Capítulo 4 - Funciones Exponenciales y Logarítmicas¶
4.4 - Leyes de los Logaritmos¶
Cada propiedad algebraica de la exponencial tiene, del otro lado del espejo \(y=x\), una contraparte exacta en el logaritmo. No hace falta descubrirlas: basta con leer, una por una, las que ya están demostradas.
El §4.3 cerró señalando lo que todavía faltaba: la posibilidad de convertir una suma dentro del argumento del logaritmo —o, mirado desde el otro lado, un producto— en una operación más simple. Esa posibilidad no exige ninguna herramienta nueva. Exige, únicamente, tomar el homomorfismo \(a^{u+v}=a^u a^v\) —§8, sección 4.1— y los corolarios que de él se derivaron —§12, sección 4.1—, y leerlos con \(\log_a\) en la mano en vez de con \(a^x\).
§1. La ley del producto¶
Proposición. Para todo \(x,y>0\), \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\).
Demostración. Sean \(u=\log_a x\) y \(v=\log_a y\), de modo que \(a^u=x\) y \(a^v=y\) —Definición del §1, sección 4.3—. Por el homomorfismo del §8, sección 4.1, válido para cualquier par de reales,
Por la Definición del logaritmo, \(\log_a(xy)\) es el único real cuyo exponente sobre \(a\) produce \(xy\); como \(u+v\) es, precisamente, ese real, \(\log_a(xy)=u+v=\log_a x+\log_a y\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos — no por una regla memorizada, sino porque el homomorfismo de la exponencial, leído al revés, dice exactamente eso.
El mismo procedimiento, con una resta en el exponente en vez de una suma, da la ley del cociente. Es el contenido del §2.
§2. La ley del cociente¶
Proposición. Para todo \(x,y>0\), \(\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\).
Demostración. Con \(u=\log_a x\), \(v=\log_a y\) como antes, el Ejercicio 1 del §12, sección 4.1, da \(a^{u-v}=a^u/a^v=x/y\). Por la misma Definición, \(\log_a(x/y)\) es el único real cuyo exponente sobre \(a\) produce \(x/y\), y ese real es \(u-v\). Luego \(\log_a(x/y)=u-v=\log_a x-\log_a y\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. La resta de logaritmos corresponde al cociente de los argumentos — corolario inmediato de la ley del producto y de \(a^{-v}=1/a^v\), sin nada adicional que demostrar.
Falta la ley que traduce una potencia dentro del argumento en un producto por fuera del logaritmo. Es la más general de las tres, porque el exponente que baja no está restringido a los racionales: puede ser cualquier real, gracias al corolario \((a^x)^y=a^{xy}\) ya probado en 4.1. Es el contenido del §3.
§3. La ley de la potencia¶
Proposición. Para todo \(x>0\) y todo \(r\in\mathbb{R}\), \(\log_a(x^r)=r\log_a x\).
Demostración. Sea \(u=\log_a x\), de modo que \(a^u=x\). Por el Ejercicio 2 del §12, sección 4.1 —\((a^u)^r=a^{ur}\), válido para \(u,r\) reales cualesquiera, sin restricción a exponentes racionales—,
Por la Definición del logaritmo, \(\log_a(x^r)\) es el único real cuyo exponente sobre \(a\) produce \(x^r\), y ese real es \(ur\). Luego \(\log_a(x^r)=ur=r\log_a x\). \(\blacksquare\)
Recordatorio. Esta ley es, de las tres, la que más debe a la generalidad construida en 4.1: si el corolario \((a^x)^y=a^{xy}\) solo hubiera valido para exponentes racionales —como ocurre en cualquier tratamiento que evite la construcción vía completitud—, esta Proposición tendría que restringirse a \(r\in\mathbb{Q}\). Acá no hace falta esa restricción, porque tampoco hizo falta en el §12.
Con las tres leyes fundamentales establecidas, resta una cuarta que no traduce una operación algebraica sino un cambio de perspectiva: qué relación guardan los logaritmos de un mismo número en dos bases distintas. Es el contenido del §4, y depende únicamente de la ley de la potencia recién probada.
§4. La fórmula de cambio de base¶
Proposición. Para \(a,b>0\), \(a,b\neq1\), y \(x>0\),
Demostración. Sea \(u=\log_a x\), de modo que \(a^u=x\). Aplicando \(\log_b\) a ambos lados de esta igualdad entre reales positivos —una función bien definida asigna el mismo valor a argumentos iguales—, \(\log_b(a^u)=\log_b x\). Por la ley de la potencia del §3, con base \(b\), argumento \(a\) y exponente \(u\), \(\log_b(a^u)=u\cdot\log_b a\). Combinando,
Falta justificar que puede dividirse por \(\log_b a\). Como \(a\neq1\), la inyectividad de \(\log_b\) —§4, sección 4.3— junto con \(\log_b1=0\) —§5, sección 4.3— garantiza \(\log_b a\neq0\): si fuera \(\log_b a=0=\log_b1\), la inyectividad forzaría \(a=1\), contra la hipótesis. Dividiendo,
y como \(u=\log_a x\) por definición, queda probada la fórmula. \(\blacksquare\)
Recordatorio. Ninguna base es indispensable: cualquier base \(b\) sirve para calcular un logaritmo en cualquier otra base \(a\), siempre que \(\log_b a\neq0\) —lo cual está garantizado, sin excepción, mientras \(a\neq1\)—. Esta es, en la práctica, la fórmula que permite que una calculadora con un solo botón de logaritmo —habitualmente en base \(10\) o en base \(e\)— calcule logaritmos en cualquier base.
Con las cuatro leyes disponibles, corresponde ejercitar su manejo combinado antes del cierre de la sección. Ese es el contenido del §5.
§5. Ejercicios resueltos¶
Ejercicio 1. Expresar \(\log_a\left(\dfrac{x^2\sqrt{y}}{z^3}\right)\) como combinación de \(\log_a x\), \(\log_a y\), \(\log_a z\), para \(x,y,z>0\).
Solución. Por la ley del cociente (§2), \(\log_a\left(\dfrac{x^2\sqrt y}{z^3}\right)=\log_a(x^2\sqrt y)-\log_a(z^3)\). Por la ley de la potencia (§3), \(\log_a(z^3)=3\log_a z\). Por la ley del producto (§1), \(\log_a(x^2\sqrt y)=\log_a(x^2)+\log_a(y^{1/2})\), y por la ley de la potencia otra vez, \(\log_a(x^2)=2\log_a x\) y \(\log_a(y^{1/2})=\tfrac12\log_a y\). Combinando todo,
Ejercicio 2. Sabiendo que \(\log_{10}2\approx0{,}301\) y \(\log_{10}3\approx0{,}477\), calcular \(\log_{10}12\).
Solución. \(12=2^2\cdot3\). Por las leyes del producto y de la potencia, \(\log_{10}12=\log_{10}(2^2)+\log_{10}3=2\log_{10}2+\log_{10}3\approx2(0{,}301)+0{,}477=1{,}079\).
Ejercicio 3. Calcular \(\log_4 32\) usando cambio de base a base \(2\).
Solución. Por el §4, \(\log_4 32=\dfrac{\log_2 32}{\log_2 4}\). Como \(32=2^5\) y \(4=2^2\), la identidad de inversión del §2, sección 4.3, da \(\log_2 32=5\) y \(\log_2 4=2\). Luego \(\log_4 32=\dfrac52\).
Ejercicio 4. Resolver \(\log_a(x+3)+\log_a(x-3)=\log_a 16\), especificando el dominio.
Solución. El dominio exige \(x+3>0\) y \(x-3>0\) simultáneamente —§3, sección 4.3—, es decir, \(x>3\). Por la ley del producto (§1), el lado izquierdo es \(\log_a\big((x+3)(x-3)\big)=\log_a(x^2-9)\). La ecuación se reduce a \(\log_a(x^2-9)=\log_a16\), y por la inyectividad de \(\log_a\) —§4, sección 4.3—, \(x^2-9=16\), de donde \(x^2=25\), es decir, \(x=\pm5\). Combinando con el dominio \(x>3\), la única solución válida es \(x=5\) —\(x=-5\) se descarta, no por error algebraico, sino porque queda fuera del dominio original, un recordatorio de que cada paso de este tipo exige revisar la restricción con la que se empezó—.
Con las leyes ejercitadas, resta situar lo que esta sección logró dentro de la historia más amplia de por qué el logaritmo llegó a existir. Ese es el contenido del §6, con el que se cierra la sección.
§6. Cierre¶
Lo que las cuatro leyes de esta sección tienen en común, mirado desde suficiente distancia, es que todas convierten una operación multiplicativa —producto, cociente, potencia— en una operación aditiva —suma, resta, producto por un escalar—. No es una coincidencia entre cuatro reglas sueltas: es una sola idea, la del homomorfismo del §8 de la sección 4.1, vista del lado del logaritmo en vez del lado de la exponencial. \(\log_a\) traduce el mundo del producto al mundo de la suma, y esa traducción es exacta, reversible y sin pérdida —tan reversible como la propia relación de inversa que definió al logaritmo en el §4.3—.
Esa traducción no es una curiosidad moderna. John Napier, al publicar sus tablas de logaritmos en 1614 —Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio—, no perseguía una construcción axiomática como la de este capítulo, sino algo mucho más urgente para su época: reducir el trabajo, propenso a errores, de multiplicar números de muchas cifras a mano. Con una tabla de logaritmos, multiplicar dos números se reducía a sumar sus logaritmos y buscar, en la misma tabla, a qué número correspondía esa suma —exactamente la ley del §1, usada en la dirección opuesta a como se la demostró aquí—. Esa economía de cálculo, antes de cualquier calculadora electrónica, aceleró durante más de tres siglos la astronomía, la navegación y la ingeniería; la regla de cálculo, instrumento estándar hasta bien entrado el siglo XX, no es otra cosa que esta misma ley del producto, materializada en una regla deslizante.
Lo notable, con la distancia de este libro, es que Napier llegó a esa herramienta sin tener —ni necesitar— la construcción rigurosa de la sección 4.1: trabajaba con progresiones geométricas y aritméticas comparadas término a término, una intuición operativa que funcionaba mucho antes de que existiera el axioma de completitud para justificarla del todo. La misma distancia que separó el uso de Euler de \(a^x\) irracional —mencionado en el cierre del §12, sección 4.1— de su fundamentación rigurosa, separa también las tablas de Napier de la Proposición del §1 de esta sección: casi trescientos años de uso fecundo antes de que el objeto usado quedara, como aquí, completamente justificado desde sus cimientos.
Con las leyes de los logaritmos completas, el §4.5 las combina con la inyectividad del §4.3 para resolver, de manera sistemática, ecuaciones e inecuaciones que mezclan exponenciales y logaritmos —el tipo de problema que motivó, históricamente, la invención misma del logaritmo.