Capítulo 2 — Funciones y Relaciones Dinámicas¶

Si los números reales son la materia prima del análisis matemático, las funciones son su dinámica: las reglas que gobiernan la dependencia, la transformación y la variación de las magnitudes.

En este capítulo pasamos de la idea intuitiva de una tabla de valores a la definición formal de función como conjunto de pares, y construimos las herramientas para estudiar cómo se comportan las funciones, cómo se combinan y cómo se transforman.

Contenido del capítulo¶

2.1 — Noción de Función: producto cartesiano, relaciones, definición de función por existencia y unicidad, dominio, codominio e imagen, y representaciones de una función.
2.2 — Dominio Explícito e Implícito: la convención del dominio implícito, las restricciones estructurales de las operaciones disponibles, restricción e igualdad de funciones.
2.3 — Visualización y Topología Básica: criterio de la recta vertical, dominio e imagen leídos en la gráfica, ceros y signo, funciones pares e impares, y monotonía.
2.4 — Catálogo de Funciones Prototipo: los seis prototipos \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(|x|\), \(\sqrt{x}\) y \(\frac{1}{x}\), crecimiento sin cota y asíntotas verticales y horizontales.
2.5 — Geometría del Espacio de Funciones: traslaciones, cambios de escala, reflexiones y paridad, y el orden de ejecución en las transformaciones compuestas.
2.6 — Álgebra y Composición: operaciones aritméticas entre funciones y su dominio, la composición \(g \circ f\), asociatividad y falta de conmutatividad, y descomposición en funciones elementales.
2.7 — Inyectividad y Función Inversa: criterio de la recta horizontal, sobreyectividad y biyectividad, construcción de \(f^{-1}\), restricción del dominio para invertir y simetría respecto de la recta \(y = x\).
2.8 — Optimización y Valores Extremos: extremos absolutos y relativos, el vértice de la parábola, extremos mediante monotonía y la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.
2.9 — Cierre: De la Cantidad al Cambio: ensayo histórico y epistemológico sobre la evolución del concepto de función, de las tablas babilónicas a la definición conjuntista.
2.10 — Cierre: Síntesis y Checklist: mapa de dependencias del capítulo y lista de competencias por sección.
2.11 — Cierre: Problemas de Revisión: problemas en tres niveles, con clave de respuestas.
2.12 — Cierre: Examen Modelo: examen con pauta de corrección.

«Una función no es solo una fórmula; es la ley de una transformación.»