3.4 Raíces Complejas y Teorema Fundamental del Álgebra
3.4 — Raíces Complejas y Teorema Fundamental del Álgebra¶
Lo que \(\mathbb{R}\) negaba a \(x^2+1\), \(\mathbb{C}\) se lo concede a todo polinomio, sin excepción.
El §3.3 resolvió un caso: \(x^2+1\) tiene raíces en \(\mathbb{C}\). Queda abierta una pregunta mucho más ambiciosa, la que en verdad motiva construir \(\mathbb{C}\) en vez de conformarse con parchear \(\mathbb{R}\) caso por caso: ¿tiene todo polinomio no constante al menos una raíz compleja? La respuesta es afirmativa, y es uno de los resultados más profundos de todo el álgebra.
§1. El Teorema Fundamental del Álgebra¶
Teorema (Fundamental del Álgebra). Todo polinomio no constante \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\) con coeficientes en \(\mathbb{C}\) tiene al menos una raíz en \(\mathbb{C}\).
Este texto no demuestra el Teorema Fundamental del Álgebra. No por falta de rigor, sino por honestidad respecto de qué herramientas están disponibles: toda demostración conocida —ya sea la de Gauss, la que usa el teorema de Liouville del análisis complejo, o la que argumenta por un mínimo del módulo de \(p\) sobre \(\mathbb{C}\)— requiere nociones de continuidad, compacidad o análisis que exceden el álgebra desarrollada hasta aquí. La situación no es nueva: el §1.1 §9 ya postuló el Axioma del Supremo sin derivarlo de las leyes de cuerpo, precisamente porque no era una consecuencia algebraica sino una propiedad estructural adicional de \(\mathbb{R}\). El Teorema Fundamental del Álgebra se adopta aquí con el mismo espíritu: como un hecho estructural sobre \(\mathbb{C}\), dado, sobre el cual construir todo lo que sigue.
Lo que el teorema no dice es, sin embargo, tan importante como lo que dice. No ofrece un método para hallar esa raíz —a diferencia del Teorema de las Raíces Racionales del §3.2, que al menos acotaba una búsqueda finita—; garantiza únicamente su existencia. Y no dice nada, todavía, sobre cuántas raíces tiene un polinomio en total: esa es la pregunta de la sección siguiente.
Nota — la intuición geométrica del teorema. Aunque este texto no ofrece una demostración, vale la pena esbozar por qué el resultado es plausible. Si \(p(z)=a_nz^n+\cdots+a_0\) se evalúa sobre una circunferencia de radio \(R\) muy grande en el plano complejo, el término \(a_nz^n\) domina ampliamente a los demás —el mismo fenómeno de dominancia del término principal que ya probó el §3.1 §2 para \(x\to\pm\infty\) sobre \(\mathbb{R}\)—; al recorrer esa circunferencia una vez, la imagen \(p(z)\) traza una curva cerrada que da, aproximadamente, \(n\) vueltas alrededor del origen. Si \(R\) se contrae continuamente hasta \(R=0\), esa curva se deforma sin romperse —por la continuidad de \(p\)— hasta colapsar en el único punto \(p(0)=a_0\). Una curva que rodea \(n\geq1\) veces al origen no puede contraerse a un punto fuera de él sin, en algún momento intermedio, pasar exactamente por el origen: ese cruce es una raíz \(z_0\) con \(p(z_0)=0\). El argumento es convincente, pero no es una demostración: precisar qué significa "sin romperse" y "dar \(n\) vueltas" con el rigor necesario es, exactamente, la tarea que le corresponde al análisis complejo.
Recordatorio. El Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que todo polinomio no constante tiene al menos una raíz en \(\mathbb{C}\). Se toma como dado, no como demostrado, por la misma razón que el Axioma del Supremo: excede las herramientas algebraicas de este texto.
§2. Factorización completa sobre \(\mathbb{C}\)¶
El §3.2 demostró que un polinomio de grado \(n\) tiene a lo sumo \(n\) raíces reales, sin garantizar que existiera ninguna. Sobre \(\mathbb{C}\), el Teorema Fundamental del Álgebra convierte esa cota superior en una igualdad exacta.
Teorema (de factorización completa). Todo polinomio \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\) de grado \(n\geq1\) con coeficientes en \(\mathbb{C}\) se factoriza como
para ciertos \(r_1,\ldots,r_n\in\mathbb{C}\), no necesariamente distintos.
Demostración. Por inducción sobre \(n\). Si \(n=1\), \(p(x)=a_1x+a_0=a_1(x-(-a_0/a_1))\), de la forma buscada con \(r_1=-a_0/a_1\). Supóngase el resultado válido para todo grado menor que \(n\), y sea \(\deg(p)=n\). Por el Teorema Fundamental del Álgebra, \(p\) tiene una raíz \(r_n\in\mathbb{C}\); por el Teorema del Factor —demostrado en el §3.2 sin restricción al cuerpo sobre el que se trabaja, ya que su prueba usaba únicamente el algoritmo de la división, válido en \(\mathbb{C}\) exactamente igual que en \(\mathbb{R}\)—, \(p(x)=(x-r_n)q(x)\) con \(\deg(q)=n-1\) y coeficiente principal \(a_n\). Por hipótesis inductiva, \(q(x)=a_n(x-r_1)\cdots(x-r_{n-1})\), y sustituyendo se obtiene la factorización completa de \(p\). \(\blacksquare\)
Esta factorización es, en particular, lo que formaliza la noción de multiplicidad ya introducida en el §3.1 para raíces reales, extendida ahora sin cambio conceptual a raíces complejas: si un valor \(r\) se repite \(m\) veces entre \(r_1,\ldots,r_n\), se dice que \(r\) es raíz de multiplicidad \(m\), y la suma de todas las multiplicidades es, exactamente, \(n\). Donde el §3.2 solo podía acotar el número de raíces reales, este teorema cuenta con precisión el número de raíces complejas: siempre son \(n\), ni una más ni una menos, contadas con multiplicidad. \(\mathbb{C}\) no solo resuelve el caso de \(x^2+1\); agota por completo la pregunta que el §3.2 dejó abierta.
Recordatorio. Sobre \(\mathbb{C}\), todo polinomio de grado \(n\) tiene exactamente \(n\) raíces, contadas con multiplicidad —sin excepciones, a diferencia de la cota meramente superior que regía sobre \(\mathbb{R}\)—.
§3. El Teorema de las Raíces Conjugadas¶
La factorización del §2 vale sobre \(\mathbb{C}\) en general, sin distinguir si los coeficientes de \(p\) son reales o genuinamente complejos. Cuando sí son reales —el caso que domina el resto de este libro—, las raíces complejas no aparecen de cualquier manera: aparecen apareadas.
Lema. Para \(z,w\in\mathbb{C}\), \(\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}\) y \(\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\). Además, \(\bar{a}=a\) para todo \(a\in\mathbb{R}\).
Demostración. Sean \(z=a+bi\), \(w=c+di\). Por un lado, \(\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i\); por otro, \(\bar{z}+\bar{w}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i\): coinciden. Para el producto, \(\overline{zw}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad+bc)i\), mientras que \(\bar{z}\bar{w}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i\) por la definición del producto dada en el §3.3 §1: ambas expresiones coinciden. Resta la tercera afirmación: si \(a\in\mathbb{R}\), su identificación en \(\mathbb{C}\) es \(a+0i\), y \(\overline{a+0i}=a-0i=a\). \(\blacksquare\)
Teorema (de las Raíces Conjugadas). Sea \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\) un polinomio con todos los \(a_i\in\mathbb{R}\). Si \(z\in\mathbb{C}\) es raíz de \(p\), entonces \(\bar{z}\) también lo es, con la misma multiplicidad.
Demostración. Supóngase \(p(z)=0\). Aplicando conjugación a ambos lados y usando el lema repetidamente para distribuir la conjugación sobre la suma y las potencias,
donde cada \(a_i=\bar{a_i}\) por ser real, según el lema. Como \(\overline{p(z)}=\overline{0}=0\), se concluye \(p(\bar{z})=0\): \(\bar{z}\) es raíz de \(p\). Para la igualdad de multiplicidades, obsérvese que si \(z\) es real, \(\bar{z}=z\) y la afirmación es trivial; si \(z\) no es real, el argumento anterior aplicado a \(p(x)/(x-z)^k\) —el cociente tras extraer, mediante el Teorema del Factor, todas las copias del factor \((x-z)\) hasta la multiplicidad exacta \(k\) de \(z\)— muestra, por el mismo cálculo, que \(\bar{z}\) sigue siendo raíz de ese cociente, de modo que \((x-\bar{z})\) también divide a \(p(x)\) al menos \(k\) veces; la igualdad, y no solo la desigualdad, se obtiene repitiendo el argumento en la dirección opuesta, intercambiando \(z\) por \(\bar{z}\). \(\blacksquare\)
La consecuencia inmediata es que las raíces no reales de un polinomio de coeficientes reales nunca aparecen solas: \(z=a+bi\) con \(b\neq0\) siempre trae consigo a \(\bar{z}=a-bi\), en igual multiplicidad. Este es, precisamente, el fenómeno que la fórmula general del §1.3 ya insinuaba sin poder nombrarlo: cuando \(\Delta<0\), las dos raíces de un trinomio cuadrático real son \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\), un par conjugado, mucho antes de que \(\mathbb{C}\) existiera formalmente para justificar por qué debían venir de a dos.
Recordatorio. Si un polinomio tiene coeficientes reales, sus raíces complejas no reales aparecen en pares conjugados \(z,\bar{z}\), con igual multiplicidad cada una.
§4. Factorización real: factores lineales y cuadráticos irreducibles¶
Los tres resultados anteriores se combinan para responder, por fin y de manera completa, la pregunta que el §1.3 dejó pendiente sobre la irreducibilidad en \(\mathbb{R}\).
Teorema. Todo polinomio \(p(x)\) de grado \(n\geq1\) con coeficientes reales se factoriza como un producto de factores lineales reales y factores cuadráticos reales irreducibles —cuadráticos con discriminante negativo—.
Demostración. Por el §2, \(p(x)=a_n(x-r_1)\cdots(x-r_n)\) sobre \(\mathbb{C}\). Agrúpense los \(r_j\) reales, que ya dan factores lineales reales \((x-r_j)\). Para cada \(r_j\) no real, el §3 garantiza que \(\bar{r_j}\) figura también entre las raíces, con igual multiplicidad; agrúpense en pares \((x-r_j)(x-\bar{r_j})\). Cada uno de esos productos es
—usando que \(r_j+\bar{r_j}=2\text{Re}(r_j)\) y \(r_j\bar{r_j}=|r_j|^2\), ambos reales, según el §3.3 §4—, un polinomio cuadrático de coeficientes reales. Su discriminante es \(\Delta=4\text{Re}(r_j)^2-4|r_j|^2=-4\text{Im}(r_j)^2<0\), ya que \(\text{Im}(r_j)\neq0\) por no ser \(r_j\) real: es, exactamente, el caso irreducible del §1.3. \(\blacksquare\)
El círculo que abrió el §1.3 —"la expresión \(a^2+b^2\) es, por tanto, irreducible en \(\mathbb{R}\); volverá a aparecer, ya factorizable, cuando el sistema numérico se extienda más allá de los reales"— se cierra aquí exactamente como esa observación lo anticipaba: \(a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)\), un producto de dos factores complejos conjugados, invisible desde \(\mathbb{R}\) pero perfectamente real como fenómeno algebraico una vez que \(\mathbb{C}\) está disponible para nombrarlo.
Recordatorio. Todo polinomio real se factoriza, sobre \(\mathbb{R}\), en factores lineales y factores cuadráticos con \(\Delta<0\) —nunca en factores cuadráticos con \(\Delta\geq0\), que a su vez se factorizarían en lineales—.
Con la factorización real completamente descrita, el capítulo dispone ya de todo lo necesario para tratar el cociente de dos polinomios. La sección siguiente estudia las funciones racionales, y en ellas, los factores cuadráticos irreducibles recién obtenidos no son un adorno teórico: son, como se verá, precisamente los que garantizan que ciertas asíntotas nunca aparezcan donde un factor lineal las produciría.