Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶
7.5 - Ecuaciones Trigonométricas¶
Una ecuación trigonométrica rara vez tiene una solución: la periodicidad de las funciones la convierte, casi siempre, en una familia infinita, y resolverla es describir esa familia completa.
Una ecuación trigonométrica es, según la definición del §7.1, una igualdad entre expresiones trigonométricas que se cumple solo para algunos valores de la variable. Resolverla es hallar todos esos valores. Aquí aparece una diferencia esencial con las ecuaciones algebraicas de los capítulos anteriores: como las funciones son periódicas, si \(x_0\) es solución también lo son \(x_0+2\pi\), \(x_0+4\pi\) y todos los demás, de modo que el conjunto de soluciones es, casi siempre, infinito. Hay que distinguir entonces entre dos preguntas: hallar las soluciones en un intervalo dado, habitualmente \([0,2\pi)\), y hallar la solución general, es decir, todas.
§1. Las ecuaciones básicas¶
Las ecuaciones más simples, \(\sin x=k\), \(\cos x=k\) y \(\tan x=k\), se resuelven de una vez para siempre. Las demás se reducen a ellas.
Teorema. Sea \(k\in\mathbb{R}\) y sea \(n\) un entero arbitrario.
Primero, \(\sin x=k\) tiene solución si y solo si \(|k|\le1\), y en ese caso sus soluciones son $\(x=\arcsin k+2\pi n\qquad\text{y}\qquad x=\pi-\arcsin k+2\pi n\)$ Segundo, \(\cos x=k\) tiene solución si y solo si \(|k|\le1\), y sus soluciones son $\(x=\pm\arccos k+2\pi n\)$ Y tercero, \(\tan x=k\) tiene solución para todo \(k\in\mathbb{R}\), y sus soluciones son $\(x=\arctan k+\pi n\)$
Demostración. Como \(W(x)\) está en la circunferencia unitaria, \(|\sin x|\le1\) y \(|\cos x|\le1\), de modo que las dos primeras ecuaciones solo tienen solución si \(|k|\le1\). Para \(\sin x=k\), sea \(\theta=\arcsin k\). Los puntos de la circunferencia con ordenada \(k\) son \(\big(\pm\sqrt{1-k^2},k\big)\). Uno de ellos es \(W(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)\), con \(\cos\theta=\sqrt{1-k^2}\) por el §7.4; el otro es \(W(\pi-\theta)=(-\cos\theta,\sin\theta)\) por el §7.1. Entonces \(\sin x=k\) equivale a que \(W(x)\) sea uno de esos dos puntos, y por la proposición del §6.1 §2 esto ocurre exactamente cuando \(x\) difiere de \(\theta\) o de \(\pi-\theta\) en un múltiplo de \(2\pi\). Para \(\cos x=k\), sea \(\varphi=\arccos k\in[0,\pi]\). Los puntos con abscisa \(k\) son \(W(\varphi)\) y \(W(-\varphi)=(\cos\varphi,-\sin\varphi)\), y de nuevo por la proposición del §6.1 §2, \(x\equiv\pm\varphi\) módulo \(2\pi\). Para \(\tan x=k\), la ecuación equivale a \(\cos x\neq0\) y \(\sin x=k\cos x\), es decir, a que \(W(x)\) esté en la recta \(y=kx\). Esa recta corta a la circunferencia unitaria en los dos puntos opuestos \(\pm\dfrac{(1,k)}{\sqrt{1+k^2}}\), y el primero es \(W(\psi)\) con \(\psi=\arctan k\), por las fórmulas del §7.4; el segundo es \(W(\psi+\pi)\) por el medio giro. Luego \(x\equiv\psi\) módulo \(\pi\). \(\blacksquare\)
Figura 7.4 — Cada ecuación básica tiene dos familias de soluciones, porque una recta horizontal o vertical corta a la circunferencia en dos puntos. Cada punto da una familia, con período \(2\pi\).
El teorema muestra por qué la calculadora, que devuelve un solo valor, no resuelve la ecuación: las dos familias de \(\sin x=k\) son \(\arcsin k\) y \(\pi-\arcsin k\), y la calculadora entrega solo la primera. Las soluciones de una ecuación básica en \([0,2\pi)\) se obtienen dando a \(n\) los valores que dejan a \(x\) dentro del intervalo.
Recordatorio. \(\sin x=k\): \(x=\arcsin k+2\pi n\) o \(x=\pi-\arcsin k+2\pi n\). \(\cos x=k\): \(x=\pm\arccos k+2\pi n\). \(\tan x=k\): \(x=\arctan k+\pi n\). Las dos primeras exigen \(|k|\le1\).
§2. Reducción a ecuaciones básicas¶
La mayoría de las ecuaciones se reducen a las básicas mediante dos herramientas que ya se conocen: la factorización y las identidades.
Ejemplo 1. \(2\sin x-1=0\). Se despeja \(\sin x=\tfrac12\), y como \(\arcsin\tfrac12=\tfrac{\pi}{6}\), las soluciones generales son \(x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\) y \(x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n\). En \([0,2\pi)\) son \(\tfrac{\pi}{6}\) y \(\tfrac{5\pi}{6}\).
Ejemplo 2. \(2\cos^2x+\cos x-1=0\). Es una ecuación de segundo grado en \(\cos x\), que se factoriza como \((2\cos x-1)(\cos x+1)=0\). Luego \(\cos x=\tfrac12\), que da \(x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\), o \(\cos x=-1\), que da \(x=\pi+2\pi n\). En \([0,2\pi)\) las soluciones son \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\pi\) y \(\tfrac{5\pi}{3}\).
Ejemplo 3. \(2\sin^2x+3\cos x=0\). Reemplazando \(\sin^2x=1-\cos^2x\) queda una ecuación en \(\cos x\) solamente: \(2-2\cos^2x+3\cos x=0\), es decir, \(2\cos^2x-3\cos x-2=0\), que se factoriza como \((2\cos x+1)(\cos x-2)=0\). La raíz \(\cos x=2\) no tiene solución, porque \(|\cos x|\le1\); queda \(\cos x=-\tfrac12\), con \(x=\pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi n\). En \([0,2\pi)\): \(\tfrac{2\pi}{3}\) y \(\tfrac{4\pi}{3}\).
Ejemplo 4. \(\sin2x=\sin x\). Con el ángulo doble, \(2\sin x\cos x-\sin x=0\), y sacando factor común, \(\sin x (2\cos x-1)=0\). Es un error dividir ambos miembros por \(\sin x\), porque se pierden las soluciones donde \(\sin x=0\). Correctamente, \(\sin x=0\), que da \(x=\pi n\), o \(\cos x=\tfrac12\), que da \(x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\). En \([0,2\pi)\) resultan \(0\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\pi\) y \(\tfrac{5\pi}{3}\).
Ejemplo 5. \(\tan x=-\sqrt3\). Como \(\arctan(-\sqrt3)=-\tfrac{\pi}{3}\), las soluciones generales son \(x=-\tfrac{\pi}{3}+\pi n\), y en \([0,2\pi)\) resultan \(\tfrac{2\pi}{3}\) y \(\tfrac{5\pi}{3}\).
Ejemplo 6. Con la calculadora, \(\sin x=0{,}3\) tiene por soluciones generales \(x\approx0{,}3047+2\pi n\) y \(x\approx\pi-0{,}3047\approx2{,}8369+2\pi n\), con el ángulo en radianes.
Recordatorio. Se reduce la ecuación a una o varias básicas: factorizando, o expresando todo en una sola función. No se divide por una expresión que pueda anularse. Toda raíz \(k\) con \(|k|>1\) de \(\sin x=k\) o \(\cos x=k\) se descarta.
§3. Ángulos múltiples¶
Cuando el argumento es un múltiplo, \(\sin3x=\tfrac{\sqrt3}{2}\) por ejemplo, se resuelve primero para el argumento completo, y luego se despeja \(x\). La trampa está en el intervalo: si \(x\) recorre \([0,2\pi)\), entonces \(3x\) recorre \([0,6\pi)\), tres vueltas, y hay que tomar las soluciones de todas.
Aquí \(3x=\tfrac{\pi}{3}+2\pi n\) o \(3x=\tfrac{2\pi}{3}+2\pi n\), de donde \(x=\tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi n}{3}\) o \(x=\tfrac{2\pi}{9}+\tfrac{2\pi n}{3}\). Tomando \(n=0,1,2\) en cada familia, las soluciones en \([0,2\pi)\) son \(\tfrac{\pi}{9}\), \(\tfrac{7\pi}{9}\), \(\tfrac{13\pi}{9}\), \(\tfrac{2\pi}{9}\), \(\tfrac{8\pi}{9}\) y \(\tfrac{14\pi}{9}\): seis, porque hay dos familias y cada una aporta una solución por cada una de las tres vueltas que da \(3x\). Con \(n=3\) se vuelve a \(x=\tfrac{\pi}{9}+2\pi\), ya fuera del intervalo.
§4. Soluciones extrañas¶
Algunas ecuaciones se resuelven elevando al cuadrado, y esa operación introduce soluciones que no lo son: pasa de \(A=B\) a \(A^2=B^2\), que también admite \(A=-B\). Es la misma advertencia del §7.1 §4 sobre pasos que no son reversibles.
Ejemplo. \(\sin x+\cos x=1\). Elevando al cuadrado, \(\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1\), es decir, \(1+\sin2x=1\) y \(\sin2x=0\), con \(2x=\pi n\) y \(x=\tfrac{\pi n}{2}\). En \([0,2\pi)\) los candidatos son \(0\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\pi\) y \(\tfrac{3\pi}{2}\). Se verifica en la ecuación original: \(x=0\) da \(0+1=1\), correcto; \(x=\tfrac{\pi}{2}\) da \(1+0=1\), correcto; \(x=\pi\) da \(0-1=-1\), incorrecto; \(x=\tfrac{3\pi}{2}\) da \(-1+0=-1\), incorrecto. Las soluciones son solo \(0\) y \(\tfrac{\pi}{2}\), módulo \(2\pi\). Toda solución hallada elevando al cuadrado debe verificarse en la ecuación original.
§5. La forma \(R\sin(x+\varphi)\)¶
Una ecuación lineal en seno y coseno, \(a\sin x+b\cos x=c\), se resuelve mediante las fórmulas de suma, que la convierten en una ecuación básica.
Proposición. Sean \(a\) y \(b\) no ambos nulos, \(R=\sqrt{a^2+b^2}\), y \(\varphi\) un ángulo con \(\cos\varphi=\dfrac{a}{R}\) y \(\sin\varphi=\dfrac{b}{R}\). Entonces, para todo \(x\), $\(a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)\)$
Demostración. Existe tal \(\varphi\): el punto \((a/R, b/R)\) está en la circunferencia unitaria, luego es \(W(\varphi)\) para algún \(\varphi\) por el §5.2. Por la fórmula de suma del §7.2, \(R\sin(x+\varphi)=R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi=a\sin x+b\cos x\). \(\blacksquare\)
Como consecuencia, \(a\sin x+b\cos x=c\) equivale a \(\sin(x+\varphi)=\dfrac{c}{R}\), que tiene solución si y solo si \(|c|\le R\), y también se ve que el valor máximo de \(a\sin x+b\cos x\) es \(R\) y el mínimo \(-R\).
Ejemplos. Para \(3\sin x+4\cos x=5\) se tiene \(R=5\), \(\cos\varphi=\tfrac35\) y \(\sin\varphi=\tfrac45\), de modo que \(\varphi=\arctan\tfrac43\approx0{,}9273\). La ecuación queda \(\sin(x+\varphi)=1\), con \(x+\varphi=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\), es decir, \(x=\tfrac{\pi}{2}-\varphi+2\pi n\approx0{,}6435+2\pi n\); se verifica: \(3\cdot0{,}6+4\cdot0{,}8=5\). Y \(\sin x+\cos x=1\) tiene \(R=\sqrt2\) y \(\varphi=\tfrac{\pi}{4}\), de modo que \(\sqrt2\sin\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big)=1\), es decir, \(\sin\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{\sqrt2}{2}\), con \(x+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}+2\pi n\) o \(\tfrac{3\pi}{4}+2\pi n\), luego \(x=2\pi n\) o \(x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\), sin soluciones extrañas, y coincide con lo hallado en el §4.
Recordatorio. \(a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi)\) con \(R=\sqrt{a^2+b^2}\) y \((\cos\varphi,\sin\varphi)=(a/R,b/R)\). La ecuación \(a\sin x+b\cos x=c\) tiene solución si y solo si \(|c|\le R\).
Una ecuación trigonométrica es, en última instancia, la pregunta por la preimagen de un valor bajo una función que no es inyectiva. La lectura desde \(W\) lo aclara: resolver \(\sin x=k\) es preguntar qué puntos de la circunferencia tienen ordenada \(k\), y esos son dos; toda la infinitud de soluciones es la de las vueltas que \(W\) da en torno de ellos. La solución general no es entonces un formalismo, sino la descripción completa de un conjunto que la periodicidad multiplica. Queda abierta la pregunta de si esa misma estructura, un ángulo y su periodicidad, puede llevarse a números que no están sobre una recta sino en un plano.
Esa es la cuestión de la sección siguiente: los números complejos, cuyo módulo y cuyo argumento son precisamente una distancia y un ángulo.