Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.6 — Resolución de Problemas con Ecuaciones¶
La dificultad de un problema de palabras rara vez está en el álgebra; está en la traducción que la precede.
En el §1.5 la ecuación ya estaba escrita. En la práctica casi nunca llega así: hay que construirla a partir de un problema contado en lenguaje corriente, y ese paso de traducción, del castellano al símbolo, suele ser más delicado que la resolución que le sigue. Esta sección no agrega técnicas algebraicas. Propone un método para plantear bien un problema y lo aplica a los tipos de problema más frecuentes.
Conviene tener presente desde el comienzo qué es una ecuación planteada a partir de un problema. Es un modelo: una descripción simbólica que retiene algunas relaciones entre las cantidades y deja de lado otras. Las relaciones que retiene descansan siempre en supuestos, como que una velocidad es constante o que dos volúmenes se suman, y la respuesta vale lo que valen esos supuestos. La matemática garantiza que la ecuación está bien resuelta; no garantiza que la ecuación describa bien el problema. Esa segunda garantía la da quien plantea.
§1. Un método en cuatro pasos¶
Ningún procedimiento reemplaza la comprensión del problema, pero un orden de trabajo reduce mucho el margen de error. En cada problema conviene distinguir cuatro momentos.
Identificar la incógnita. Antes de escribir una letra, decidimos con precisión qué representa: no "la variable" en abstracto, sino una cantidad concreta del problema, con sus unidades. Por ejemplo, "\(x\) es el número de litros que se agregan", y no simplemente "\(x\) es el líquido". Una incógnita mal elegida suele ser la causa oculta de un planteo equivocado.
Traducir las relaciones a ecuaciones. Cada frase del enunciado que vincula cantidades se convierte en una igualdad. Expresiones como "el doble de", "la suma de" o "un \(20\%\) más que" tienen una traducción directa: \(2x\), \(x + y\) y \(x + 0{,}2x\). Conviene hacer esta traducción frase por frase, sin saltar a una ecuación escrita de memoria, porque es aquí donde se cuela la mayoría de los errores. En este paso también se hacen explícitos los supuestos del modelo.
Resolver. Aquí, y solo aquí, entran las técnicas del §1.5.
Verificar en el enunciado. Cada solución se contrasta con el problema original, no solo con la ecuación. Esta verificación hace dos trabajos. Por un lado, descarta los valores que resuelven la ecuación pero no tienen sentido en el problema: un tiempo negativo, una cantidad de personas no entera, una longitud mayor que el total disponible. Es una verificación distinta de la de las soluciones extrañas del §1.5: allí la pregunta era si el número satisface la ecuación original; aquí es si la ecuación, ya resuelta, sigue describiendo el problema. Por otro lado, detecta los errores de traducción. Un error en el segundo paso produce una ecuación equivocada que puede estar perfectamente resuelta, y comprobar la respuesta en la misma ecuación no lo revela; comprobarla en el enunciado, sí.
Recordatorio. Identificar la incógnita, traducir, resolver y verificar en el enunciado. La mayoría de los errores ocurre en la traducción, no en la resolución.
§2. Problemas de mezcla y de porcentaje¶
En estos problemas se combinan cantidades de distinta composición para obtener una cantidad final de composición intermedia. Su ecuación característica iguala la cantidad de un componente antes y después de mezclar. Una concentración del \(10\%\) quiere decir que la décima parte del volumen es el componente que nos interesa, de modo que en \(V\) litros hay \(0{,}10V\) litros de ese componente. La coma decimal sigue la notación del castellano: \(0{,}10\) es una décima.
Ejemplo. Tenemos una solución de ácido al \(10\%\) y otra al \(30\%\). ¿Cuántos litros de la segunda hay que agregar a \(5\) litros de la primera para obtener una mezcla al \(18\%\)? Sea \(x\) el número de litros de la solución al \(30\%\). Suponemos que los volúmenes se suman al mezclar, de modo que la mezcla tiene \(5 + x\) litros; para líquidos reales es una aproximación, a menudo muy buena. El ácido puro no se crea ni se destruye, solo se redistribuye. Igualamos entonces el ácido que aporta cada solución con el ácido de la mezcla final:
Resolviendo, \(0{,}5 + 0{,}3x = 0{,}9 + 0{,}18x\), de donde \(0{,}12x = 0{,}4\) y \(x = \frac{10}{3}\), es decir, unos \(3{,}33\) litros. Verifiquemos en el enunciado. La mezcla tiene \(5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3}\) litros y contiene \(0{,}5 + 0{,}3 \cdot \frac{10}{3} = 1{,}5\) litros de ácido; la proporción es \(1{,}5 \div \frac{25}{3} = 0{,}18\), el \(18\%\) pedido. Además, la cantidad agregada es positiva, como debe ser.
Recordatorio. En un problema de mezcla, la ecuación iguala la cantidad de un mismo componente antes y después de mezclar.
§3. Problemas de trabajo conjunto¶
Cuando dos agentes, sean personas, máquinas o canillas, hacen una misma tarea a ritmos distintos, conviene trabajar con la tasa de trabajo y no con el tiempo. Si un agente tarda \(a\) horas en completar la tarea trabajando a ritmo constante, en una hora hace \(\frac{1}{a}\) de la tarea, y en \(t\) horas hace \(\frac{t}{a}\). Si dos agentes trabajan a la vez y sin estorbarse, lo que hacen juntos es la suma de lo que hace cada uno. Ese es el supuesto del modelo: las tasas se suman, los tiempos no.
Ejemplo. Una canilla llena un tanque en \(4\) horas; otra, en \(6\). ¿Cuánto tardan las dos juntas? Sea \(t\) el tiempo buscado, en horas. En ese tiempo la primera llena \(\frac{t}{4}\) del tanque y la segunda \(\frac{t}{6}\), y entre las dos lo llenan exactamente una vez:
A pesar de las fracciones, es una ecuación lineal: la incógnita está en los numeradores, y los denominadores son números. Multiplicando ambos miembros por \(12\), que no es cero, se obtiene la ecuación equivalente \(3t + 2t = 12\), de donde \(5t = 12\) y \(t = \frac{12}{5} = 2{,}4\) horas, es decir, \(2\) horas y \(24\) minutos. Si hubiéramos planteado la ecuación con las tasas, \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1}{t}\), la incógnita estaría en un denominador y sería una ecuación racional como las del §1.5; el resultado es el mismo, con la condición adicional \(t \neq 0\).
El resultado es menor que el tiempo de la canilla más rápida, y no es casualidad. En general, si los tiempos individuales son \(a\) y \(b\), el tiempo conjunto \(t\) cumple \(\frac{1}{t} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\). Como \(\frac{1}{b} > 0\), resulta \(\frac{1}{t} > \frac{1}{a}\). Multiplicando esta desigualdad por el número positivo \(at\), lo que conserva el sentido por los axiomas de orden del §1.1, se obtiene \(a > t\); del mismo modo, \(t < b\). Esta cota es una verificación rápida del planteo: si el tiempo conjunto saliera mayor que alguno de los individuales, la traducción estaría mal.
Recordatorio. En los problemas de trabajo conjunto se suman las tasas, no los tiempos. El tiempo conjunto es siempre menor que el de cada agente por separado.
§4. Problemas de movimiento¶
Estos problemas se apoyan en la relación \(\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}\), válida para un movimiento a velocidad constante, que es el supuesto habitual. Su dificultad no suele ser algebraica sino de organización de los datos. Casi siempre conviene armar una tabla con una fila por cada móvil o cada tramo y columnas para la velocidad, el tiempo y la distancia, y dejar que la tabla sugiera la ecuación.
Ejemplo. Dos ciclistas parten del mismo punto en sentidos opuestos, uno a \(15\) km/h y el otro a \(20\) km/h. ¿Cuánto tardan en estar a \(70\) km de distancia? Sea \(t\) el tiempo en horas. En ese tiempo el primero recorre \(15t\) kilómetros y el segundo \(20t\), y como se alejan en sentidos opuestos, la distancia entre ellos es la suma:
El símbolo \(\Longrightarrow\) indica que cada ecuación se deduce de la anterior; aquí cada paso es además reversible, en el sentido del §1.5. En dos horas, el primero recorre \(30\) km y el segundo \(40\) km, y \(30 + 40 = 70\), como pide el enunciado.
Recordatorio. En los problemas de movimiento, una tabla con velocidad, tiempo y distancia para cada móvil ordena los datos y sugiere la ecuación.
§5. Problemas de geometría¶
Aquí la relación entre las cantidades no se traduce de una frase sino de una fórmula geométrica conocida: un área, un perímetro, un volumen. Con frecuencia la ecuación resultante es una de las ya resueltas en el §1.5. En particular, un problema de área suele llevar a una ecuación cuadrática con dos soluciones, de las que no siempre ambas tienen sentido geométrico.
Ejemplo. Un rectángulo tiene \(4\) cm más de largo que de ancho, y su área es de \(96\) cm². Sea \(x\) el ancho en centímetros; el largo es \(x + 4\), y
donde factorizamos como en el §1.3. Por la propiedad del producto nulo del §1.5, las soluciones son \(x = 8\) y \(x = -12\). Aquí la verificación en el enunciado es decisiva: un ancho no puede ser negativo, así que \(x = -12\) se descarta. No se descarta por ser incorrecta, porque satisface la ecuación, sino porque no describe ningún rectángulo. La respuesta es un ancho de \(8\) cm y un largo de \(12\) cm, y en efecto \(8 \cdot 12 = 96\).
Recordatorio. Una solución de la ecuación puede no ser solución del problema. Descartarla forma parte de resolver el problema, tanto como encontrarla.
Con el método de planteo ya establecido y ejercitado en los casos más frecuentes, el capítulo avanza hacia una generalización natural de la ecuación: la desigualdad, donde en lugar de valores exactos se busca un rango de valores posibles.