Capítulo 5 - Funciones Trigonométricas de Números Reales¶
5.2 - Círculo Unitario y Función de Enrollamiento¶
Con la longitud total de la circunferencia ya construida en el §5.1, falta lo que da sentido a "enrollar" la recta real sobre ella: saber que cada longitud parcial de arco corresponde a un único punto, y que todo punto corresponde a alguna longitud.
§1. Longitud de un arco parcial¶
El §5.1 construyó \(\pi\) mediante la longitud de la circunferencia completa. Esta sección repite el mismo método, restringido a una porción de esa circunferencia —el arco recorrido desde \((1,0)\), en sentido antihorario, hasta cualquier otro punto—.
Los polígonos inscritos del §5.1 se construyeron partiendo de un cuadrado con vértices \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\), y duplicando lados mediante el punto medio del arco —el punto \(C\) sobre el rayo \(OM\), con \(M\) punto medio de la cuerda—. Ese mismo procedimiento, aplicado repetidamente a partir de \((1,0)\) y \((0,1)\) únicamente —sin completar el resto del cuadrado—, genera una sucesión de vértices \(V_0=(1,0), V_1, V_2, \ldots\) que subdivide, cada vez más finamente, el arco del primer cuadrante.
Simetría de la bisección. Cada aplicación del punto medio del arco biseca ese arco en dos partes de longitud exactamente igual —no solo aproximadamente—: la reflexión respecto de la recta \(OM\) intercambia los dos sub-arcos, y como esa reflexión es una isometría —preserva todas las distancias, luego preserva perímetros de polígonos inscritos y circunscritos aproximando cada mitad—, ambas mitades tienen la misma longitud.
En consecuencia, si el nivel \(k\) de subdivisión produce \(2^k\) vértices igualmente espaciados a lo largo del cuadrante —\(V_0,V_1,\ldots,V_{2^k}\), con \(V_{2^k}=(0,1)\)—, la longitud de arco de \((1,0)\) a \(V_j\) es, por simetría, exactamente
—una \(j\)-ésima parte de \(2^k\) del cuarto de circunferencia, cuya longitud total es \(\pi/2\) por definición del §5.1—.
Recordatorio. No hace falta un método nuevo para el arco parcial: es el mismo método del §5.1, restringido a una porción de la circunferencia, y la simetría de la bisección —una reflexión, isometría— es lo que garantiza que las longitudes de las dos mitades sean exactamente iguales, no solo parecidas.
Con la longitud de arco definida en los vértices de la subdivisión, falta verificar que esos vértices, y la longitud que los separa, se comportan de manera consistente con el orden en que aparecen sobre el arco. Es el contenido del §2.
§2. Monotonía y la cota que se aprieta¶
Proposición (monotonía). Para \(j<j'\), \(\ell(V_j)<\ell(V_{j'})\), y \(V_j\) tiene coordenada \(x\) estrictamente mayor que la de \(V_{j'}\).
Demostración. La primera afirmación es inmediata de la fórmula del §1: \(\ell(V_j)=j\pi/2^{k+1}<j'\pi/2^{k+1}=\ell(V_{j'})\). Para la segunda, basta verificarla para vértices consecutivos —\(j'=j+1\)— y proceder por inducción sobre los niveles de bisección. Sean \(A,B\) dos puntos del primer cuadrante sobre la circunferencia con \(x_A>x_B\) —hipótesis inductiva—, y \(C\) el punto medio del arco \(AB\), con \(M=(A+B)/2\). Como \(A,B\) están ambos en el primer cuadrante, \(M\) —combinación convexa de \(A\) y \(B\)— tiene coordenada \(x\) estrictamente entre \(x_B\) y \(x_A\); y \(C=M/|M|\), proyección radial de \(M\) sobre la circunferencia, conserva esa posición relativa —escalar un vector por un factor positivo no cambia en qué lado de una recta por el origen queda, y las rectas \(x=x_A\) y \(x=x_B\) vistas como conos desde el origen separan a \(M\) en la misma región angular que a \(A\) y a \(B\)—. Luego \(x_B<x_C<x_A\). Como el cuadrado inicial ya cumple \(x_{(1,0)}=1>0=x_{(0,1)}\), la inducción sobre los niveles de bisección da la monotonía en cada nivel. \(\blacksquare\)
Recordatorio. Esta demostración es, de toda la sección, la más comprimida por economía —se apoya en un argumento de conos convexos en vez de una desigualdad algebraica explícita, término a término, como las del §5.1—. El lector que prefiera una verificación puramente algebraica puede repetirla con la fórmula de bisección del §5.1 §2, sustituyendo coordenadas; el resultado es el mismo.
Sean ahora \(L_k(t)\) y \(U_k(t)\), para \(t\in[0,\pi/2]\) dado y cada nivel \(k\), los vértices consecutivos del nivel \(k\) tales que \(\ell(L_k(t))\le t<\ell(U_k(t))\) —existen y son únicos por la monotonía recién probada, y por ser \(\{j\pi/2^{k+1}\}\) una partición completa de \([0,\pi/2]\) en \(2^k\) subintervalos iguales—. Por construcción, \(L_{k+1}(t)\) coincide con \(L_k(t)\) o avanza al nuevo punto medio insertado entre \(L_k(t)\) y \(U_k(t)\), nunca retrocede; análogamente, \(U_k(t)\) nunca avanza. Sean \(x_k:=x(L_k(t))\), \(X_k:=x(U_k(t))\).
Proposición (cota que se aprieta). \((x_k)\) es decreciente, \((X_k)\) es creciente, \(X_k\le x_k\) para todo \(k\), y \(x_k-X_k\to0\) en el sentido de que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(k\) con \(x_k-X_k<\varepsilon\).
Demostración. Monotonía de \((x_k)\) y \((X_k)\): consecuencia directa de la Proposición anterior y de que \(L_k\) no retrocede, \(U_k\) no avanza. \(X_k\le x_k\): como \(L_k(t)\) precede a \(U_k(t)\) en la subdivisión, \(x(U_k)<x(L_k)\) por monotonía. Para la diferencia: la distancia entre \(L_k(t)\) y \(U_k(t)\) —dos vértices consecutivos del nivel \(k\)— es, por Pitágoras, a lo sumo la longitud del arco que los separa, \(\pi/2^{k+1}\) —una cuerda nunca supera al arco que subtiende, pues la cuerda es, ella misma, una aproximación inscrita de un solo segmento—; y \(x_k-X_k\), diferencia de las coordenadas \(x\) de dos puntos, es a lo sumo esa misma distancia. Por el Lema arquimediano —sección 4.1, §4—, dado \(\varepsilon>0\) existe \(k\) con \(\pi/2^{k+1}<\varepsilon\). \(\blacksquare\)
Con \((x_k)\) decreciente acotada y \((X_k)\) creciente acotada, apretándose una contra la otra, el axioma del supremo produce un único punto candidato. Falta verificar que ese punto tiene, efectivamente, longitud de arco \(t\). Es el contenido del §3.
§3. Existencia de \(W(t)\) en el primer cuadrante¶
Por el axioma del supremo, \((x_k)\) decreciente y acotada inferiormente por \(0\) tiene \(\xi:=\inf\{x_k\}\); por el Lema de existencia del ínfimo —o, simétricamente, el propio axioma aplicado a \(-X_k\)—, \((X_k)\) tiene \(\sup\{X_k\}\). Por el mismo argumento de aproximación que cerró la definición de \(e\) en el §4.2 §4 y la de \(\pi\) en el §5.1 §4 —acotar la diferencia y forzarla bajo cualquier \(\varepsilon\) vía el Lema arquimediano, ya verificado en la Proposición del §2—, \(\inf\{x_k\}=\sup\{X_k\}=:\xi\).
Definición. \(W(t):=(\xi,\sqrt{1-\xi^2})\), para \(t\in[0,\pi/2]\) —la raíz positiva, correspondiente al primer cuadrante—.
Proposición. \(\ell(W(t))=t\), donde \(\ell\) se extiende a cualquier punto del arco mediante el mismo supremo/ínfimo de polígonos inscritos/circunscritos del §1, ahora con extremo final \(W(t)\) en vez de un vértice de la subdivisión.
Demostración. Para cada \(k\), el punto \(W(t)\) —con coordenada \(x\) igual a \(\xi\in[X_k,x_k]\), por ser \(\xi\) el valor común de ínfimo y supremo recién probado— se encuentra, por la monotonía del §2, entre \(L_k(t)\) y \(U_k(t)\) en la subdivisión. Extender el camino inscrito \(V_0,\ldots,L_k(t)\) con la cuerda adicional \(L_k(t)\,W(t)\) da una aproximación inscrita del arco hasta \(W(t)\) de longitud \(\ell(L_k(t))+|L_k(t)W(t)|\); como \(|L_k(t)W(t)|\le\pi/2^{k+1}\) —misma cota que en el §2, pues \(W(t)\) está en el mismo sub-arco que \(U_k(t)\)—, se sigue \(\ell(W(t))\ge\ell(L_k(t))\) tomando supremo sobre esta familia de aproximaciones, y \(\ell(W(t))\le\ell(L_k(t))+\pi/2^{k+1}\) acotando por arriba con el argumento dual —cuerdas más la tangente en \(W(t)\)—. Como \(\ell(L_k(t))\le t<\ell(L_k(t))+\pi/2^{k+1}\) —definición de \(L_k\)—, ambas cadenas de desigualdades, válidas para todo \(k\), fuerzan \(\ell(W(t))=t\) por el Lema arquimediano, exactamente como forzó \(L=\ell\) en la Proposición del §4.2 §4. \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(W(t)\) no se define por una fórmula cerrada —no hay, todavía, ni seno ni coseno—: se define como el único punto atrapado, en todo nivel de subdivisión, entre dos vértices cuya distancia al punto se hace arbitrariamente pequeña. Es, otra vez, la misma arquitectura de sup/inf que \(e\) y \(\pi\), aplicada ahora a un punto del plano en vez de a un número.
Con \(W\) definida en \([0,\pi/2]\), extenderla a los tres cuadrantes restantes y luego a todo \(\mathbb{R}\) no exige repetir la construcción: exige, únicamente, reflejar y repetir con periodicidad. Es el contenido del §4.
§4. Extensión a toda la circunferencia y a \(\mathbb{R}\)¶
Extensión a los cuatro cuadrantes. Los puntos \((1,0)\), \((0,1)\), \((-1,0)\), \((0,-1)\) dividen la circunferencia en cuatro arcos, cada uno de longitud \(\pi/2\) —por construcción del cuadrado inicial en el §5.1—. Para \(t\in[\pi/2,\pi]\), defínase \(W(t)\) repitiendo la construcción del §3 sobre el arco de \((0,1)\) a \((-1,0)\), con \(t-\pi/2\in[0,\pi/2]\) jugando el papel de la variable del §3; análogamente para \([\pi,3\pi/2]\) y \([3\pi/2,2\pi]\). En cada caso, la Proposición del §3 —con las coordenadas y signos ajustados al cuadrante correspondiente— da \(\ell(W(t))=t\).
Extensión a \(\mathbb{R}\) por periodicidad. Para \(t\in\mathbb{R}\) arbitrario, el Lema arquimediano da un entero \(n\) tal que \(t-2n\pi\in[0,2\pi)\) —el "resto" de dividir \(t\) por \(2\pi\)—; ese entero es único, por la misma unicidad de la división euclídea. Defínase
usando la construcción ya hecha en \([0,2\pi)\).
Proposición (periodicidad e inyectividad restringida). \(W(t+2\pi)=W(t)\) para todo \(t\in\mathbb{R}\), y \(W\) restringida a \([0,2\pi)\) es inyectiva.
Demostración. La periodicidad es inmediata de la definición —\(t+2\pi\) y \(t\) dejan el mismo resto módulo \(2\pi\)—. La inyectividad en \([0,2\pi)\) se sigue de la monotonía estricta de \(\ell\) dentro de cada cuadrante —§2— y de que \(\ell\) distingue cuadrantes distintos por los signos de las coordenadas, que no se repiten dentro de una misma vuelta. \(\blacksquare\)
Recordatorio. \(W\) es periódica en todo \(\mathbb{R}\) pero inyectiva únicamente en un intervalo de longitud \(2\pi\) —a diferencia de \(a^x\), que era inyectiva en todo su dominio—. Esta pérdida de inyectividad global es, precisamente, lo que distingue a las funciones que se construirán en el §5.3 de las del Capítulo 4: no van a admitir una inversa en todo su dominio, solo en un intervalo restringido.
Con \(W\) completamente construida, quedan por calcular, sin ninguna herramienta nueva, los cuatro puntos que dividen la circunferencia en cuadrantes exactos. Es el contenido del §5.
§5. Puntos distinguidos¶
Por construcción directa —sin cálculo adicional—:
Estos cuatro valores no son un cálculo: son, literalmente, los cuatro vértices del cuadrado con el que arrancó la construcción del §5.1, y la razón por la que ese cuadrado —y no un triángulo o un hexágono— se eligió como punto de partida.
§6. Cierre¶
Esta sección tradujo, paso por paso, cada pieza de maquinaria ya construida en el libro a un contexto geométrico nuevo: el Lema arquimediano volvió a acotar una diferencia hasta hacerla arbitrariamente pequeña, el axioma del supremo volvió a producir un valor a partir de dos sucesiones que se aprietan, y la extensión por periodicidad —módulo \(2\pi\)— usó la misma división euclídea con resto que ya era familiar desde mucho antes de este capítulo. Lo único genuinamente nuevo fue geométrico, no analítico: los puntos con los que se trabaja ya no son números sobre una recta, sino posiciones sobre una curva, y hubo que verificar, con cuidado, que las nociones de "más cerca" y "más lejos" heredadas de la recta real siguen teniendo sentido cuando la variable independiente recorre una circunferencia y vuelve, cada \(2\pi\), sobre sus propios pasos.
Con \(W:\mathbb{R}\to\) circunferencia unitaria completamente construida, el capítulo dispone, por fin, de todo lo necesario para definir seno y coseno como lo que genuinamente son: no relaciones entre lados de un triángulo, sino las dos coordenadas de un punto que se mueve, a velocidad constante en longitud de arco, alrededor de la circunferencia unitaria.
El §5.3 define las funciones trigonométricas de un número real a partir de \(W\), y deriva de esa definición —no las postula— las identidades fundamentales.