valores distinguidos¶
Proposición. \(\log_a 1=0\) y \(\log_a a=1\).
Demostración. Por la consistencia racional del §6 (o del §7) de la sección 4.1, \(a^0=1\). Por la Definición del §1, \(\log_a 1\) es el único real \(x\) con \(a^x=1\); como \(a^0=1\), ese único real es \(x=0\). Análogamente, \(a^1=a\) —caso particular trivial de la potenciación—, de modo que \(\log_a a\) es el único real con \(a^x=a\), y ese real es \(x=1\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(\log_a 1=0\) para toda base admisible: el cero del logaritmo no depende de \(a\). \(\log_a a=1\): toda base es logaritmo de sí misma en su propia base — un caso particular de la identidad \(\log_a(a^x)=x\) del §2, con \(x=1\).
Falta describir qué ocurre con \(\log_a\) en los extremos de su dominio: cerca de \(y=0\), donde el dominio termina pero no incluye ese punto, y cuando \(y\) crece sin cota. Ese comportamiento es, exactamente, el espejo del §11 de la sección 4.1, con los papeles de dominio y recorrido intercambiados.
§6. Comportamiento asintótico¶
Proposición (caso \(a>1\)). Para todo \(M>0\) existe \(\delta>0\) tal que \(0<y<\delta \implies \log_a y<-M\). Además, para todo \(M>0\) existe \(N>0\) tal que \(y>N \implies \log_a y>M\).
Demostración. Sea \(\delta=a^{-M}>0\). Supóngase \(0<y<\delta\) y, por contradicción, \(\log_a y\ge -M\). Como \(f(x)=a^x\) es no decreciente para \(a>1\) —§9, sección 4.1—, \(\log_a y\ge -M\) implica \(a^{\log_a y}\ge a^{-M}\), es decir, \(y\ge\delta\), contradiciendo \(y<\delta\). Luego \(\log_a y<-M\).
Sea \(N=a^M>0\). Supóngase \(y>N\) y, por contradicción, \(\log_a y\le M\). Por la misma monotonía, \(a^{\log_a y}\le a^M\), es decir, \(y\le N\), contradiciendo \(y>N\). Luego \(\log_a y>M\). \(\blacksquare\)
La recta \(x=0\) es, entonces, asíntota vertical de \(\log_a\) cuando \(a>1\): a medida que \(y\) se acerca a \(0\) por la derecha, \(\log_a y\) decrece sin cota. Y \(\log_a\) crece sin cota cuando \(y\to+\infty\), sin asíntota horizontal alguna.
Proposición (caso \(0<a<1\)). Para todo \(M>0\) existe \(\delta>0\) tal que \(0<y<\delta\implies\log_a y>M\). Además, para todo \(M>0\) existe \(N>0\) tal que \(y>N\implies\log_a y<-M\).
Demostración. Análoga a la anterior, usando que \(f(x)=a^x\) es no creciente para \(0<a<1\) —§9, sección 4.1—: con \(\delta=a^M\), si \(0<y<\delta\) y \(\log_a y\le M\), la monotonía no creciente da \(a^{\log_a y}\ge a^M=\delta\), es decir \(y\ge\delta\), contradicción; luego \(\log_a y>M\). Con \(N=a^{-M}\), si \(y>N\) y \(\log_a y\ge -M\), la monotonía no creciente da \(a^{\log_a y}\le a^{-M}=N\), es decir \(y\le N\), contradicción; luego \(\log_a y<-M\). \(\blacksquare\)
En este segundo caso, la recta \(x=0\) sigue siendo asíntota vertical, pero con signo invertido: \(\log_a y\) crece sin cota cuando \(y\to 0^+\), y decrece sin cota cuando \(y\to+\infty\) — exactamente el espejo del comportamiento de \(a^x\) con \(0<a<1\), que decrecía hacia \(0\) en vez de crecer.
Recordatorio. En ambos regímenes, \(x=0\) es asíntota vertical de \(\log_a\) — nunca horizontal, porque el logaritmo, a diferencia de la exponencial, no está acotado en ninguna dirección de su recorrido. El signo del comportamiento en \(y\to0^+\) y en \(y\to+\infty\) se invierte exactamente cuando se invierte el régimen de la base, como corresponde a una función que es la inversa de otra cuyo comportamiento asintótico ya se conocía por completo.
Con dominio, recorrido, monotonía y asintótica ya completos, la gráfica de \(\log_a\) no exige análisis nuevo: se obtiene, geométricamente, de la gráfica ya conocida de \(a^x\). Ese es el contenido del §7.
§7. Gráfica y simetría respecto de \(y=x\)¶
Por el §2.7 §4, la gráfica de toda función inversa es la reflexión de la gráfica de la función original respecto de la recta \(y=x\). Aplicado aquí: \(\text{Gr}(\log_a)\) es, sin más cálculo, la reflexión de \(\text{Gr}(a^x)\) respecto de esa diagonal. Cada rasgo ya demostrado se traduce geométricamente sin necesidad de una palabra adicional: la asíntota horizontal \(y=0\) de \(a^x\) se refleja en la asíntota vertical \(x=0\) de \(\log_a\); el punto \((0,1)\), común a toda exponencial, se refleja en el punto \((1,0)\), común a todo logaritmo —exactamente lo que afirmó el §5—; y la monotonía se preserva en su mismo sentido, porque una reflexión respecto de \(y=x\) no invierte si una curva sube o baja de izquierda a derecha.
Figura 4.1 — \(a^x\) y \(\log_a x\), reflejadas respecto de \(y=x\), para \(a>1\) (izquierda, \(a=2\)) y \(0<a<1\) (derecha, \(a=1/2\)). En ambos casos, el punto \((1,a)\in\text{Gr}(a^x)\) corresponde a \((a,1)\in\text{Gr}(\log_a x)\) — el mismo tipo de correspondencia que la Figura 2.5 del §2.7 §4, aplicada aquí a un par de curvas en vez de a dos rectas.
Recordatorio. No hace falta memorizar la forma de la gráfica del logaritmo como un objeto nuevo: es, literalmente, la gráfica de la exponencial vista desde el otro lado del espejo \(y=x\).
Queda, para cerrar la sección, ejercitar el manejo de las identidades de inversión y de la monotonía recién probadas, y una reflexión breve sobre lo que el logaritmo hace posible de cara a la sección siguiente. Ese es el contenido del §8.
§8. Ejercicios resueltos y cierre¶
Ejercicio 1. Calcular \(\log_2 8\).
Solución. \(8=2^3\), de modo que, por la identidad \(\log_a(a^x)=x\) del §2 con \(a=2,\ x=3\), \(\log_2 8=\log_2(2^3)=3\).
Ejercicio 2. Resolver \(\log_3 x=4\).
Solución. Por la Definición del §1, \(\log_3 x=4\) significa \(3^4=x\). Luego \(x=81\).
Ejercicio 3. Resolver la inecuación \(\log_2 x<3\), especificando el dominio.
Solución. El dominio exige \(x>0\) —§3—. Como \(2>1\), \(\log_2\) es estrictamente creciente (§4), de modo que \(\log_2 x<3=\log_2 8\) —Ejercicio 1— equivale, por la monotonía estricta, a \(x<8\). Combinando con el dominio, la solución es \(0<x<8\).
Ejercicio 4. Simplificar \(a^{\log_a 5+\log_a 2}\).
Solución. Por el homomorfismo del §8, sección 4.1 —válido para cualquier par de reales en el exponente, y \(\log_a5,\log_a2\) lo son—, \(a^{\log_a5+\log_a2}=a^{\log_a5}\cdot a^{\log_a2}\). Por la identidad de inversión del §2, cada factor se simplifica por separado: \(a^{\log_a5}=5\) y \(a^{\log_a2}=2\). Luego \(a^{\log_a5+\log_a2}=5\cdot2=10\).
Vale la pena notar qué no se usó: en ningún momento hizo falta escribir \(\log_a5+\log_a2\) como el logaritmo de un producto —esa equivalencia, \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\), es precisamente la primera ley que probará la sección 4.4—. Lo que este ejercicio resuelve es la dirección opuesta: qué pasa cuando la suma de dos logaritmos aparece en el exponente, no adentro de otro logaritmo.
Con esto, el logaritmo queda completamente construido a partir de una sola idea —que la exponencial, siendo biyectiva, se puede deshacer— y de una sola fuente de resultados nuevos, la monotonía y la asintótica, ambas obtenidas por contradicción a partir de lo que la exponencial ya garantizaba. No hubo, en esta sección, ninguna construcción desde cero: todo se apoyó en el §2.7, escrito capítulos atrás sin pensar todavía en la exponencial, y en el §4.1, escrito esta misma semana pensando exactamente en este momento. Que ambos encajen sin fricción no es casualidad: es la clase de economía que el libro persigue desde el primer capítulo, y que solo se vuelve visible cuando una pieza distante encaja, sin ajustes, en un lugar que no sabía que la esperaba.
Con la sección 4.3 cerrada, el §4.4 retoma el homomorfismo de la exponencial —§8, sección 4.1— para traducirlo, término a término, en las leyes de los logaritmos: producto en suma, cociente en resta, potencia en producto.