Capítulo 3 — Polinomios y Funciones Racionales¶
3.1 — Funciones Polinomiales y sus Gráficas¶
Sumar y multiplicar es todo lo que hace falta.
El §2.4 presentó \(x\), \(x^2\) y \(x^3\) como tres entradas aisladas de una tabla, cada una analizada por separado, sin advertir todavía lo que tienen en común: las tres se obtienen aplicando a la variable \(x\) únicamente las dos operaciones que \(\mathbb{R}\) provee por axioma, la suma y el producto, un número finito de veces. Esta sección formaliza esa observación y estudia sus consecuencias.
§1. Definición y elementos de un polinomio¶
Definición. Una función polinomial es una función \(p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) de la forma
donde \(n\) es un entero no negativo y \(a_0,a_1,\ldots,a_n \in \mathbb{R}\). Si \(a_n \neq 0\), se dice que \(p\) tiene grado \(n\), denotado \(\deg(p)=n\), y que \(a_n\) es su coeficiente principal. El caso en que todos los coeficientes son nulos —el polinomio cero, \(p(x)=0\) para todo \(x\)— queda excluido de esta clasificación por grado, precisamente porque ningún \(a_n\) distingue en él un término de mayor peso.
Ninguna restricción estructural limita el dominio: a diferencia de \(\sqrt{x}\) o \(1/x\) en el §2.2, sumar y multiplicar números reales nunca produce una operación prohibida, de modo que \(\text{Dom}(p)=\mathbb{R}\) para todo polinomio \(p\), sin excepción. Esta es la primera diferencia sustantiva respecto del catálogo del §2.4: donde \(1/x\) debía excluir un punto, ningún polinomio necesita hacerlo jamás.
Los tres prototipos ya conocidos son, bajo esta definición, los casos más simples posibles: \(x\) es el polinomio de grado \(1\) con \(a_1=1,\ a_0=0\); \(x^2\) y \(x^3\), los de grado \(2\) y \(3\) con un único coeficiente no nulo. Una función constante \(p(x)=c\) —incluyendo la función constante \(0\) del §2.4— es, en este vocabulario, un polinomio de grado \(0\) si \(c\neq0\), o el polinomio cero si \(c=0\).
Recordatorio. Un polinomio es una suma finita \(a_nx^n+\cdots+a_0\) con coeficientes reales. Su grado es el mayor exponente con coeficiente no nulo, y su dominio es siempre \(\mathbb{R}\).
§2. Comportamiento en los extremos del dominio¶
El §2.4 §2 definió con precisión qué significa que una función "crezca sin cota cuando \(x\to a^+\)", para un punto finito \(a\). La pregunta que interesa ahora es distinta en un aspecto: no es \(x\) la que se acerca a un punto prohibido —ningún polinomio tiene uno—, sino \(x\) misma la que crece sin cota. Esa es exactamente la situación ya analizada en el §2.4 §3 para \(1/x\) cuando \(x\to+\infty\), salvo que allí el resultado fue una aproximación a un valor fijo. Para un polinomio no constante ocurre lo contrario, y hace falta una definición nueva para expresarlo con el mismo rigor.
Definición. Sea \(f\) una función definida para todo \(x\) mayor que algún valor. Se dice que \(f(x)\) crece sin cota cuando \(x\to+\infty\) si
Se dice que \(f(x)\) decrece sin cota cuando \(x\to+\infty\) si la condición análoga vale con \(f(x)<-M\) en lugar de \(f(x)>M\). Las definiciones para \(x\to-\infty\) se obtienen reemplazando la hipótesis \(x>N\) por \(x<-N\).
Esta definición es, en su estructura, la misma que ya organizó el §2.4 §2 y §3: la única diferencia es qué hipótesis activa la conclusión —aquí, que \(x\) supere un umbral \(N\), en vez de que \(x\) caiga dentro de un intervalo \((a,a+\delta)\)—. Con ella puede probarse el resultado central de esta sección.
Proposición. Sea \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0\) con \(a_n\neq0\) y \(n\geq1\). El comportamiento de \(p\) cuando \(x\to+\infty\) depende únicamente del signo de \(a_n\): si \(a_n>0\), \(p\) crece sin cota; si \(a_n<0\), \(p\) decrece sin cota. El comportamiento cuando \(x\to-\infty\) depende además de la paridad de \(n\): coincide con el de \(x\to+\infty\) si \(n\) es par, y se invierte si \(n\) es impar.
Demostración. Para \(x\neq0\), factorícese
Denótese \(r(x)\) la expresión entre paréntesis. Cada término de \(r(x)\) distinto de \(1\) tiene la forma \(\dfrac{a_k}{a_n x^{n-k}}\) con \(n-k\geq1\), y por lo tanto tiende a acotarse arbitrariamente cerca de \(0\) a medida que \(|x|\) crece: existe, para cada uno, un umbral a partir del cual su valor absoluto es menor que \(\dfrac{1}{2n}\) —basta despejar \(|x|\) de esa desigualdad, exactamente como en el §2.4 §3—. Tomando \(N_0\) como el mayor de esos \(n\) umbrales, se tiene, para \(|x|>N_0\),
de modo que \(r(x)>1/2\) para todo \(|x|>N_0\). Sea ahora \(M>0\) arbitrario y supóngase \(a_n>0\). Elíjase \(N=\max\{N_0,\ (2M/a_n)^{1/n}\}\). Si \(x>N\), entonces \(x^n>2M/a_n\), y como \(r(x)>1/2\),
Luego \(p\) crece sin cota cuando \(x\to+\infty\). Los casos \(a_n<0\), y los de \(x\to-\infty\), se obtienen por el mismo argumento: al sustituir \(x=-t\) con \(t\to+\infty\), el factor \(x^n=(-t)^n\) introduce un signo \((-1)^n\) que invierte la conclusión exactamente cuando \(n\) es impar, sin alterar el análisis de \(r(x)\), que depende solo de \(|x|\). \(\blacksquare\)
La proposición reduce el comportamiento en los extremos —cuatro casos posibles según el signo de \(a_n\) y la paridad de \(n\)— a una lectura inmediata del término de mayor grado, sin que el resto del polinomio participe en la conclusión: los términos de menor grado, por muchos que sean o por grandes que sean sus coeficientes, terminan dominados por \(a_nx^n\) tan pronto \(|x|\) crece lo suficiente.
Recordatorio. El comportamiento de un polinomio cuando \(x\to\pm\infty\) lo decide por completo el término de mayor grado \(a_nx^n\): el signo de \(a_n\) fija si crece o decrece sin cota hacia \(+\infty\), y la paridad de \(n\) decide si ese comportamiento se repite o se invierte hacia \(-\infty\).
§3. Multiplicidad de una raíz y su efecto gráfico¶
Si \(p(r)=0\), el §1.3 ya garantiza que \((x-r)\) divide a \(p(x)\) sin resto, de modo que \(p(x)=(x-r)q(x)\) para algún polinomio \(q\). Puede ocurrir que \(r\) sea también raíz de \(q\), y así sucesivamente; este proceso no puede repetirse indefinidamente, porque el grado de \(q\) disminuye en cada paso.
Definición. Sea \(p(x)=(x-r)^m q(x)\) con \(q(r)\neq0\). El entero \(m\geq1\) se llama multiplicidad de la raíz \(r\).
La multiplicidad no es un dato accesorio: determina, con precisión, cómo se comporta la gráfica de \(p\) en un entorno de \(r\).
Proposición. Sea \(r\) raíz de \(p\) con multiplicidad \(m\). Si \(m\) es impar, \(p\) cambia de signo en \(r\) —la gráfica cruza el eje \(x\)—. Si \(m\) es par, \(p\) no cambia de signo en \(r\) —la gráfica toca el eje \(x\) y regresa al mismo signo—.
Demostración. Como \(q(r)\neq0\), la continuidad implícita en el hecho de que \(q\) es un polinomio —sin divisiones ni radicales que introduzcan restricciones, como ya notó el §1— garantiza que \(q\) conserva su signo en un intervalo alrededor de \(r\): si \(q(r)>0\), no puede ocurrir \(q(x)<0\) arbitrariamente cerca de \(r\) sin que \(q\) se anule en algún punto intermedio, por el mismo principio de continuidad de signo usado en el análisis de desigualdades del §1.7; y \(q(x)=0\) contradiría \(q(r)\neq0\) solo si ese punto fuera \(r\), pero la continuidad extiende la no anulación a todo un entorno. Sea entonces \((r-\delta,r+\delta)\) un intervalo donde \(q\) no cambia de signo. Para \(x\) en ese intervalo, el signo de \(p(x)=(x-r)^m q(x)\) es el producto del signo de \(q(x)\) —constante— y el de \((x-r)^m\). Si \(m\) es impar, \((x-r)^m\) tiene el signo de \((x-r)\): negativo a la izquierda de \(r\), positivo a la derecha, de modo que \(p\) cambia de signo. Si \(m\) es par, \((x-r)^m\geq0\) siempre, con igualdad solo en \(x=r\), de modo que \(p\) conserva el signo de \(q\) a ambos lados. \(\blacksquare\)
El caso \(m=1\) —la raíz simple— es el más frecuente y el más fácil de visualizar: la gráfica cruza el eje limpiamente, con pendiente no nula en \(r\). El caso \(m=2\) es el que ya apareció, sin nombrarlo, en \(x^2\) del §2.4: la gráfica toca el eje en \(x=0\) y regresa, sin cruzarlo, al mismo signo. Multiplicidades mayores repiten uno de estos dos patrones —cruce si \(m\) impar, tangencia si \(m\) par—, aplanándose contra el eje tanto más cuanto mayor sea \(m\), un efecto que \(q(x)\) no altera cerca de \(r\) pero que las potencias sucesivas de \((x-r)\) sí acentúan.
Recordatorio. La multiplicidad \(m\) de una raíz \(r\) decide el comportamiento local de la gráfica en \(r\): impar cruza el eje, par lo toca y regresa. La forma exacta de esa gráfica, sin embargo, todavía no dice cómo encontrar las raíces de un polinomio arbitrario —esa es la pregunta que abre la sección siguiente.
Quedan reunidos, para el polinomio en general, los mismos tres elementos que ya organizaron el estudio de cada prototipo particular en el §2.4: dominio —aquí, sin restricción alguna—, comportamiento en los extremos —aquí, gobernado enteramente por el término de mayor grado— y comportamiento local en los puntos donde la función se anula —aquí, gobernado por la multiplicidad—. Falta, sin embargo, el problema más elemental de todos y el que esta sección deliberadamente postergó: dado un polinomio concreto, ¿cómo se determina, de manera efectiva, cuáles son sus raíces reales? Ese es el objeto de la sección siguiente.