Capítulo 2 - Funciones¶

Si los números reales constituyen la materia prima del análisis matemático, las funciones representan la dinámica: las reglas que gobiernan la dependencia, la transformación y la variación de las magnitudes.

En este capítulo pasaremos de la noción intuitiva de tabla de valores a la definición formal conjuntista, construyendo las herramientas teóricas para analizar cómo se comportan, operan y transforman estas estructuras.

Contenido del capítulo¶

2.1 Noción de Función: Definición conjuntista formal como relación \(f \subseteq A \times B\), la condición de unicidad, dominio, codominio e imagen.
2.2 Dominio Explícito e Implícito: Restricciones estructurales en \(\mathbb{R}\) (división por cero y raíces pares), extensión del catálogo e igualdad de funciones.
2.3 Visualización y Topología Básica: Prueba de la recta vertical, lectura gráfica de dominio e imagen, intervalos de monotonía y simetrías (paridad).
2.4 Catálogo de Funciones Prototipo: Familias elementales (constante, identidad, potencia, raíz, valor absoluto, recíproca) y funciones a trozos.
2.5 Geometría del Espacio de Funciones: Traslaciones, reflexiones, escalamientos verticales/horizontales y transformaciones con valor absoluto.
2.6 Álgebra y Composición: Operaciones aritméticas entre funciones, dominio de la combinación y la operación no conmutativa de composición \(g \circ f\).
2.7 Inyectividad y Función Inversa: Criterio de la recta horizontal, biyectividad, construcción analítica de \(f^{-1}\) y simetría respecto a \(y = x\).
2.8 Optimización y Valores Extremos: Máximos y mínimos locales y absolutos, tasa de cambio promedio y modelización de problemas aplicados.
2.9 Cierre del Capítulo 2: La función como objeto y la visión funcional: reflexiones epistemológicas sobre el paso de la variable a la relación.

"Una función no es solo una fórmula; es la ley de una transformación."