Capítulo 9 — Las Cónicas como Lugares Geométricos¶
9.8 — Las Cónicas desde el Foco¶
Vistas desde el centro, las cónicas necesitan tres ecuaciones; vistas desde el foco, les basta una.
El §9.4 unificó las tres cónicas en una sola condición, \(d(P,F)=e\,d(P,\ell)\), pero su ecuación cartesiana seguía distinguiendo casos. La parábola no tiene centro, y el teorema del §9.4 excluía \(e=1\). La razón es que el sistema elegido tenía su origen en el centro, un punto que la condición métrica no menciona. La condición habla de un foco y de una recta, y el punto de vista que le corresponde es el foco. Esta sección coloca el polo de las coordenadas polares del §9.7 en el foco. La distancia al foco se convierte en \(|r|\), y las tres cónicas quedan descritas, sin distinción de casos, por una sola fracción.
§1. La ecuación polar¶
Se coloca el polo en el foco \(F\) y el eje polar sobre la perpendicular a la directriz, orientado en el sentido opuesto a ella. Si \(d=d(F,\ell)>0\), la directriz es la recta \(x=-d\).
Teorema. La cónica de foco en el polo, directriz \(x=-d\) y excentricidad \(e>0\) es la curva de ecuación polar
definida para los \(\theta\) con \(1-e\cos\theta\neq 0\).
Demostración. Para un punto \(P=\Phi(r,\theta)\) se tiene \(d(P,F)=|r|\) (§9.7 §1) y, por el §9.2 §1, \(d(P,\ell)=|x+d|=|r\cos\theta+d|\). La condición de la cónica se escribe, entonces,
Supóngase que \(\theta\) está en el dominio y que \(r=\tfrac{ed}{1-e\cos\theta}\). Entonces \(r-er\cos\theta=ed\), es decir, \(r=e(r\cos\theta+d)\), y tomando valores absolutos se obtiene la condición. La curva está, así, contenida en la cónica.
Recíprocamente, sea \(P\) un punto de la cónica. El polo no pertenece a ella, porque dista \(0\) del foco y \(d>0\) de la directriz, y \(0\neq e\,d\). Sea \((r,\theta)\) cualquier representación polar de \(P\), con \(r\neq 0\). De \(|r|=e|r\cos\theta+d|\) se sigue que \(r=e(r\cos\theta+d)\) o bien \(r=-e(r\cos\theta+d)\). En el primer caso, \(r(1-e\cos\theta)=ed\neq 0\), así que \(1-e\cos\theta\neq 0\) y \(r=\tfrac{ed}{1-e\cos\theta}\): la representación satisface la ecuación. En el segundo caso se pasa a la otra representación de \(P\) dada por el §9.7 §2, \((r^*,\theta^*)=(-r,\theta+\pi)\). Como \(\cos\theta^*=-\cos\theta\), se tiene \(r^*\cos\theta^*=r\cos\theta\), y por lo tanto
La nueva representación cae en el primer caso y satisface la ecuación. En ambos casos \(P\) pertenece a la curva. \(\blacksquare\)
La demostración muestra por qué las coordenadas polares exigían la convención de \(r\) negativo y la regla de pertenencia por alguna representación. La condición métrica, con sus valores absolutos, admite dos signos, y la ecuación polar elige uno. Lo que permite no perder puntos es que cada punto tiene una representación con el signo correcto. Sin la regla del §9.7 §3, la ecuación describiría solo una parte de la cónica.
Las otras posiciones de la directriz se obtienen de esta. La reflexión \((x,y)\mapsto(-x,y)\) conserva las distancias (§9.2 §3) y corresponde, en polares, a reemplazar \(\theta\) por \(\pi-\theta\), lo que cambia \(\cos\theta\) por \(-\cos\theta\). Del mismo modo, el intercambio de coordenadas corresponde a reemplazar \(\theta\) por \(\tfrac{\pi}{2}-\theta\) y cambia el coseno por el seno. Las cuatro posiciones de la directriz dan
Más en general, si la perpendicular desde el foco a la directriz tiene la dirección \(W(\alpha+\pi)\), el giro del §9.6, que en polares es simplemente la sustitución de \(\theta\) por \(\theta-\alpha\), da la ecuación \(r=\tfrac{ed}{1-e\cos(\theta-\alpha)}\). En coordenadas polares, una rotación de la figura se reduce a un corrimiento del ángulo.
Recordatorio. Con el polo en el foco y la directriz \(x=-d\): \(r=\tfrac{ed}{1-e\cos\theta}\). Signo \(+\) si la directriz está del lado positivo; seno en lugar de coseno si la directriz es horizontal. Un giro de la figura es un corrimiento \(\theta\mapsto\theta-\alpha\).
§2. La excentricidad en la ecuación¶
Toda la información geométrica de la cónica está en los dos números \(e\) y \(ed\), y el comportamiento del denominador \(1-e\cos\theta\) basta para distinguir los tres tipos sin volver a coordenadas cartesianas.
El numerador tiene un significado propio. Para \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) el denominador vale \(1\) y \(r=ed\): es la distancia del foco a la curva medida en la dirección paralela a la directriz. Se la llama parámetro focal y es la mitad de la cuerda focal perpendicular al eje. En la parábola, con \(e=1\), vale \(d\), que es el parámetro \(p\) del §9.2; la cuerda completa mide \(2p\), el lado recto del §9.2 §2. En la elipse y la hipérbola, con \(a=\tfrac{ed}{|1-e^2|}\) por el §9.4 §1, el parámetro focal vale \(a|1-e^2|\), que es \(\tfrac{b^2}{a}\) en ambos casos.
Si \(0<e<1\), el denominador satisface \(1-e\cos\theta\geq 1-e>0\) para todo \(\theta\). La ecuación está definida en todas las direcciones, \(r\) es siempre positivo y
La curva es cerrada y acotada: es la elipse. La distancia mínima al foco se alcanza en \(\theta=\pi\), del lado de la directriz, y la máxima en \(\theta=0\). En astronomía esos dos puntos de una órbita se llaman perihelio y afelio. Su suma es el eje mayor, \(\tfrac{ed}{1+e}+\tfrac{ed}{1-e}=\tfrac{2ed}{1-e^2}=2a\), de acuerdo con el §9.4.
Si \(e=1\), la ecuación \(r=\tfrac{d}{1-\cos\theta}\) está definida salvo en \(\theta=0\), y cuando \(\theta\) se acerca a \(0\) el denominador tiende a \(0\) y \(r\) crece sin cota. La parábola alcanza todas las direcciones desde su foco menos una, la de su eje en el sentido en que se abre, hacia la que se aleja sin llegar nunca.
Si \(e>1\), el denominador se anula en las dos direcciones \(\theta=\pm\theta_0\), con \(\cos\theta_0=\tfrac{1}{e}\) y \(0<\theta_0<\tfrac{\pi}{2}\). Entre ellas, para \(|\theta|<\theta_0\), el denominador es negativo y \(r\) también: los puntos correspondientes están en la dirección opuesta a \(W(\theta)\). Fuera de ellas, \(r\) es positivo.
Proposición. Para \(e>1\), los puntos con \(r>0\) forman la rama de la hipérbola que contiene al foco en su interior, y los puntos con \(r<0\) forman la otra rama. Las direcciones excluidas \(\pm\theta_0\) son las de las asíntotas.
Demostración. En el sistema del §9.4 §1 con centro en el origen, el foco es \((ae,0)\) y la directriz es \(x=\tfrac{a}{e}\), con \(\tfrac{a}{e}<ae\). La condición \(d(P,F)=e\,d(P,\ell)\) en su forma sin valor absoluto, \(r=e(r\cos\theta+d)\), dice que \(r\) tiene el signo de \(r\cos\theta+d\), es decir, el signo de la distancia con signo de \(P\) a la directriz, positiva del lado del foco. Por el §9.3 §4, la rama que contiene al foco, \(x\geq a>\tfrac{a}{e}\), queda del lado del foco, y la otra, \(x\leq -a\), del lado opuesto. En cuanto a las direcciones, \(\tan\theta_0=\tfrac{\sqrt{1-\cos^2\theta_0}}{\cos\theta_0}=\sqrt{e^2-1}\), que por el §9.4 §3 es la pendiente \(\tfrac{b}{a}\) de las asíntotas. \(\blacksquare\)
Este es el lugar donde se cobra la convención del §9.7 §1. Si se hubieran admitido solo valores positivos de \(r\), la ecuación polar de la hipérbola describiría una sola rama, y la unificación de las tres cónicas en una ecuación sería falsa.
§3. Ejemplos¶
Ejemplo. La ecuación \(r=\tfrac{6}{2-\cos\theta}\) no está en la forma del teorema, pero dividiendo numerador y denominador por \(2\) se escribe \(r=\tfrac{3}{1-\frac12\cos\theta}\). Entonces \(e=\tfrac12\) y \(ed=3\), de modo que \(d=6\): es una elipse con foco en el polo y directriz \(x=-6\). Sus vértices sobre el eje se obtienen en \(\theta=\pi\) y \(\theta=0\): \(r=\tfrac{3}{3/2}=2\) y \(r=\tfrac{3}{1/2}=6\), es decir, los puntos \((-2,0)\) y \((6,0)\). El eje mayor mide \(8\), así que \(a=4\), el centro es \((2,0)\), \(c=ae=2\) y el otro foco es \((4,0)\). Como \(b^2=a^2-c^2=12\), su ecuación cartesiana es
Ejemplo. La ecuación \(r=\tfrac{2}{1-2\cos\theta}\) tiene \(e=2\) y \(ed=2\), así que \(d=1\): es una hipérbola con foco en el polo y directriz \(x=-1\). Las direcciones excluidas cumplen \(\cos\theta=\tfrac12\), es decir, \(\theta=\pm\tfrac{\pi}{3}\), y las asíntotas tienen pendiente \(\pm\sqrt3\). Con \(\theta=\pi\) se obtiene \(r=\tfrac23\), el vértice \(\left(-\tfrac23,0\right)\) de la rama que rodea al foco. Con \(\theta=0\) se obtiene \(r=-2\), que en la dirección opuesta a \(W(0)\) es el punto \((-2,0)\), vértice de la otra rama. El eje transverso mide \(\tfrac43\), así que \(a=\tfrac23\), el centro es \(\left(-\tfrac43,0\right)\) y \(c=ae=\tfrac43\). El otro foco es \(\left(-\tfrac83,0\right)\). El segundo vértice se obtuvo con un valor negativo de \(r\): sin él, la mitad de la curva sería invisible para la ecuación.
Ejemplo. La ecuación \(r=\tfrac{4}{1+\sin\theta}\) tiene \(e=1\): es la parábola con foco en el polo y directriz horizontal \(y=4\). Como la directriz está arriba, la parábola se abre hacia abajo, y su vértice, en \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\), es el punto \((0,2)\), a mitad de camino entre el foco y la directriz. Su ecuación cartesiana, por el §9.2 §3, es \(x^2=-8(y-2)\).
La ecuación polar con el polo en el foco no es solo una curiosidad de notación. Es la forma en que aparecen las cónicas en la mecánica celeste, porque el Sol ocupa el foco de las órbitas planetarias. El cierre del capítulo retoma esa historia.
Con la ecuación polar, el capítulo completa el recorrido que se propuso: de las condiciones métricas a las ecuaciones, de las ecuaciones a su clasificación, y de las tres definiciones a una sola. El cierre revisa ese recorrido desde la historia, que lo hizo en un orden muy distinto.